Membre d’une équation
L’ensemble des termes qui précèdent le signe = forme le premier membre. L’ensemble des termes qui suivent ce signe forme le second membre.

Racine de l’équation
Valeur des variables qui rendent égaux les deux membres d’une équation. Par exemple, dans l’équation 3x = 12, la racine est 4. Une équation peut avoir plus d’une racine.

Résoudre une équation
C’est trouver les valeurs des variables qui rendent vraie l’équation.

Degré d’une équation

Exposant le plus élevé dont une variable est affectée. Par exemple, 2x - 3y = 5 est une équation du premier degré tandis que x² + y = 49 est une équation du deuxième degré.

Équation du premier degré à une variable

Pour résoudre une équation du premier degré à une variable, on fait passer dans le premier membre tous les termes qui contiennent la variable et dans le second les autres termes. Techniquement, quand on fait passer un terme d’un membre à l’autre, on change son signe. Par la suite, on réduit les termes dans chaque membre. On divise les deux membres par le coefficient de la variable. Soit 10x + 2 = 3x + 16, on fait 10x - 3x = -2 + 16, ce qui fait 7x = 14. D’où, x = 2.

Équation diophantienne

Équation du premier degré à deux variables dont les valeurs sont entières. Pour résoudre ax + by = c, on attribue les valeurs 1, 2, 3, ... à la variable dont le coefficient est le plus grand jusqu'à ce qu’une valeur entière soit attribuée à l’autre variable. On trouve ainsi un premier couple de racines, puis un deuxième. Les valeurs successives de x forment une suite arithmétique en relation avec le coefficient de y. Celles de y forment une autre suite arithmétique en relation avec le coefficient de x. 

Soit à résoudre 2x + 3y = 22. Si y = 1, x = 9,5, à rejeter. Si y = 2, x = 8 ; le premier couple de racines est (8, 2). Si y = 3, x = 6,5, à rejeter. Si y = 4, x = 5 ; le deuxième couple est (5, 4). La raison de la suite des x est -3 et celle des y est 2. Le troisième couple est (2, 6) car 5 - 3 = 2 et 4 + 2 = 6. Ce sont les trois seuls couples. 

Dans une équation où b est positif, le nombre de couples est toujours fini. Dans une équation où b est négatif, le nombre de couples est infini.

Propriétés des couples

Soit deux couples consécutifs, la différence du produit des extrêmes et des moyens est égale à c. On vérifie cette proposition avec les deux premiers couples trouvés précédemment : (8, 2) et (5, 4). On fait 8 × 4 - 2 × 5 = 22. 

Soit deux couples dont la différence de rang est d, la différence du produit des extrêmes et des moyens est égale à d × c. On vérifie cette proposition avec le premier et le troisième couple trouvé : (8, 2) et (2, 6). On fait 8 × 6 - 2 × 2 = 44, soit 2 × 22.

Système d’équations du premier degré à deux variables

Dans de telles équations, les valeurs des deux variables vérifient les deux équations. Le procédé le plus simple consiste à faire en sorte qu’un coefficient soit le même indépendamment de son signe dans les deux équations. Par la suite, on additionne ou on soustrait les deux équations. 

Soit à résoudre 3x + 4y = 32 et 10x - 7y = 5, à cause du x, on peut multiplier la première équation par 10 et la seconde par 3 ou encore à cause du y, on peut multiplier la première équation par 7 et la seconde par 4. En adoptant le dernier cas, on peut écrire : 21x + 28y = 224 et 40x - 28y = 20. On additionne les deux équations. On obtient 61x = 264. D’où, x = 4. On remplace x par 4 dans l’une ou l’autre des deux équations initiales ; on obtient y = 5. Le couple (4, 5) rend vraies les deux équations. 

Il n’est pas toujours obligatoire de multiplier les deux équations. Par exemple, si on a 3x dans une équation et 6x dans l’autre, on n’a qu’à multiplier la première par 2.

Système d’équations du premier degré à trois variables

Pour résoudre un tel système d’équations, on vise à ce qu’un coefficient soit le même indépendamment de son signe dans les trois équations. Ceci se fait au besoin par la multiplication d’une, de deux ou de trois équations. On prend une de ces trois équations, on la retranche ou l’additionne à chacune des deux autres. On obtient deux équations à deux variables qu’on résout comme précédemment. 

Soit à résoudre 2x + 3y - z = 17, 5x - 2y - 4z = 11 et 3x - y + 3z = 18. Pour éliminer les y, on peut multiplier la première équation par 2, la deuxième par 3 et la troisième par 6. On obtient : 4x + 6y - 2z = 34, 15x - 6y - 12z = 33 et 18x - 6y + 18z = 108. En additionnant les deux premières équations, on obtient 19x - 14z = 67. En soustrayant la troisième équation de la deuxième, on obtient -3x - 30z = -75. 

Pour résoudre ces deux équations, on peut multiplier la première par 3 et la seconde par 19. On obtient 57x - 42z = 201 et -57x - 570z = -1425. D’où, -612z = -1224 et z = 2. On remplace z par 2 dans une des équations en x et en y, ce qui donne x = 5. Dans une équation donnée, on remplace x et z par leur valeur. On obtient y = 3.