Ceci est le 17^e article publié par Récréomath.

Les propositions d’Alcuin

Par Charles-É. Jean

Proposition 1. D’un escargot
Un escargot est invité à un repas par un roseau qui est situé à une lieue. Toutefois, en un jour, il ne peut parcourir qu’une seule once de pied.

Dis-moi, qui le désire, combien de temps sera nécessaire à l’escargot avant de prendre un repas.

Solution 1. Dans une lieue, il y a 1500 pas ou 7500 pieds ou 90 000 onces de pied. L’escargot se déplaçant d’une once par jour, le temps est de 246 ans et 210 jours.

Proposition 2. D’un promeneur
Dans la rue, un promeneur rencontre d’autres hommes. Il leur dit :

- Je voudrais qu’il y ait en plus autant d’autres hommes que vous êtes, plus la moitié de la moitié, puis la moitié de ce dernier nombre. Alors nous serions 100 avec moi.

Dis-moi, qui le désire, combien d’hommes le promeneur a rencontrés.

Solution 2. Le promeneur a rencontré 36 hommes. On y additionne 36 pour faire 72. La moitié de la moitié de 72 est 18. La moitié de 18 est 9. Ainsi 72 et 18 font 90. On additionne 9 ; cela donne 99. Avec le promeneur, cela fait 100.

Proposition 3. De deux marcheurs
Deux hommes se promenaient. Voyant des cigognes, ils se demandèrent combien elles étaient. Après consultation, ils se dirent :

- S’il y en avait trois fois ce nombre ; si on ajoutait la moitié du tiers de ce dernier nombre et s’il en venait 2 de plus, il y en aurait 100.

Qui peut dire combien il y a de cigognes ?

Solution 3. Il y a 28 cigognes. Trois fois 28 égalent 84 et la moitié du tiers de 84 est 14. Cela ferait 98 cigognes. Si on en ajoute 2, on obtient 100 cigognes.

Proposition 4. D’un homme et des chevaux
Un homme vit des chevaux qui broutaient dans un pré et dit :

- Fasse le ciel que ces chevaux soient à moi. Si j’en avais autant qu’il y en a plus la moitié de la moitié, j’en aurais 100.

Dis-moi, qui le veut, combien il y a de chevaux dans le pré.

Solution 4. On compte 80 chevaux qui broutent. Si l’homme en avait autant, il en aurait 80. La moitié de la moitié de 80 est 20. Si on additionne 20 et 80, cela donne 100.

Proposition 5. D’un acheteur de porcs
Un commerçant dit :

- Je veux acheter 100 porcs avec 100 deniers. Un verrat coûte 10 deniers, une truie 5 deniers et deux porcelets 1 denier.

Qui pourra déterminer le nombre de verrats, de truies et de porcelets que le commerçant achètera avec 100 deniers ?

Solution 5. Le commerçant peut acheter 1 verrat et 9 truies pour 55 deniers. Il reste 90 porcelets qui se vendent 5 deniers pour 10, soit 45 deniers. Cela fait 100 porcs et 100 deniers.

Proposition 6. De deux commerçants
Deux commerçants avaient 100 ducats en commun pour l’achat de porcs. Avec cet argent, ils achetèrent des porcs qu’ils payèrent 2 ducats pour 5. Ils voulaient les engraisser et les revendre pour faire des profits. Par malheur, ce n’était pas la bonne saison pour engraisser des porcs et ils ne voulaient pas les nourrir pendant l’hiver. Ils tentèrent de les vendre à profit, mais ce fut impossible. Comme ils ne pouvaient pas les vendre plus cher, ils acceptèrent 2 ducats pour 5 porcs. Après analyse, ils pensèrent à les partager entre eux et en les vendant, ils firent un profit.

Qui est assez fort pour dire comment se fit le partage, combien ils les vendirent et quel fut leur profit ?

Solution 6. Au début, comme il est dit, avec 100 ducats, ils ont acheté 250 porcs au coût de 2 ducats pour 5. Ils prirent chacun 125 porcs. L’un choisit les plus petits et l’autre les plus gros. Les plus petits furent vendus par groupes de 3 pour un ducat, les plus gros par groupes de 2 aussi pour un ducat : ce qui fait bien 2 ducats pour 5 porcs. Le premier vendit 120 porcs pour 40 ducats ; l’autre 120 porcs pour 60 ducats. Les 5 porcs qui restèrent à chacun furent vendus 4 ducats et 2 deniers : ce qui fut leur profit.

Note. La vente des 120 porcs de chacun procura ensemble 100 ducats. L’un vendit les 5 derniers porcs au coût d’un ducat pour 3, ce qui fait 1 2/3 ducat ; l’autre vendit ses 5 porcs au coût d’un ducat pour 2, ce qui fait 2 ½ ducats. Le total est de 4 1/6. Par ailleurs, un ducat équivalait à 12 deniers. Le profit est donc de 4 ducats et 2 deniers.

Proposition 7. D’un disque
Il est un disque qui pesait 30 livres et coûtait 600 ducats. Il est constitué d’or, d’argent, de laiton et d’étain. On y trouve trois fois plus d’argent que d’or ; trois fois plus de laiton que d’argent et trois fois plus d’étain que de laiton.

Qui peut déterminer le poids de chaque métal ?

Note. Une livre équivaut à 12 onces.

Solution 7. L’or pèse 9 onces ; l’argent 3 fois plus, soit 2 livres et 3 onces ; le laiton 3 fois plus que l’argent, soit 6 livres et 9 onces ; l’étain 3 fois plus que le laiton, soit 20 livres et 3 onces. Le total est bien de 30 livres.  

Autre solution. L’or coûte 15 ducats ; l’argent 3 fois 15, soit 45 ducats ; le laiton 3 fois 45, soit 135 ducats ; l’étain 3 fois 135, soit 405 ducats. Au total, cela fait 600 ducats qui correspondent à 30 livres.

Proposition 8. D’un tonneau
Il est un tonneau d’une capacité de 100 métrètes qui est relié à 3 tuyaux partant d’autant d’ouvertures. Le premier tuyau remplit un tiers et un sixième du tonneau, le deuxième un tiers du tonneau, le troisième un sixième du tonneau.

Dis-moi, qui le veut, combien de setiers coulent par chaque tuyau.

Note. Un métrète équivaut à 72 setiers.

Solution 8. Le premier tuyau laisse couler 3600 setiers du liquide, le deuxième 2400 setiers et le troisième 1200 setiers.

Proposition 9. D’une couverture
J’ai une couverture de 100 coudées de long et 80 de large. Je veux la tailler en morceaux pour faire des manteaux. Chaque manteau a besoin d’un morceau ayant 5 coudées de long et 4 coudées de large.

Dis-moi, je le demande, ô sage, combien de manteaux peuvent être fabriqués dans cette couverture.

Note. Une coudée équivaut à 44,46 cm ou 1½ pied.

Solution 9. La 80^e partie de 400 est 5 ; la 100^e partie est 4. Cela revient à 80 fois 5 ou 4 fois 100. On peut fabriquer 400 manteaux.

Proposition 10. D’une toile de lin
- J’ai un tissu long de 60 coudées et large de 40 coudées. Je veux découper des pièces de 6 coudées de long et 4 de large afin de confectionner une tunique.

Dis-moi, qui le veut, combien de tuniques pourront être fabriquées.

Solution 10. La dixième partie de 60 est 6 ; la dixième partie de 40 est 4. On a le dixième de 60 ou le dixième de 40. En multipliant par 10, on obtient 100 pièces de 6 coudées de long et 4 de large, donc 100 tuniques.

Proposition 11. De deux mariages
Deux hommes épousent la sœur l’un de l’autre.

Dis-moi, je te le demande, quelle parenté existera entre les fils et les deux couples.

Solution 11. Par exemple, si moi j’épouse la sœur de mon ami et lui ma sœur et si nous mettons au monde des fils, moi finalement je suis l’oncle du fils de ma sœur et elle est la tante de mon fils. Cette parenté est la même si on considère mon épouse et mon ami.

Proposition 12. D’un père de famille
Un père de famille laissa en héritage à ses trois fils 30 cruches de verre dont 10 étaient pleines d’huile. Dix autres étaient remplies à moitié. Les dix dernières étaient vides.

Qui peut partager l’huile et les cruches de façon que chacun des trois fils reçoive le même nombre de cruches et la même quantité d’huile ?

Solution 12. Il y a trois fils et 30 cruches. De celles-ci, 10 sont pleines, 10 à moitié pleines et 10 vides. Chaque fils doit recevoir 10 cruches. Au premier fils, on donne 10 cruches à moitié vides ; au deuxième, 5 cruches pleines et 5 vides ; au troisième, comme pour le second, 5 cruches pleines et 5 vides . C’est ainsi que se fera le partage tant en huile qu’en cruches.

Proposition 13. D’un roi
Il était une fois un roi qui ordonna à un serviteur d’aller dans les 30 villes du royaume et de recruter des soldats de façon que son armée ait plus d’hommes que jamais. À la première ville, le serviteur y va seul. À la deuxième, il est accompagné d’un autre serviteur. À la troisième ville, il est accompagné de trois autres serviteurs. [Dans chaque ville, chaque serviteur recrute deux hommes. Par la suite, d’une ville à l’autre, les serviteurs recrutent deux fois autant d’hommes qu’ils avaient recrutés à la ville précédente.]

Qui peut dire combien d’hommes furent recrutés dans les 30 villes ? 

Solution 13. Dans la première ville, 2 hommes ont été recrutés, dans la deuxième 4 hommes, dans la troisième 8 hommes, dans la quatrième 16, dans la cinquième 32, dans la sixième 64, dans la septième 128, dans la huitième 256, dans la neuvième 512, dans la dixième 1024, dans la onzième 2048, dans la douzième 4096, dans la treizième 8192, dans la quatorzième 16 384, dans la quinzième 32 768, etc.

Note. La solution est incomplète. Soit n le rang de la ville, le nombre de recrues par ville est de 2ⁿ. Dans la 30^e ville, 2³⁰ hommes seront recrutés, soit 1 073 741 824. En tout, (2³¹ - 2) hommes auront été recrutés, soit 2 147 483 646 c’est-à-dire plus de deux milliards d’hommes.]

Proposition 14. D’un bœuf
Un bœuf tire une charrue pour le labour.

Combien de traces laisse-t-il dans le dernier sillon ?

Solution 14. Le bœuf ne laisse aucune trace dans le dernier sillon car lui-même précède la charrue. Bien sûr comme il est devant, le bœuf laisse des traces dans la terre cultivée ; mais elles sont effacées par le retournement de la terre. À cause de cela, aucune trace ne peut apparaître dans le dernier sillon.

Proposition 15. D’un homme
Je voudrais que tu me dises combien de sillons un laboureur aura faits dans son champ quand il aura retourné sa charrue trois fois à chacun des deux bouts du champ.

Solution 15. Le laboureur a fait sept sillons quand il a retourné sa charrue trois fois à chacun des deux bouts du champ.

Note. Le texte d’Alcuin mentionnait 6 sillons.

Proposition 16. De deux bouviers
Deux hommes conduisaient des bœufs sur une route. Le premier dit à l’autre :

- Donne-moi deux de tes bœufs et j’en aurai autant que toi.

L’autre répondit :

- Ceci étant fait, redonne-moi deux de tes bœufs et j’en aurai le double de toi.

Qui veut me dire combien de bœufs il y a et combien chaque homme en a ?

Solution 16. Le premier en a 4 et l’autre 8. Si le deuxième en donne 2 au premier, ils en ont tous les deux 6. Par la suite, si le premier en redonne deux à l’autre, il lui en reste 4 et l’autre en a 8 : ce qui est bien le double du premier.

Proposition 17. De trois hommes et de leurs sœurs
Trois hommes, ayant chacun une soeur, doivent traverser une rivière, tout en évitant qu’un homme soit en présence d’une femme autre que sa sœur. Ils n’ont qu’une chaloupe qui ne peut transporter que deux personnes.

Qui peut dire comment ils peuvent traverser la rivière pour qu'une femme ne soit jamais laissée en compagnie d'un autre homme si son frère n’est pas présent ?

Solution 17. D’abord moi et ma sœur nous traversons la rivière ; je laisse ma sœur et je ramène la chaloupe. Alors les deux autres femmes montent et traversent la rivière tandis que leurs frères restent sur la rive. Quand les deux femmes ont quitté la chaloupe ; ma sœur y monte et revient vers nous. Celle-ci débarquée, les deux autres hommes montent dans la chaloupe et traversent. Alors un des deux hommes revient avec sa sœur. Tandis que moi et celui-ci qui naviguait, laissant là sa sœur, nous montons. Nous traversons sur l’autre rive. La femme qui était là ramène la barque. Ma sœur et l’une d’elles traversent. Celui-ci dont la sœur est de l’autre côté monte dans la chaloupe et revient avec elle. Ainsi les traversées se font sans promiscuité.

Proposition 18. D’un homme, d’une chèvre et d’un loup
Un homme devait traverser une rivière avec un loup, une chèvre et un panier de choux. Il y avait là un bateau, mais si petit que seul pouvait passer avec lui le loup, la chèvre ou le panier de choux. Il ne voulait pas laisser la chèvre avec le loup ou avec les choux.

Dis-moi, qui le peut, comment l’homme s’y prendra pour transporter sans problèmes le loup, la chèvre et les choux.

Solution 18. Le batelier passa d’abord la chèvre tout en abandonnant le loup et les choux ; puis il revint chercher le loup. Il ramena la chèvre sur la rive de départ. Puis, il passa le panier de choux de l’autre côté. Il revint alors prendre la chèvre. De cette façon, le transport s’est effectué sans problèmes.

Proposition 19. D’un mari et de son épouse
Un homme et son épouse pesaient chacun autant qu’une charrette chargée. Leurs deux enfants pesaient ensemble autant que la charrette vide. Les quatre devaient traverser une rivière. Ils trouvèrent un bateau qui pouvait porter au plus le poids d’une charrette.

Comment purent-ils traverser la rivière sans faire naufrage ?

Solution 19. Les deux enfants montèrent dans le bateau et traversèrent la rivière. L’un d’eux ramena le bateau et débarqua. Puis la mère traversa. Ensuite son fils ramena le bateau. Les deux fils traversèrent ensemble. L’un des deux ramena le bateau. Le père traversa. L’autre fils qui était avec la mère ramena le bateau et revint avec son frère. Ainsi par ingéniosité le passage d’une rive à l’autre se fit sans naufrage.

Les données de ce problème ne sont pas parvenues jusqu’à nous ; tandis qu’une solution est connue. La solution donnée par Alcuin est presque identique à celle de la proposition précédente.

Proposition 21. D’une bergerie
Il est une bergerie dont la longueur est de 200 pieds et la largeur de 100 pieds. Je veux y loger des moutons de façon que chaque mouton occupe un espace de 5 pieds de long et de 4 pieds de large.

Dis-moi, je te le demande, toi qui est fort, combien il est possible de loger de moutons.

Solution 21. La bergerie a une longueur de 200 pieds et une largeur de 100 pieds. Or, 2 fois le cinquième de 100 font 40. Puis on divise 100 par 4, 25 étant le quart de 100. Donc, 1000 est égal à 40 fois 5 fois 5 ou 40 fois 25. Aussi 1000 moutons peuvent être logés.

Proposition 22. D’un champ irrégulier
Il est un champ en forme de quadrilatère qui mesure 100 perches d’un côté, 100 perches de l’autre, 50 perches de front, 60 perches au milieu et 50 perches à l’opposé.

Qui peut dire quelle est la superficie de ce champ en arpents ?

Note. Un arpent est égal à 144 perches carrées.

Solution 22. La longueur du champ est de 100 perches, les deux fronts chacun 50 perches et le milieu 60 perches. Si on additionne les nombres de chacun des deux fronts avec celui du milieu, on obtient 160. On calcule le tiers de 160 ; cela fait 53. En multipliant par 100, on obtient 5300. On divise en 12 parties égales et on obtient 441. On divise à nouveau par 12 et on obtient 37. C’est le nombre d’arpents de ce champ.

Note. En divisant par 3, Alcuin prend la moyenne.

Proposition 23. D’un champ quadrangulaire
Il est un champ en forme de quadrilatère dont un côté mesure 30 perches, le côté opposé 32 perches, la base 34 perches et son opposé 32 perches.

Qui peut dire combien d’arpents mesure ce champ ?

Note. Un arpent est égal à 144 perches carrées.

Solution 23. Les longueurs des deux côtés sont de 62 perches. En divisant par 2, on obtient 31. Les largeurs des deux côtés sont de 66 perches. En divisant par 2, on obtient 33. [On soustrait 1 à 31 et on additionne 1 à 33.] On multiplie les deux résultats soit 30 par 34. Cela donne 1020. On divise 1020 par 12, cela donne 85 ; 85 divisé par 12 font 7. C’est le nombre d’arpents du champ.

Proposition 24. D’un champ triangulaire
Il est un champ qui mesure 30 perches sur un côté, 30 perches de l’autre et 18 perches à la base.

Qui peut dire combien d’arpents mesure ce champ ?

Note. Un arpent est égal à 144 perches carrées.

Solution 24. En joignant les deux côtés du champ, on obtient 60 perches. On prend la moitié de 60, ce qui fait 30. Comme il y a 18 perches à la base, on prend la moitié, on obtient 9. On multiplie 30 et 9, ce qui fait 270. Il faut diviser 270 par 12, ce qui fait 22½. [On partage ce nombre en deux parties : 12 et 10½. On divise 12 par 12.] Ce qui fait un arpent et 10½ perches.

Proposition 25. D’un champ circulaire
Il est un champ en forme de cercle qui a 400 perches de circonférence.

Dis-moi combien d’arpents mesure ce champ.

Note. Un arpent est égal à 144 perches carrées.

Solution 25. Comme la circonférence du champ est de 400 perches, le quart est 100. Si on multiplie 100 et 100, on obtient 10 000. On divise par 12. Un douzième de 10 000 est 833 ; le nombre 833 divisé par 12 donne 69. C’est le nombre d’arpents du champ.

Note. En prenant le quart, Alcuin utilise 4 au lieu de p .

Proposition 26. D’un chien et d’un lièvre
Il est un champ qui mesure 150 pieds de long. Un chien est à un bout et un lièvre à l'opposé. Le chien court vers le lièvre qui évidemment fuit [en direction du champ voisin.] Mais tandis que le chien parcourt 9 pieds à chaque saut, le lièvre n’en fait que 7.

Dis-moi, qui le veut, quelle distance le chien et le lièvre doivent parcourir.

Solution 26. La longueur du champ est de 150 pieds. La moitié de 150 est 75. Comme le chien fait 9 pieds à chaque saut, on multiplie 9 et 75, ce qui fait 675 pieds. Le chien a alors parcouru 675 pieds pour capturer le lièvre. Comme le lièvre parcourt 7 pieds à chaque saut, on multiplie 7 et 75, [ce qui fait 525 pieds], c’est la distance parcourue par le lièvre avant d'être capturé.

Note. Alcuin prend la moitié de 150 car, au départ, les deux bêtes sont à 150 pieds de distance et qu’il y a une différence de 2 pieds à chaque saut.

Proposition 27. D’une ville quadrangulaire
Il est une ville qui mesure 1100 pieds d'un côté, 1000 pieds de l'autre côté, 600 pieds de front et 600 pieds à l’opposé. Je veux y construire des maisons de façon que chaque terrain ait 40 pieds de long et 30 de large.

Qui peut déterminer le nombre de maisons qui pourront y être construites ?

Solution 27. Si les deux longueurs de la ville sont réunies, cela fait 2100 pieds. De même, si les deux largeurs sont réunies, cela fait 1200 pieds. Or, la moitié de 1200 est 600 et la moitié de 2100 est 1050. Étant donné que chaque terrain est de 40 pieds de long et 30 de large, on prend la quarantième partie de 1050, à savoir 26 et la trentième partie de 600, à savoir 20. On fait 20 fois 26, ce qui donne 520. C’est le nombre de maisons qui peuvent être construites dans cette ville.

Proposition 28. D’une ville triangulaire
Il est une ville de forme triangulaire qui mesure 100 pieds d’un côté, 100 pieds de l’autre et 90 pieds à la base. Je veux construire des maisons de sorte que chaque terrain ait 20 pieds de long et 10 de large.

Dis-moi, qui le peut, combien il est possible de construire de maisons dans cette ville.

Solution 28. Les deux côtés mesurent ensemble 200 pieds. La moitié de 200 est 100. Comme la base mesure 90 pieds, la moitié de 90 est 45. Puisque la longueur de chaque terrain est de 20 pieds et que la largeur est de 10 pieds, on divise 100 par 20, ce qui donne 5. La dixième partie de 40 est 4 ; puis on multiplie 5 et 4 pour obtenir 20. Ainsi, 20 maisons peuvent être construites dans cette ville.

Proposition 29. D’une ville circulaire
Il est une ville de forme circulaire dont la frontière mesure 8000 pieds.

Dis-moi, qui le peut, combien de maisons peuvent être construites dans cette ville de façon que chaque terrain ait 30 pieds de long et 20 de large.

Solution 29. Le contour de la ville est de 8000 pieds. On répartit ce nombre dans le rapport de 1 ½ à 1 ; cela donne 4800 et 3200. La longueur et la largeur des maisons sont dans la même proportion. On prend la moitié de chacune de ces mesures, on obtient 2400 et 1600. En divisant 1600 par 20, on obtient 80 fois 20. De même, il faut diviser 2400 par 30 et on obtient 80 fois 30. On multiplie 80 par 80 et on obtient 6400. C’est le nombre de maisons qui peuvent être construites dans cette ville.

Proposition 30. D’une basilique
Il est une basilique dont la base mesure 240 pieds de long et 120 pieds de large. Le toit est recouvert de briques, chaque brique mesurant 23 pouces de long, soit un pied et 11 pouces, et 12 pouces de large, soit un pied.

Dis-moi, qui le veut, combien de tuiles sont nécessaires pour recouvrir le toit de la basilique.

Solution 30. Comme la longueur de chaque brique est d’un pied et 11 pouces, 126 tuiles couvrent 240 pieds de long et comme la largeur de chaque brique est d’un pied, 120 tuiles couvrent 120 pieds de large. Alors, on multiplie 120 et 126 ; cela donne 15 120. C’est le nombre de tuiles qui peuvent recouvrir le toit de la basilique.

Proposition 31. D’une cave à vin
Il est une cave à vin qui mesure 100 pieds de long et 64 de large.

Qui peut dire combien cette cave contiendra de barils, sachant qu’un baril a 7 pieds de long et 4 pieds de large et étant donné qu'il y a un couloir de 4 pieds de large au milieu de la cave ?

Solution 31. Dans 100, il y a 14 fois 7 ; dans 64, il y a 16 fois 4 ; dont 4 sont pour le couloir qui occupe toute la longueur de la cave. Comme 15 multiplié par 4 font 60 et que 14 multiplié par 7 font 100, on multiplie 15 et 14 pour obtenir 210. C’est le nombre de barils qui peut contenir cette cave.

Proposition 32. D’un chef de famille
Un chef de famille a 20 domestiques. Il leur ordonne de distribuer 20 boisseaux de blé de la façon suivante : chaque homme doit recevoir 3 boisseaux, chaque femme 2 boisseaux et chaque enfant un demi.

Qui peut dire combien il y a d'hommes, de femmes et d’enfants ?

Solution 32. Comme 1 fois 3 font 3, un homme a reçu 3 boisseaux. De même, comme 5 fois 2 font 10, 5 femmes ont reçu 10 boisseaux. Puis comme 7 fois 2 font 14, alors 14 enfants ont reçu 7 boisseaux. Le nombre de personnes est 1, 5 et 14 ; le total est 20. Le nombre de boisseaux est 3, 10 et 7 ; le total est 20. C ‘est ainsi que les 20 boisseaux sont distribués aux 20 domestiques.

Proposition 33. D’un autre chef de famille
Un chef de famille a 30 domestiques. Il demande de partager 30 boisseaux de blé de façon que les hommes reçoivent 3 boisseaux, les femmes 2 et les enfants un demi.

Qui peut déterminer le nombre d'hommes, de femmes et d’enfants ?

Solution 33. Si on prend 3 fois 3, on obtient 9 ; si on prend 5 fois 2, on obtient 10 ; si on prend la moitié de 22, on obtient 11. Bref, 3 hommes reçoivent 9 boisseaux, 5 femmes en reçoivent 10 et 22 enfants en reçoivent 11. Le nombre de personnes est 3, 5 et 22, ce qui fait 30. Le nombre de boisseaux est 9, 11 et 10, ce qui fait 30. C’est ainsi que les 30 boisseaux sont distribués aux 30 domestiques.

Proposition 34. D’un autre chef de famille
Un chef de famille a 100 domestiques. Il demande de partager 100 boisseaux de blé de façon que chaque homme reçoive 3 boisseaux, chaque femme 2 et chaque enfant un demi.

Dis-moi, qui en est capable, combien il y a d'hommes, de femmes et d’enfants.

Solution 34. Si on fait 11 fois 3, on obtient 33 ; 15 fois 2 font 30. Onze hommes reçoivent 33 boisseaux ; pour 15 femmes, c’est 30 boisseaux. Alors 74 enfants reçoivent 37 boisseaux. En additionnant 11, 15 et 74, on obtient 100 qui est le nombre de personnes. De même, en additionnant 33, 30 et 37, on obtient 100 qui est le nombre de boisseaux. C’est ainsi que les 100 boisseaux sont distribués aux 100 domestiques.

Note. Il y a 5 autres réponses possibles. Les voici en adoptant cet ordre (hommes, femmes, enfants) : (17, 5, 78), (14, 10, 76), (8, 20, 72), (5, 25, 70) et (2, 30, 68).

Proposition 35. De la mort d’un père
Un père de famille meurt, laissant des enfants et une femme enceinte. Son héritage est de 960 ducats. Sur son lit de mort, il ordonne que si l’enfant à venir est un garçon, il recevra les trois quarts de la succession, soit 9 onces d’or. Dans ce cas, la mère recevrait un quart, soit 3 onces. Si l’enfant est une fille, elle recevra 7/12 de la succession, soit 7 onces. La mère recevrait 5/12, soit 5 onces. Mais le moment venu, elle donna naissance à des jumeaux, un garçon et une fille.

Qui peut déterminer l’héritage du fils, de la mère et de la fille ?

Note. Une livre d’or équivaut à 12 onces ou à 20 ducats.

Solution 35. On additionne 9 et 3 ; on obtient 12. Or, 12 onces d’or équivalent à une livre. Ensuite, on additionne 7 et 5 ; on obtient 12. L’addition des deux 12 fait 24 onces, soit deux livres ou 40 ducats. Ensuite, on prend 1/24 de 960 ducats, ce qui donne 40 ducats. Puis, comme le fils doit recevoir 3/4 ou 9/12 de l'héritage et que 40 est la neuvième partie de 960, on multiplie 40 par 9. Cela fait 18 livres ou 360 ducats : c’est l’héritage du fils. Et comme la mère doit recevoir 1/3 du montant du fils et 1/5 de celui de la fille, on additionne 3 et 5, ce qui donne 8. De même, on fait 2 fois 40 et on divise par 8. Alors la mère reçoit 8 fois 40 onces. Cela fait 16 livres ou 320 ducats. Alors, comme il est stipulé, on partage 40 en des poids de 7 onces, soit 40 en 7 parties. Après, on multiplie 7 et 40, ce qui fait 14 livres ou 280 ducats : c'est l’héritage de la fille. Les trois montants 360, 320 et 280 totalisent 960 ducats ou 48 livres.

Note. La solution d’Alcuin revient à prendre les parts de chacun et à diviser par 2. Pour le fils, on fait : 3/4 ¸ 2 = 3/8, puis 960 ´ 3/8 = 360. Pour la mère, on fait : (1/4 + 5/12) ¸ 2 = 1/3, puis 960 ´ 1/3 = 320. Pour la fille, on fait : 7/12 ¸ 2 = 7/24, puis 960 ´ 7/24 = 280.

Proposition 36. D’un vieillard à un enfant
Un vieil homme salue un jeune garçon en lui disant :

- Puisses-tu vivre, mon fils, autant d’années que tu as vécu jusqu'à présent, puis autant d’années et une troisième fois encore autant d’années. Puisses-tu vivre en plus le triple de ce temps. En outre, que Dieu t’accorde une de mes années et tu vivras jusqu’à 100 ans.

Détermine, qui le peut, l’âge du jeune garçon à ce moment.

Solution 36. À ce moment, le garçon a 8 ans et 3 mois. Si on ajoute ce temps trois fois, on obtient 16 ans et 6 mois, puis 24 ans et 9 mois, puis 33 ans. Le triple de 33 est 99 auquel on ajoute 1 pour obtenir 100.

Proposition 37. D’un homme qui veut bâtir
Un homme, voulant construire une maison, recrute 6 ouvriers dont 5 d'entre eux sont des compagnons, alors que le sixième est un apprenti. Il a été convenu avec eux qu’il leur serait donné en tout 25 deniers par jour et que l’apprenti recevrait la moitié du salaire d’un compagnon.

Qui peut dire quel est leur salaire journalier ?

Solution 37. D'abord, on prend 22 deniers et on les divise en 6 parties. À chacun des 5 compagnons, on attribue 4 deniers, car 5 fois 4 font 20. On prend les deux deniers qui restent et on les donne à l’apprenti. On a un résidu de 3 deniers. On partage chaque denier en 11 parties, car 3 fois 11 font 33. On partage 30 parties entre les 5 compagnons, car 5 fois 6 font 30. Chaque compagnon recevra 6 parties. On prend les 3 parties qui dépassent 30 et on les donne à l’apprenti. [Chaque compagnon recevra 4 deniers et 6/11 par jour et l’apprenti 2 deniers et 3/11.]

Proposition 38. D’un commerçant d’animaux
Un homme veut acheter 100 animaux pour 100 ducats. Il désire payer 3 ducats pour un cheval, 1 ducat pour un bœuf et 1 ducat pour 24 moutons.

Qui est assez fort pour dire combien cet homme a acheté de chevaux, de vaches et de moutons ?

Solution 38. Trois fois 23 font 69. Deux fois 24 font 48. Aussi, 23 chevaux coûtent 69 ducats, 48 moutons 2 ducats et 29 bœufs 29 ducats. On additionne 23, 48 et 29 pour obtenir 100, qui est le nombre d'animaux. On additionne 69, 2 et 29 pour obtenir 100, qui est le nombre de ducats. Donc, l’homme a acheté 100 animaux pour 100 ducats.

Proposition 39. D’un acheteur oriental
Un homme voulait acheter 100 animaux pour un montant de 100 ducats. Il ordonna à son serviteur de payer 5 ducats pour un chameau, 1 ducat pour un âne et 1 ducat pour 20 moutons.

Dis-moi, qui le veut, combien de chameaux, d’ânes et de moutons l’homme pourra obtenir pour 100 ducats.

Solution 39. Neuf fois 10 plus 5 font 95. Avec 95 ducats, on peut acheter 19 chameaux. Avec l’achat d’un âne, le total est de 96 ducats. Alors, quatre fois 20 font 80, soit 80 moutons pour 4 ducats. On additionne 19, 1 et 80, ce qui fait 100, c’est le nombre d'animaux. On additionne 95, 1 et 4 pour obtenir 100 ducats. Donc, il y a 100 animaux et 100 ducats.

 Proposition 40. De moutons dans la montagne
Un homme a vu des moutons qui paissaient dans une montagne. Il dit :

- Fasse le ciel que j’aie autant de moutons qu’il y en a, puis une autre fois autant, puis la moitié de la moitié de ceux-ci et la moitié de ce dernier nombre. Alors, je pourrais retourner chez moi avec ceux-ci et en m’incluant, nous serions 100.

Détermine, qui le peut, le nombre de moutons qui paissent dans la montagne.

Solution 40. L’homme a vu 36 moutons. On en ajoute autant deux fois pour obtenir 72. La moitié de la moitié de 72 est 18. Puis la moitié de 18 est 9. La somme de 72, 18 et 9 est 99. L'homme, en incluant les moutons, sera le centième.

Proposition 41. D’une truie et des petits
Un chef de ménage a construit un enclos où il enferma une truie. La truie a donné naissance à sept porcelets au milieu de la porcherie. Chaque porc, y compris la mère qui est le huitième porc, a donné naissance à sept porcelets à chaque coin de l’enclos [soit quatre générations]. Enfin, au centre, chaque truie y compris la mère a mis au monde sept porcelets [soit la dernière génération].

Dis-moi, qui le veut, combien de porcs, y compris les mères successives, il y avait à la fin.

Solution 41. Après la première naissance, qui a eu lieu au milieu de l’enclos, il y avait 7 porcelets, soit 8 avec la mère. Huit fois 8 font 64 : ce qui est le nombre de porcs du premier coin. Huit fois 64 font 512 : ce qui est le nombre de porcs du deuxième coin. Huit fois 512 font 4096 : ce qui est le nombre de porcs du troisième coin. Huit fois 4096 font 32 768 : ce qui est le nombre de porcs du quatrième coin. Huit fois 32 768 font 262 144 : ce qui est le nombre de porcs à la fin.

Proposition 42. D’une échelle à 100 barreaux
Il est une échelle qui compte 100 barreaux. Sur le premier barreau du haut, 1 colombe est perchée ; sur le deuxième barreau 2 colombes, sur le troisième 3 colombes, sur le quatrième 4 colombes, sur le cinquième 5 colombes, et ainsi de suite jusqu'au centième barreau.

Qui peut dire combien il y a de colombes en tout ?

Solution 42. On compte la colombe perchée sur le plus haut barreau et on l'ajoute aux 99 colombes sur le 99^e barreau, obtenant ainsi 100. On fait de même avec le deuxième barreau et le 98^e et on obtient 100. En continuant de compter les colombes sur deux barreaux de rangs opposés, l’un plus élevé l’autre plus bas, on a toujours 100 colombes. Le 50^e barreau, comme le 100^e, ne sont pas considérés. On additionne 49 fois 100 plus 150. La somme est 5050, c’est le nombre de colombes.

Proposition 43. De certains porcs
Un homme a 300 porcs. Il ordonne de les abattre en trois jours de façon que le nombre de porcs tués par jour soit un nombre impair. Il voulait que la même chose arrive avec 30 porcs.

Qui peut dire combien de porcs ont été tués chaque jour soit autant pour les 300 porcs que pour les 30 ? 

Ce problème insoluble a été composé à titre de test.

Solution 43. C'est un piège ! Personne ne peut résoudre le problème de façon qu’on tue un nombre impair de porcs par jour, que ce soit pour 30 ou 300 porcs. C'est un problème conçu pour tester la perspicacité des jeunes.

Proposition 44. D’un enfant à son père
Un garçon a salué son père en disant :

- Salut, mon père !

Le père répondit :

- Reste en bonne santé, mon fils, et puisses-tu vivre trois fois le double de ton âge. De plus, si j’ajoutais une de mes années, tu vivrais 100 ans.

Qui peut dire l’âge du garçon ?

Solution 44. Le garçon est âgé de 16 ans et 6 mois. Le double est 33 ; trois fois 33 font 99. Après avoir ajouté l’année du père, on obtient 100.

Proposition 45. D’une colombe
Une colombe perchée sur un arbre voit d'autres colombes en vol et dit :

- Fasse le ciel qu’il y en ait en plus autant que je vois, et une autre fois autant que la première fois. Avec moi, il y aurait 100 colombes.

Qui peut dire combien de colombes ont été vues par celle qui est perchée ?

Solution 45. Initialement, elles étaient 33. Autant de colombes une première fois donnent 66. À nouveau, autant que la première fois donne 99. En ajoutant la colombe perchée, cela fait 100.

Proposition 46. D’un sac perdu
Un homme qui déambulait a trouvé un petit sac qui contenait deux talents. D'autres hommes l'ayant vu lui dirent :

- Mon frère, donnez-nous une partie de ce que vous avez trouvé.

Mais l'homme hocha la tête et ne voulut pas partager. Ils l’ont alors attaqué et lui ont arraché le sac, si bien que chacun a pu toucher 50 ducats. Et quand l'homme a vu qu'il ne pouvait pas résister, il mit la main dans le sac et s’empara rapidement de 50 ducats.

Dis-moi, qui le veut, combien d'hommes ils étaient.

Solution 46. Chaque talent vaut 72 livres. Chaque livre vaut 75 ducats. Alors 75 fois 72 font 5400, soit la moitié de 10 800. Puis, 10 800 divisé par 50 font 216, qui est le nombre d'hommes.

Proposition 47. De l’évêque et de ses pains
Un évêque commande 12 miches de pain à l’intention de son clergé. Il décrète que tout prêtre doit recevoir 2 pains, chaque diacre un demi-pain, et chaque lecteur un quart de pain. Ainsi, le nombre de pains et de clercs serait le même.

Dis-moi, qui le veut, combien il y a de prêtres, de diacres et de lecteurs.

Solution 47. Deux fois 5 font 10 ; aussi, 5 prêtres ont reçu 10 pains. Le diacre eut un demi pain ;  le reste a été attribué à 6 lecteurs. Le nombre de clercs est 5, 1, 6, soit 12. Le nombre de pains est 10, ½ et 1½, soit 12. Donc, il y avait 12 hommes et 12 miches de pain. Ainsi, le nombre de clercs et de miches est le même.

Proposition 48. D’un homme et des élèves
Un homme rencontre des élèves et leur demande :

- Combien êtes-vous à l'école ?

L'un d'eux répondit :

- Je vais vous le dire indirectement. On double ce nombre ; on triple le résultat et on le partage en 4 parties. Si on m’ajoute la quatrième partie, le résultat sera 100.

Qui peut dire combien d’élèves il y a dans cette école ?

Solution 48. Deux fois 33 font 66 : c'est le nombre d'élèves rencontrés par l'homme. Deux fois 66 font 132 ; trois fois 132 font 396. Le quart de 396 est 99. On ajoute le jeune qui a répondu et on obtient 100.

Proposition 49. De quelques charpentiers
Sept charpentiers produisirent chacun 7 roues.

Dis-moi, qui le peut, combien de chariots peuvent être supportés par ces roues.

Note. Un chariot est un véhicule à 4 roues.

Solution 49. On fait 7 fois 7, cela donne 49 qui est le nombre de roues. On sait que 12 multiplié par 4 font 48. Avec les 49 roues, on peut supporter 12 chariots et il reste une roue.

Proposition 50. De coupes de vin
Je demande à qui veut répondre combien de coupes on peut préparer avec 100 mètres de vin ordinaire et avec 100 mètres de vin pur.

Solution 50. Un mètre peut permettre 48 coupes de vin ordinaire. On multiplie 48 et 100 ; on obtient 4800 : c'est le nombre de coupes. Par ailleurs, un mètre de vin pur peut permettre 289 coupes. On multiplie 289 et 100 ; on obtient 28 900, c’est le nombre de coupes de vin pur.

Proposition 51. De tonneaux de vin
Un père mourant a laissé quatre tonneaux de vin à ses quatre enfants. Le premier tonneau contient 40 boisseaux de vin, le deuxième 30 boisseaux, le troisième 20 boisseaux et le quatrième 10 boisseaux. Il fit venir son intendant et lui dit :

- Partage ces quatre tonneaux entre mes enfants, de telle manière que chaque enfant reçoit la même quantité de vin et de tonneaux.

Dis-moi, qui comprend, comment le partage peut être fait.

Solution 51. Les tonneaux contiennent 40, 30, 20 et 10 boisseaux, ce qui fait 100 boisseaux. On divise 100 en 4 parties ; on obtient 25. Ce nombre multiplié par 2 devient 50. Ainsi, chaque enfant a droit à 25 boisseaux, soit deux enfants à 50. Le premier et le quatrième tonneau ensemble permettent 50 boisseaux qui peuvent être partagés entre deux enfants, chacun ayant 25 boisseaux. De même, le deuxième et le troisième tonneau ensemble permettent 50 boisseaux qui peuvent être partagés entre les deux autres enfants qui auront chacun 25 boisseaux. En faisant cela, il y aura un partage équitable de tonneaux et de boisseaux.

Proposition 52. D’un chef de famille
Un chef de famille ordonne que 90 boisseaux de blé soient déplacés d’un domaine à un autre, lesquels sont distants de 30 lieues. Le blé doit être transporté par un chameau en des voyages comportant 30 boisseaux. À chaque lieue, le chameau mange un boisseau.

Dis-moi, qui le veut, combien à la fin il restera de boisseaux.

Note. Dans le texte d’Alcuin, on signifiait que le chameau devait faire trois voyages : ce qui ne correspond pas à la solution.

Solution 52. Dans le premier voyage, le chameau transporte 30 boisseaux pendant 20 lieues. Il mange un boisseau à chaque lieue, soit 20 boisseaux. Il laisse sur place 10 boisseaux. Il fait de même au deuxième et au troisième voyage. Il reste alors 30 boisseaux sur place et 10 lieues à parcourir. Le chameau transporte les 30 boisseaux sur la distance de 10 lieues qui restent. Il mange 10 boisseaux. Il est donc resté 20 boisseaux.

Proposition 53. D’un abbé et ses 12 moines
L'abbé d’un monastère est responsable de 12 moines. Il veut leur répartir 204 œufs. Il ordonne que les œufs soient partagés en parts égales parmi les moines. De plus, les vieillards doivent recevoir 85 œufs.

Qui est assez fort, je vous le demande, pour déterminer le nombre d’œufs que chaque moine doit recevoir étant entendu, comme il est dit, que chaque moine reçoit la même quantité ?

Solution 53. On divise 204 en 12 parties. Chaque partie se compose de 17 oeufs, car si on prend 12 fois 17 ou 17 fois 12, on obtient 204. De plus, 85 contient 17 fois 5, 68 contient 17 fois 4 et 51 contient 17 fois 3. Bref, en additionnant 5, 4 et 3, on obtient 12, c'est le nombre de moines. En additionnant 85, 68 et 51, on obtient 204, c'est le nombre d'oeufs. Par conséquent, les œufs seront partagés en 17 parts de 12 oeufs chacune.

Conclusion
À notre connaissance, les propositions d’Alcuin, sauf quelques-unes, n’ont jamais été traduites en français. Nous avons décidé de faire ce travail pour que les générations actuelles et futures de langue française puissent consulter cette œuvre. Selon des historiens, certains de ces problèmes sont dus à des mathématiciens qui ont vécu avant Alcuin. C’est donc un recueil de mathématiques récréatives qui prend encore plus d’importance. Par la suite, plusieurs auteurs dont Bachet de Méziriac se sont inspirés de certaines de ces propositions.