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Ceci est le 12e article publié par Récréomath.


Carré antimagique d’ordre 3

Par Charles-É. Jean

 

Un carré antimagique est un arrangement carré d'entiers consécutifs à partir de l'unité, pour lequel les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales sont différentes et forment une suite d'entiers consécutifs. Il a été conjecturé qu’il n'existe pas de carré antimagique d'ordre 3 formé avec les entiers consécutifs de 1 à 9. Dans le présent texte, on démontre que cette conjecture est vraie.

Sommaire
  
   Propriétés des carrés antimagiques

 1. Le total est 108

 2. Le total est 116

 3. Le total est 124

 4. Le total est 132

     Conclusion


Propriétés
des carrés antimagiques

Tout carré d'ordre 3 contient huit rangées d’éléments : trois horizontales, trois verticales et deux diagonales. Comme il y a huit rangées, il y a huit sommes entières et différentes. Chacune de ces huit sommes est appelée valeur d’une rangée et la somme de ces huit sommes le total. Parmi les neuf cellules, celle du centre est l'intersection de quatre rangées ; les quatre cellules des coins touchent chacune à trois rangées ; les quatre cellules situées aux extrémités de la deuxième ligne et de la deuxième colonne touchent chacune à deux rangées. Voici la fréquence pour chaque cellule :

3

2

3

2

4

2

3

2

3

Selon la position des éléments dans la grille, le total peut varier puisque toutes les cellules n’ont pas la même fréquence. Par exemple, si on place 8 dans la cellule du centre, sa valeur est 8 ´ 4 = 32 ; si on y place 3, la cellule vaut 3 ´ 4 = 12. Pour trouver le plus petit total, on attribue 1 à la cellule marquée 4 ; 2, 3, 4 et 5 à celles marquées 3 ; 6, 7, 8, 9 à celles marquées 2. Le plus petit total est : 4 × 1 + 3(2 + 3 + 4 + 5) + 2 (6 + 7 + 8 + 9) = 106. Pour trouver le plus grand total, on attribue 9 à la cellule marquée 4 ; 8, 7, 6 et 5 à celles marquées 3 ; 4, 3, 2, 1 à celles marquées 2. Le plus grand total est : 4 × 9 + 3(8 + 7 + 6 + 5) + 2(4 + 3 + 2 + 1) = 134.

Soit r la plus petite valeur d’une rangée, les autres sont dans l’ordre (r + 1), (r + 2), (r + 3), ..., (r + 7). Le total est (8r + 28). Si 8r + 28 = 106, r = 9,75. La plus petite valeur entière de r est 10. Si 8r + 28 = 134, r = 13,25. La plus grande valeur entière de r est 13. Chaque total t peut être divisé en trois parties :

1. Les trois lignes dont la somme des éléments est 45.
2. Les trois colonnes dont la somme des éléments est aussi 45.
3. Les deux diagonales dont leur somme est (t - 90).

Voici, en regard de la valeur de r, le total, la somme des deux diagonales et les huit valeurs attribuables aux rangées :

Tableau 1

r

10

11

12

13

Total

108

116

124

132

Diagonales

18

26

34

42

Rangées

10 à 17

11 à 18

12 à 19

13 à 20

On étudie chaque total séparément.

Première hypothèse. Le total est 108.
La somme des deux diagonales est 18. Or, considérant les huit valeurs indiquées dans le tableau 1, la somme la plus petite de deux rangées est 10 + 11 = 21. Cette somme est supérieure à 18. En conséquence, il n'y a pas de carré antimagique lorsque le total est 108.

Deuxième hypothèse. Le total est 116.
La somme des deux diagonales est 26 (tableau 1). La somme des entiers de 1 à 9 qui est 45 peut être partagée en trois parties :

1. Le médian ou élément du centre qu’on désigne par m.

2. La quatre éléments des coins qui constituent les extrémités des deux diagonales. On désigne leur somme par c.

3. Les quatre éléments qui apparaissent aux extrémités de la deuxième ligne et de la deuxième colonne. Ces éléments forment les branches d’une croix. On désigne leur somme par b. Les rangées qui passent par les branches sont dites médianes.

De ce partage, on peut écrire : m + c + b = 45. Comme la somme des deux diagonales est 26, la somme des quatre coins est (26 - 2m) ; la somme des quatre branches est (19 + m) ; la somme des deux médianes est (2m + b). Par exemple, si m = 1, la somme des coins est 24, celle des branches 20 et celle des médianes 22. Le tableau suivant indique ces sommes en fonction des valeurs attribuables au médian.

Tableau 2

Médian
m

Somme des coins

Somme des branches

Somme des médianes

1

24

20

22*

2

22

21

25

3

20

22

28

4

18

23

31

5

16

24

34

6

14

25

37*

7

12

26

40*

8

10

27

43*

9

8

28

46*

Comme la plus petite somme de deux rangées est 11 + 12 = 23 et que la plus grande est 17 + 18 = 35 (tableau 1), il faut éliminer les sommes des médianes marquées d’un astérisque. En d’autres mots, il n’y a pas de carré antimagique quand m = 1, car la somme des médianes est inférieure à 23. Il n’y en a pas quand m ³ 6, car la somme des médianes est supérieure à 35. Il nous reste à vérifier les cas où m est égal à 2, 3, 4 ou 5.

Dans la suite 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 qui sont les valeurs des rangées, il existe deux couples qu’on peut attribuer aux diagonales et dont la somme est 26 : (11, 15) et (12, 14). Pour chaque couple, on vérifie tous les cas pour voir si on pourrait aboutir à des carrés antimagiques.

Partie 1. Les valeurs des diagonales sont 11 et 15.
La somme des médianes a été établie dans le tableau 2. On la transcrit dans le tableau suivant et on écrit les valeurs possibles de chaque médiane.

Tableau 3

Médian

Somme des
médianes

Valeurs des
médianes

2

25

(11, 14)*

   

(12, 13)

3

28

(11, 17)*

   

(12, 16)**

   

(13, 15)*

4

31

(13, 18)**

   

(14, 17)

   

(15, 16)*

5

34

(16, 18)

Puisque toutes les rangées doivent avoir une valeur différente, on élimine les cas où 11 et 15 apparaissent dans les médianes. Ces cas sont marqués d’un astérisque. Par ailleurs, chaque ensemble de trois lignes et de trois colonnes ayant une somme de 45, les rangées d’un ensemble valent (12, 16, 17) et celles de l’autre (13, 14, 18). Il faut alors éliminer (12, 16) et (13, 18) parce que ces valeurs apparaissent dans le même ensemble. Un double astérisque marque ces deux cas. Il reste à étudier les cas non marqués.

Selon le tableau 3, lorsque les diagonales valent 11 et 15, il reste trois paires de médianes : (12, 13), (14, 17) et (16, 18). Dans le tableau suivant, en regard de chaque médian, on donne la valeur des médianes, les sommes des coins et les éléments possibles des quatre coins apparaissant dans les diagonales A et B. Puis, on donne les sommes des branches et les éléments possibles des quatre branches apparaissant dans les médianes C et D. Par ailleurs, dans la colonne S, un nombre donné représente une valeur qui ne peut être attribuée à aucune des quatre rangées périphériques (lignes 1 et 3, colonnes 1 et 3).

Tableau 4

Médian
m

Valeur
des
médianes

Sommes des
coins

Coins de
la diagonale A

Coins de
la diagonale B

Sommes
des
branches

Branches de
la médiane
C

Branches de la médiane
D

S

2

(12, 13)

(9, 13)

1, 8

4, 9

(10, 11)

3, 7

5, 6

14*

     

1, 8

6, 7

 

-

-

*

     

3, 6

4, 9

 

-

-

*

     

3, 6

5, 8

 

1, 9

4, 7

13*

     

4, 5

6, 7

 

1, 9

3, 8

16*

4

(14, 17)

(7, 11)

1, 6

2, 9

(10, 13)

(3, 7)

(5, 8)

12*

     

1, 6

3, 8

 

-

-

*

     

2, 5

3, 8

 

1, 9

6, 7

13*

5

(16, 18)

(6, 10)

2, 4

1, 9

(11, 13)

3, 8

6, 7

l

     

2, 4

3, 7

 

-

-

*


D’après les résultats du tableau, trois situations se présentent.

1e Il y a un nombre suivi d’un astérisque dans la colonne S.
Cela signifie qu’il a été possible de trouver des éléments pour les coins des diagonales et pour les branches des médianes. Dans un carré, on écrit le médian et les éléments des coins. On essaie de trouver au moins une somme qui ne peut pas apparaître dans les quatre rangées périphériques. Par exemple, lorsque m = 2 et que les coins sont (1, 8) et (4, 9), on écrit ces éléments comme ceci.

1

 

4

 

2

 

9

 

8

Parmi les valeurs autres que 11 et 15, on vérifie s’il existe au moins une valeur qui ne peut pas être attribuée aux rangées périphériques. Dans cet exemple, 14 est une de ces valeurs. En effet, il manquerait 9 sur la première ligne, - 3 sur la troisième ligne, 4 dans la première colonne et 2 dans la troisième colonne. Or, 9, 4 et 2 apparaissent déjà dans le carré ; -3 n’est pas dans l’intervalle de 1 à 9. Comme on ne peut pas attribuer au moins une valeur, soit la 14, ce carré ne peut pas être antimagique. Il en est de même pour tous les cas où une somme apparaît dans la colonne S.

2e Il y a un astérisque seul dans la colonne S.
Un tiret indique qu’il n’est pas possible de compléter les médianes, car autrement un même élément apparaîtrait plus d’une fois. Par exemple, lorsque le médian est 2 et que les coins des diagonales sont (1, 8) et (6, 7), les éléments qui restent à placer dans les branches sont (3, 4, 5, 9). Comme les sommes des branches sont 10 et 11, on ne peut pas combiner ces éléments deux à deux pour donner ces sommes. L’astérisque marque l’élimination de ces cas.

3e Il y a un cercle dans la colonne S.
Un seul cas se présente où chaque somme peut apparaître au moins une fois dans les quatre rangées périphériques. C’est le cas où le médian est 5 et que les coins sont (2, 4) et (1, 9). On le traite séparément. On écrit le médian ; puis on complète les diagonales comme ci-dessous à gauche. Les lettres A, B, C et D sont mises pour des éléments à trouver.

2

C

1

 

2

8

1

B

5

A

 

6

5

7

9

D

4

 

9

3

4

On complète le second carré ainsi. Au lieu de A, on écrit 7 : c’est la seule façon d’avoir une rangée de valeur 12. On doit compléter la ligne avec 6 en B car 6 et 7 doivent apparaître dans la même médiane. On doit placer 8 en C et on complète la colonne avec 3 en D. Il manque les sommes 13 et 14 ; en revanche, deux sommes apparaissent chacune deux fois : 11 et 16. Ce carré n’est pas antimagique.

Bref, il n’existe pas de carré antimagique quand les valeurs des diagonales sont 11 et 15.

Partie 2. Les valeurs des diagonales sont 12 et 14.
La somme des deux médianes a été établie dans le tableau 2. On la transcrit dans le tableau suivant et on écrit les valeurs possibles de chaque médiane.

Tableau 5

Médian

Somme des deux médianes

Valeur de chaque médiane

2

25

(11, 14)*

   

(12, 13)*

3

28

(11, 17)

   

(12, 16)*

   

(13, 15)**

4

31

(13, 18)

   

(14, 17)*

   

(15, 16)

5

34

(16, 18)**

Puisque toutes les valeurs des rangées doivent être différentes, on élimine les cas où 12 et 14 apparaissent dans les médianes. Ces cas sont marqués d’un astérisque. Par ailleurs, chaque ensemble de trois lignes et de trois colonnes ayant une somme de 45, les rangées d'un ensemble valent (11, 16, 18) et celles de l'autre (13, 15, 17). Il faut alors éliminer (13, 15) et (16, 18) parce que ces valeurs apparaissent dans le même ensemble. Un double astérisque marque ces deux cas. Il reste à étudier les cas non marqués.

Selon le tableau 5, lorsque les diagonales valent 12 et 14, il reste trois paires de médianes : (11, 17), (13, 18) et (15, 16). Dans le tableau suivant, on étudie ces cas comme dans le tableau 4.

Tableau 6

Médian
m

Valeur
des médianes

Sommes
des
coins

Coins de la
diagonale
A

Coins de la
diagonale
B

Sommes
des
branches

Branches de
la médiane
C

Branches de
la médiane
D

S

3

(11, 17)

(9, 11)

1, 8

2, 9

(8, 14)

-

-

*

     

1, 8

4, 7

 

2, 6

5, 9

15*

     

1, 8

5, 6

 

-

-

*

     

2, 7

5, 6

 

-

-

*

     

4, 5

2, 9

 

1, 7

6, 8

11*

4

(13, 18)

(8, 10)

1, 7

2, 8

(9, 14)

3, 6

5, 9

11*

     

2, 6

1, 9

 

-

-

*

     

2, 6

3, 7

 

(1, 8)

(5, 9)

11*

     

3, 5

1, 9

 

2, 7

6, 8

15*

     

3, 5

2, 8

 

-

-

*

4

(15, 16)

(8, 10)

1, 7

2, 8

(11, 12)

5, 6

3, 9

11*

     

2, 6

1, 9

 

3, 8

5, 7

13*

     

2, 6

3, 7

 

-

-

*

     

3, 5

1, 9

 

-

-

*

     

3, 5

2, 8

 

-

-

*

L’interprétation des données de la colonne S est identique à celle du tableau 4. Tous les cas sont donc éliminés. Bref, il n’existe pas de carré antimagique lorsque les valeurs des diagonales sont 12 et 14.

Dans cette deuxième hypothèse, on a examiné tous les cas possibles quand les valeurs des diagonales sont (11, 15) et (12, 14). On n’a trouvé aucun carré antimagique. Il n’existe donc pas de carré antimagique lorsque le total est 116.

Troisième hypothèse. Le total est 124.
On suppose qu'il existe au moins un carré antimagique dont le total est 116. De 10, on soustrait chaque élément de ce carré. On retrouve les entiers de 1 à 9. De 30, il faudrait alors soustraire chacune des valeurs des rangées. On obtiendrait : 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 et 19. Ce sont précisément les valeurs des rangées lorsque le total est 124. On illustre ces propos par un exemple. On suppose que le carré de gauche formé des entiers de a à i est antimagique. On imagine que les valeurs des rangées sont celles données à droite et en bas du carré. En appliquant les opérations expliquées précédemment, on obtient le carré de droite avec les valeurs de chaque rangée.

 

 

 

11

 

 

 

 

19

a

b

c

16

 

10-a

10-b

10-c

14

d

e

f

12

 

10-d

10-e

10-f

18

g

h

i

17

 

10-g

10-h

10-i

13

18

13

14

15

 

12

17

16

15

Si les lettres de a à i sont mises pour les entiers de 1 à 9, le carré de droite contient aussi les entiers de 1 à 9. Les valeurs des rangées du carré de gauche varient de 11 à 18 : leur total est 116 ; tandis que celles du carré de droite varient de 12 à 19 : leur total est 124.

En conséquence, comme il n'existe pas de carré antimagique dont le total est 116, il n'en existe pas dont le total est 124.

Quatrième hypothèse. Le total est 132.
La somme des deux diagonales est 42. Or, considérant les huit valeurs des rangées, la somme la plus grande de deux rangées est 19 + 20 = 39. Cette somme est inférieure à 42. En conséquence, il n'y a pas de carré antimagique lorsque le total est 132.

Conclusion
Après un examen détaillé des seules quatre hypothèses, on n'a trouvé aucun carré antimagique. En conséquence, il n'existe pas de carré antimagique d'ordre 3 formé avec les entiers consécutifs de 1 à 9. Û