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Cet article présente une grande partie des termes
reliés aux carrés magiques. On y trouve des définitions avec des
exemples. La plupart des textes et des grilles proviennent du Dictionnaire
de mathématiques récréatives publié dans ce site web. Ce résumé
a été fait dans le but de rassembler les connaissances de base sur ce
sujet en un seul document.
Algébrique (Carré)
Carré
magique d’ordre pair, subdivisé en quatre carrés concourants au
centre, dans lequel la somme des nombres de chaque section est égale à
la densité ou constante du carré magique. Voici un exemple :
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8
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15
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10
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13
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6
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3
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14
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11
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4
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5
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7
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2
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9
|
16
|
La
somme des éléments de chaque carré 2 × 2 est 34, tout comme la
densité.
Antimagique (Carré)
Arrangement
carré d'entiers consécutifs à partir de l'unité, pour lequel toutes
les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque
diagonale principale sont différentes et forment une suite d'entiers
consécutifs. Voici un exemple :
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32
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1
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15
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7
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14
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37
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13
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12
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9
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2
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36
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16
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6
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8
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34
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3
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5
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10
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29
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33
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38
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35
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30
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31
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Les
sommes sont des entiers de 29 à 38.
Antitruqué (Carré magique)
Arrangement
carré d'entiers naturels quelconques différents et disposés de telle
manière que, sur toute ligne ou sur toute colonne, les éléments
adjacents pris deux à deux sont premiers entre eux et qu'obliquement
les éléments adjacents pris également deux à deux ont au moins un
facteur commun. Voici un exemple :
Par
exemple, 5 et 2 sont premiers entre eux. De plus, 5 et 15 ont un facteur
commun.
Arithmétique (Carré magique)
Carré
magique dans lequel on fait la somme des nombres de chaque rangée. On
l’oppose au carré magique géométrique dans lequel on fait le
produit des nombres. Voici un exemple de carré arithmétique :
La
densité est 36. Dans la pratique, quand on parle de carré magique, il
s’agit du carré magique arithmétique.
Arithmo-géométrique (Carré
magique)
Carré
qui est magique quand on additionne ses éléments et également quand
on les multiplie.
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105
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29
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100
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243
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26
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51
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116
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30
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57
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225
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174
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23
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108
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104
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119
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|
27
|
92
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136
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91
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38
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261
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150
|
|
68
|
13
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189
|
184
|
87
|
50
|
114
|
135
|
|
75
|
58
|
90
|
171
|
52
|
17
|
161
|
216
|
|
78
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153
|
69
|
54
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175
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232
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60
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19
|
|
203
|
200
|
76
|
15
|
102
|
117
|
81
|
46
|
La
densité de ce carré magique d'ordre 8 est 840 quand on additionne les
éléments, et 2 058 068 231 856 000 quand on les multiplie.
Associé (Carré magique)
Carré magique d’ordre n dans
lequel toute paire de nombres placés dans des cases diamétralement équidistantes
du centre a une somme constante. Si n est impair, la case qui est
l'intersection des deux diagonales constitue le centre ; si n est
pair, le point où les deux diagonales se rencontrent est considéré
comme le centre. Voici un exemple :
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20
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23
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1
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18
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21
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13
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16
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24
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22
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5
|
8
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25
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3
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6
|
14
|
17
|
Chaque paire de nombres équidistants du centre a respectivement
une somme de 26. C’est le cas de 9 et 17, de 12 et 14, de 15 et 11.
Bimagique (Carré)
Carré magique qui est également magique si on élève chacun de
ses éléments au carré. Voici un carré bimagique d’ordre 8 dû au
Britannique Henry E. Dudeney en 1917.
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7
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12
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51
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64
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25
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45
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34
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53
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58
|
1
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14
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43
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40
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31
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20
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41
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38
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3
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16
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27
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24
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47
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5
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10
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|
2
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13
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54
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57
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44
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39
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52
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11
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46
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33
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50
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61
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6
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9
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|
17
|
42
|
37
|
4
|
15
|
56
|
59
|
La
densité est 260 au premier degré et 11 180 au second degré.
Bordures (Carré magique à)
Carré magique d'ordre n
qui peut être subdivisé en (n
- 4)/2 carrés magiques lorsque
n est pair, et en (n
- 3)/2 carrés magiques lorsque n
est impair. Les éléments des carrés internes appartiennent à tous
les plus grands carrés dont ils forment un sous-ensemble. Voici un
exemple de carré magique d'ordre 8 à bordures :
|
46
|
21
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22
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23
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24
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39
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40
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45
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28
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56
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12
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11
|
14
|
47
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55
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37
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|
29
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49
|
64
|
2
|
3
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61
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16
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36
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31
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17
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5
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59
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58
|
8
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48
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34
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33
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13
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57
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7
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6
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60
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52
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32
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35
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50
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4
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62
|
63
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1
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15
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30
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|
38
|
10
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53
|
54
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51
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18
|
9
|
27
|
|
20
|
44
|
43
|
42
|
41
|
26
|
25
|
19
|
Les
densités des carrés d'ordres 8, 6 et 4 sont respectivement 260, 195 et
130.
Brisée (Diagonale)
Dans
une grille carrée d'ordre n, toute séquence de n éléments
contenus dans deux rangées parallèles à une diagonale principale.
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1
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2
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3
|
4
|
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
|
12
|
|
13
|
14
|
15
|
16
|
Cette grille carrée d'ordre 4 contient six diagonales brisées :
(1, 8, 11, 14), (2, 5, 12, 15), (3, 6, 9, 16), (4, 5, 10, 15), (3, 8, 9,
14) et (2, 7, 12, 13). Les diagonales autres que brisées sont dites
principales.
Cabalistique (Carré)
Carré qui est à la fois diabolique à la première puissance et
magique à la seconde puissance c’est-à-dire quand on élève chaque
élément au carré. Voici un carré cabalistique d'ordre 8 proposé en
1976 par les Américains William H. Benson et Oswald Jacoby :
|
47
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28
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6
|
49
|
23
|
36
|
62
|
9
|
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8
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51
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45
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26
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64
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11
|
21
|
34
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|
53
|
2
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32
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43
|
13
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58
|
40
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19
|
|
30
|
41
|
55
|
4
|
38
|
17
|
15
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60
|
|
42
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29
|
3
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56
|
18
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37
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59
|
16
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|
1
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54
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31
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57
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14
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20
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52
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7
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25
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46
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63
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33
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22
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|
27
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48
|
50
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5
|
35
|
24
|
10
|
61
|
Ce carré cabalistique est normal. Sa densité est 260 à la première
puissance et 11 180 à la seconde puissance.
Case
Chacun des petits carrés d’un carré magique. On emploie parfois
le mot cellule.
Cellule
Chacun des petits carrés d’un carré magique. On emploie
ordinairement le mot case.
Châssis (Carré magique à)
Carré
magique dans lequel un ensemble d'éléments est disposé en forme de châssis
formant ainsi un autre carré magique. Émile Fourrey a donné le carré
magique à châssis donné à gauche.
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1
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16
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35
|
34
|
21
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4
|
|
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25
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9
|
26
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23
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10
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18
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1
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35
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34
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4
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32
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20
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6
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7
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17
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29
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32
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6
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7
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29
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31
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13
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5
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8
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30
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31
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5
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12
|
27
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11
|
14
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28
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19
|
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33
|
3
|
2
|
36
|
|
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15
|
3
|
2
|
22
|
|
|
|
|
|
|
|
La
densité du carré magique à châssis est 111. Le second carré est
formé par les éléments placés dans les châssis. Il est aussi
magique et sa densité est 74.
Colonne
Séquence
d'objets alignés perpendiculairement au plan dans une figure. Une
grille carrée d'ordre n est formé de n colonnes. Le carré
magique suivant contient trois colonnes.
|
40
|
5
|
30
|
|
15
|
25
|
35
|
|
20
|
45
|
10
|
Aussi
appelée rangée verticale.
Compartiments (Carré magique à)
Carré
magique d'ordre n qui peut être
partagé en carrés magiques d'un autre même ordre sans vide et sans empiétement.
Voici un carré magique d’ordre 9 à compartiments :
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71
|
64
|
69
|
8
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1
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6
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53
|
46
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51
|
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66
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68
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3
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5
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7
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48
|
50
|
52
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67
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72
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65
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4
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9
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2
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49
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54
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47
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26
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19
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24
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44
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37
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42
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62
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55
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60
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|
21
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23
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25
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39
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41
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43
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57
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59
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61
|
|
22
|
27
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20
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40
|
45
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38
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58
|
63
|
56
|
|
35
|
28
|
33
|
80
|
73
|
78
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17
|
10
|
15
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30
|
32
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34
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75
|
77
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|
12
|
14
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16
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|
31
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36
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29
|
76
|
81
|
74
|
13
|
18
|
11
|
Ce
carré magique est normal. Sa densité est 369. Il est composé de neuf
petits carrés magiques d'ordre 3 dont les densités forment une suite
arithmétique
: 15, 42, 69, 96, 123, 150, 177, 204, 231. La raison de la suite
est 27.
Complémentaire (Carré magique)
Carré
magique qui est formé, à partir d’un carré magique, en soustrayant
chaque élément de son plus grand nombre augmenté de l’unité. Le
second carré magique ci-après est formé en soustrayant de 17 les éléments
du premier carré magique.
|
1
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13
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8
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12
|
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16
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4
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9
|
5
|
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16
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11
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2
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5
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1
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6
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15
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12
|
|
3
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6
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15
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10
|
|
14
|
11
|
2
|
7
|
|
14
|
4
|
9
|
7
|
|
3
|
13
|
8
|
10
|
Lorsque
le carré magique initial est normal, le second l’est aussi.
Composé
(Carré magique)
Carré
magique formé par n2
nombres non premiers. Voici un carré magique composé d'ordre 3 dont la
densité est 354 :
|
121
|
114
|
119
|
|
116
|
118
|
120
|
|
117
|
122
|
115
|
Concentrique
(Carré magique)
Autre
appellation de carré magique à bordures.
Constante
Autre
appellation de densité dans un carré magique.
Correspondant
(Élément)
Tout
élément disposé dans la même position qu’un autre élément dans
deux carrés magiques de même grandeur.
Croix
(Carré magique à)
Carré
magique dans lequel l'ensemble des éléments en dehors de la croix
forme un autre carré magique. Émile Fourrey a donné ce carré magique
à croix :
|
1
|
35
|
16
|
21
|
34
|
4
|
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32
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6
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20
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17
|
7
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29
|
|
25
|
26
|
9
|
10
|
23
|
18
|
|
12
|
11
|
27
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28
|
14
|
19
|
|
8
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30
|
24
|
13
|
31
|
5
|
|
33
|
3
|
15
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22
|
2
|
36
|
Le
grand carré magique a une densité de 111, et le carré magique d'ordre
4, celui en dehors de la croix, a une densité de 74. De plus, la somme
des nombres de chacun des neuf carrés distincts 2 × 2 est égale à
74.
Curieux
(Carré magique)
Carré
magique qui possède des propriétés particulières à l’aide
desquelles très peu d'autres carrés magiques peuvent être construits.
Joseph S. Madachy mentionne un carré diabolique d'ordre 7, construit
par un détenu, qui contient seulement des nombres premiers et dont la
densité est 27 627. Son caractère curieux vient du fait qu'en effaçant
l'unité de chaque élément du carré on obtient un second carré
diabolique. Sa densité est 2760. Voici ce carré magique :
|
11
|
3851
|
9257
|
1747
|
6481
|
881
|
5399
|
|
6397
|
827
|
5501
|
71
|
3779
|
9221
|
1831
|
|
3881
|
9281
|
1759
|
6361
|
911
|
5417
|
17
|
|
839
|
5381
|
101
|
3797
|
9227
|
1861
|
6421
|
|
9311
|
1777
|
6367
|
941
|
5441
|
29
|
3761
|
|
5387
|
131
|
3821
|
9239
|
1741
|
6451
|
857
|
|
1801
|
6379
|
821
|
5471
|
47
|
3767
|
9341
|
Degré
Dans
un carré magique, toute valeur attribuée à une cellule laquelle
correspond au nombre de rangées d'éléments qui passent par cette
cellule. Le degré de chaque cellule est indiqué dans ce carré
d’ordre 4.
|
3
|
2
|
2
|
3
|
|
2
|
3
|
3
|
2
|
|
2
|
3
|
3
|
2
|
|
3
|
2
|
2
|
3
|
Densité
Somme
constante des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque
diagonale principale dans un carré magique. Cette somme est unique.
Dans le carré magique ci-après, la densité est 34.
|
1
|
13
|
8
|
12
|
|
16
|
11
|
2
|
5
|
|
3
|
6
|
15
|
10
|
|
14
|
4
|
9
|
7
|
Certains
auteurs parlent de constante ou de somme magique.
Dentelé
(Carré)
Autre
façon de distribuer les nombres dans une grille carrée. Dans le carré
ci-après, on compte six diagonales, puis une ligne et une colonne de
trois éléments.
Ce
carré est magique. La somme des nombres de chacune des huit rangées de
trois cellules est 15.
Diabolique (Carré)
Nom donné par Édouard Lucas (1842-1891) à un carré magique
d'ordre n ayant une propriété
additionnelle, c'est-à-dire que la somme des
n nombres de chaque diagonale brisée est aussi égale à la
densité. Voici un carré diabolique d’ordre 4 :
|
1
|
8
|
10
|
15
|
|
14
|
11
|
5
|
4
|
|
7
|
2
|
16
|
9
|
|
12
|
13
|
3
|
6
|
Par exemple, l’une des diagonales brisées contient 1, 4, 16, 13
dont la somme est 34, tout comme la densité du carré magique.
Diagonale
Dans
une grille carrée d’ordre n, toute séquence de n éléments
alignés qui ne forment pas une rangée horizontale ou verticale. Chaque
carré magique est constitué de deux diagonales. Ces diagonales peuvent
être de gauche (celle qui part de la case supérieure gauche) et de
droite (celle qui part de la case supérieure droite).
|
1
|
13
|
8
|
12
|
|
16
|
11
|
2
|
5
|
|
3
|
6
|
15
|
10
|
|
14
|
4
|
9
|
7
|
La
diagonale de gauche est formée de 1, 11, 15 et 7. On les appelle
parfois diagonales principales quand on considère les diagonales brisées.
Différent
(Carré magique)
Carré
magique qui ne provient pas d’une rotation ou d’une symétrie sur un
autre carré magique de même ordre. Les deux carrés magiques d’ordre
4 illustrés sont différents.
|
4
|
5
|
16
|
9
|
|
4
|
5
|
16
|
9
|
|
11
|
7
|
2
|
14
|
|
11
|
14
|
7
|
2
|
|
6
|
10
|
15
|
3
|
|
13
|
12
|
1
|
8
|
|
13
|
12
|
1
|
8
|
|
6
|
3
|
10
|
15
|
Dürer (Carré de)
Carré
magique normal d'ordre 4 qui apparaît sur la gravure Melencolia de l'artiste allemand Albrecht Dürer.
|
16
|
3
|
2
|
13
|
|
5
|
10
|
11
|
8
|
|
9
|
6
|
7
|
12
|
|
4
|
15
|
14
|
1
|
Les
deux nombres du centre de la ligne inférieure indiquent l'année de la
création de cette œuvre artistique, soit 1514.
Élément d’un carré magique
Tout
nombre qui appartient à un carré magique. Un carré magique d'ordre n
contient n2 éléments.
Enceintes (Carré magique à)
Autre
appellation de carré magique à bordures.
Équivalent (Carré magique)
Carré
magique d'ordre n qui est formé
par rotation ou par symétrie à partir d’un autre carré magique. Les
deux carrés magiques d’ordre 4 ci-après sont équivalents. Le second
a été obtenu par une rotation de 90 degrés dans le sens antihoraire
à partir du premier.
|
5
|
3
|
14
|
12
|
|
12
|
13
|
1
|
8
|
|
4
|
10
|
7
|
13
|
|
14
|
7
|
11
|
2
|
|
16
|
6
|
11
|
1
|
|
3
|
10
|
6
|
15
|
|
9
|
15
|
2
|
8
|
|
5
|
4
|
16
|
9
|
Deux
carrés magiques équivalents ont nécessairement la même densité.
Franklin (Carré de)
Carré
semi-magique imaginé par l'américain Franklin, qui a un grand nombre
de propriétés.
|
52
|
61
|
4
|
13
|
20
|
29
|
36
|
45
|
|
14
|
3
|
62
|
51
|
46
|
35
|
30
|
19
|
|
53
|
60
|
5
|
12
|
21
|
28
|
37
|
44
|
|
11
|
6
|
59
|
54
|
43
|
38
|
27
|
22
|
|
55
|
58
|
7
|
10
|
23
|
26
|
39
|
42
|
|
9
|
8
|
57
|
56
|
41
|
40
|
25
|
24
|
|
50
|
63
|
2
|
15
|
18
|
31
|
34
|
47
|
|
16
|
1
|
64
|
49
|
48
|
33
|
32
|
17
|
Entre
autres propriétés, la somme des éléments des lignes et des colonnes
est égale à 260. La somme des carrés 2 × 2 distincts est égale à
130.
Frénicle
(Carré de)
Carré
magique imaginé par le mathématicien Frénicle dans lequel certaines
cellules ne comportent aucun nombre.
|
|
20
|
1
|
24
|
5
|
|
|
21
|
17
|
|
|
8
|
4
|
|
16
|
|
12
|
13
|
|
9
|
|
10
|
|
18
|
7
|
|
15
|
|
3
|
11
|
|
|
14
|
22
|
|
|
2
|
19
|
6
|
23
|
|
La
densité de ce carré magique est 50.
Général (Carré magique)
Carré
magique formé de variables qui peut générer autant de carrés
magiques que l’on veut en attribuant des valeurs arbitraires à chaque
variable. Le carré magique général de gauche permet le carré magique
de droite lorsque k = 13, x = 4 et y = 5.
|
k+x
|
k-x-y
|
k+y
|
|
17
|
4
|
18
|
|
k-x+y
|
k
|
k+x-y
|
|
14
|
13
|
12
|
|
k-y
|
k+x+y
|
k-x
|
|
8
|
22
|
9
|
Géométrique (Carré magique)
Carré
dans lequel le produit des éléments de chaque ligne, de chaque colonne
et de chaque diagonale est identique. Le plus petit carré magique géométrique
d’ordre 3 qui contient des entiers différents est :
Sa
densité est 216.
Homogène
(Carré magique)
Carré
magique formé d’éléments identiques. Voici un carré magique homogène d’ordre
3 :
Jaïna
(Carré)
Carré
magique normal d'ordre 4 trouvé à Kharujaho en Inde dans une
inscription du 11e ou
12e siècle
et qui est le plus ancien carré magique connu. Ce carré, aussi appelé carré
de Kharujaho, est diabolique. Voici ce carré :
|
7
|
12
|
1
|
14
|
|
2
|
13
|
8
|
11
|
|
16
|
3
|
10
|
5
|
|
9
|
6
|
15
|
4
|
Kharujaho
(Carré)
Aussi
appelé carré Jaïna.
Ligne
Séquence
d'objets alignés parallèlement au plan dans une figure. Une grille
carrée d'ordre n est formée
de n lignes. Le
carré magique suivant contient trois lignes.
|
40
|
5
|
30
|
|
15
|
25
|
35
|
|
20
|
45
|
10
|
Aussi
appelée rangée horizontale.
Magico-magique
(Carré)
Carré
magique général d'ordre 4 proposé par Fermat (1601-1665), qui
contient 24 sommes magiques : les quatre lignes, les quatre colonnes,
les deux diagonales principales, les deux diagonales brisées séparées
en leur moitié, les quatre petits carrés 2 × 2 aux sommets du carré,
les quatre figures formées par les sommets d'un carré 3 × 3, une
figure qui comprend les quatre sommets du carré, une autre qui comprend
un carré 2 × 2 au centre, et les deux dernières les sommets d'un
rectangle 2 × 4 placés horizontalement ou verticalement au centre du
carré. Chacune des huit variables est indépendante l'une de l'autre et
peut recevoir toute valeur arbitraire. En attribuant les valeurs a = 0,
b = 4, c = 8, d = 12, p = 1, q = 2, r = 3 et s = 4, on obtient le carré
magico-magique dont la densité est 34.
|
a+p
|
c+s
|
d+q
|
b+r
|
|
1
|
12
|
14
|
7
|
|
d+r
|
b+q
|
a+s
|
c+p
|
|
15
|
6
|
4
|
9
|
|
b+s
|
d+p
|
c+r
|
a+q
|
|
8
|
13
|
11
|
2
|
|
c+q
|
a+r
|
b+p
|
d+s
|
|
10
|
3
|
5
|
16
|
La
densité correspond à la somme des huit variables.
Magique
(Carré)
Grille carrée d’ordre n dans laquelle les n2 cases
ou cellules contiennent des nombres disposés de telle manière que leur
somme est toujours la même sur chaque ligne, dans chaque colonne et
dans chacune des deux diagonales principales. Voici un carré
magiques composé de nombres décimaux dont la densité est 6,5 :
|
2,4
|
0,2
|
1
|
1,3
|
1,6
|
|
1,5
|
1,8
|
2,1
|
0,4
|
0,7
|
|
0,1
|
0,9
|
1,2
|
2
|
2,3
|
|
1,7
|
2,5
|
0,3
|
0,6
|
1,4
|
|
0,8
|
1,1
|
1,9
|
2,2
|
0,5
|
Magique
(Somme)
Autre
appellation de densité.
Médian
Élément
commun aux deux diagonales principales dans une grille carrée d'ordre
impair. Une grille carrée d'ordre 2n
n'a pas de médian. Dans un carré magique d'ordre 3, le médian est égal
au tiers de la densité et à la demi-somme des deux autres éléments
dans chaque rangée. Dans le carré magique suivant, le médian est 25.
|
40
|
5
|
30
|
|
15
|
25
|
35
|
|
20
|
45
|
10
|
Multimagique
(Carré)
Carré
magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments
successivement à une même puissance en ordre numérique constant. Les
carrés sont dits bimagiques, trimagiques, tétramagiques, pentamagiques,
… selon que la puissance est respectivement 2, 3, 4, 5, ...
Nasik
(Carré)
Autre
appellation de carré diabolique.
Normal
(Carré magique)
Carré
magique dans lequel on place les nombres de 1 à n2 où n est
l’ordre du carré. Par exemple, dans un carré magique d’ordre 4, on
place les nombres de 1 à 16.
|
1
|
4
|
14
|
15
|
|
13
|
16
|
2
|
3
|
|
8
|
5
|
11
|
10
|
|
12
|
9
|
7
|
6
|
Nul
(Carré magique)
Carré
magique formé de zéros. Voici un carré magique nul d’ordre 3 :
Le
carré magique nul est un carré magique homogène.
Oblique
(Rangée)
Se
dit de toute rangée qui n’est ni horizontale, ni verticale, ni
diagonale dans un carré magique.
Ordre
d’un carré magique
Nombre
de lignes ou de colonnes dans un carré magique. Par exemple, une grille
carrée 5 × 5 est le support d’un carré magique d’ordre 5.
Orthogonale
(Rangée)
Se
dit de toute rangée horizontale ou de toute rangée verticale dans un
carré magique. Une grille carrée 3 × 3 a six rangées orthogonales :
trois rangées horizontales et trois rangées verticales. Un carré
d'ordre n est composé de 2n
rangées orthogonales.
Pandiagonal
(Carré magique)
Autre
appellation de carré diabolique.
Panmagique
(Carré)
Autre
appellation de carré diabolique.
Pentamagique
(Carré)
Carré
magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments
successivement au carré, au cube, à la puissance quatrième et à la
puissance cinquième.
Premier
(Carré magique)
Carré
magique dont tous les éléments sont des nombres premiers. Les trois
carrés magiques suivants sont premiers :
|
83
|
29
|
101
|
|
277
|
31
|
163
|
|
631
|
199
|
433
|
|
89
|
71
|
53
|
|
43
|
157
|
271
|
|
223
|
421
|
619
|
|
41
|
113
|
59
|
|
151
|
283
|
37
|
|
409
|
643
|
211
|
La
densité du premier carré magique est 213 ; celle du deuxième est
471 ; celle du troisième 1263.
Principale
(Diagonale)
Toute
diagonale qui joint deux sommets non consécutifs dans un carré
magique. Dans une grille carrée d'ordre n,
toute séquence de n éléments
disposés en une rangée qui n’est pas orthogonale. Une grille carrée
a deux diagonales principales.
Rangée
Ensemble d’objets disposés en ligne droite ou selon une certaine
symétrie. On considère que les lignes, les colonnes et les diagonales
sont des rangées.
Renversé (Carré magique)
Carré
magique qui demeure magique quand on remplace tout élément par son
renversé dans toute cellule correspondante. Voici deux carrés magiques
mutuellement renversés :
|
11
|
03
|
15
|
07
|
24
|
|
11
|
30
|
51
|
70
|
42
|
|
05
|
22
|
14
|
01
|
18
|
|
50
|
22
|
41
|
10
|
81
|
|
04
|
16
|
08
|
20
|
12
|
|
40
|
61
|
80
|
02
|
21
|
|
23
|
10
|
02
|
19
|
06
|
|
32
|
01
|
20
|
91
|
60
|
|
17
|
09
|
21
|
13
|
00
|
|
71
|
90
|
12
|
31
|
00
|
La
densité du premier est 60 et celle du second est 204.
Réversible (Carré magique)
Carré
magique dont les chiffres sont réversibles et qui demeure magique à la
suite d'une rotation de 180 degrés du carré sans que ses éléments
bougent. La densité de chacun des deux carrés magiques est 264.
|
96
|
11
|
89
|
68
|
|
18
|
99
|
86
|
61
|
|
88
|
69
|
91
|
16
|
|
66
|
81
|
98
|
19
|
|
61
|
86
|
18
|
99
|
|
91
|
16
|
69
|
88
|
|
19
|
98
|
66
|
81
|
|
89
|
68
|
11
|
96
|
Semi-diabolique (Carré)
Carré magique d'ordre
n ayant la propriété additionnelle suivante : la somme
des n nombres d’au moins une
et au plus (n – 1)
diagonales brisées par rapport à chacune des deux diagonales
principales est égale à la densité. Voici deux carrés
semi-diaboliques dans chacun desquels l'une des diagonales brisées est
illustrée :
|
|
|
|
|
|
22
|
19
|
6
|
3
|
15
|
|
16
|
3
|
2
|
13
|
|
18
|
10
|
2
|
14
|
21
|
|
5
|
10
|
11
|
8
|
|
9
|
1
|
13
|
25
|
17
|
|
9
|
6
|
7
|
12
|
|
5
|
12
|
24
|
16
|
8
|
|
4
|
15
|
14
|
1
|
|
11
|
23
|
20
|
7
|
4
|
Semi-géométrique (Carré)
Grille
carrée d'ordre n dans laquelle
les n2 cases
ou cellules contiennent des nombres disposés de telle manière que la
somme des produits de chaque ligne et la somme des produits de chaque
colonne sont égales. Neuf nombres successifs de la suite de Fibonacci
ou de la suite de Lucas disposés dans le même ordre que dans un carré
magique permettent la formation d'un carré semi-géométrique d'ordre
3. La première figure est un carré magique normal servant de modèle.
La deuxième figure est un carré semi-géométrique formé des neuf
premiers nombres de la suite de Fibonacci, le premier 1 étant omis. La
troisième figure est un carré semi-géométrique formé des neuf
premiers nombres de la suite de Lucas. La quatrième figure est un carré
semi-géométrique général.
|
8
|
1
|
6
|
|
34
|
1
|
13
|
|
47
|
1
|
18
|
|
8a+13b
|
a
|
3a+5b
|
|
3
|
5
|
7
|
|
3
|
8
|
21
|
|
4
|
11
|
29
|
|
a
+b
|
2a
+3b
|
5a+8b
|
|
4
|
9
|
2
|
|
5
|
55
|
2
|
|
7
|
76
|
3
|
|
a
+2b
|
13a+21b
|
b
|
La
somme est 1496 dans le deuxième carré, 3718 dans le troisième et 34a3 +
133a2b + 167ab2 +
66b3 dans
le quatrième. On peut former une infinité de carrés semi-géométriques
en donnant à a et à b
des valeurs arbitraires.
Semi-magique (Carré)
Grille
carrée dont les cellules contiennent des nombres disposés de telle
manière que leur somme est toujours la même sur chaque ligne et dans
chaque colonne, mais non sur chaque diagonale principale. Le carré
semi-magique, vu ses propriétés limitées, revêt peu d'intérêt.
Voici trois carrés semi-magiques :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
1
|
24
|
15
|
8
|
|
|
|
|
|
1
|
2
|
15
|
16
|
|
23
|
7
|
5
|
16
|
14
|
|
1
|
5
|
9
|
|
14
|
13
|
3
|
4
|
|
4
|
13
|
6
|
22
|
20
|
|
6
|
7
|
2
|
|
11
|
12
|
6
|
5
|
|
10
|
19
|
12
|
3
|
21
|
|
8
|
3
|
4
|
|
8
|
7
|
10
|
9
|
|
11
|
25
|
18
|
9
|
2
|
Ces
trois carrés semi-magiques sont normaux. La densité du premier est 15,
celle du deuxième 34 et celle du troisième 65.
Simple (Carré magique)
Carré magique qui n’est ni diabolique ni semi-diabolique. Selon
Frénicle (v. 1605 - 1675), il existe 448 carrés magiques simples
d'ordre 4. Ils sont distribués en cinq types, soit de VI à XII. Pour
chaque type, huit paires de nombres dont la somme est 17 occupent des
positions différentes. Un carré magique est donné pour le type VI.
|
1
|
8
|
14
|
11
|
|
4
|
15
|
5
|
10
|
|
13
|
2
|
12
|
7
|
|
16
|
9
|
3
|
6
|
Surtruqué (Carré magique)
Nom
donné par Pierre Berloquin à un carré qui est à la fois antitruqué
et magique. Voici un carré surtruqué d'ordre 4 dont la densité est 90
:
|
16
|
39
|
32
|
3
|
|
27
|
14
|
9
|
40
|
|
2
|
33
|
34
|
21
|
|
45
|
4
|
15
|
26
|
Talismanique (Carré)
Arrangement
de n2 entiers
à partir de l'unité, disposés en un carré d'ordre n,
tel que la différence entre tout entier donné et chacun de ses voisins
horizontalement, verticalement et obliquement est plus grande que l'unité.
Le carré talismanique a été imaginé par Sidney Kravitz. Voici trois
carrés talismaniques :
|
1
|
3
|
5
|
7
|
|
5
|
1
|
16
|
12
|
|
1
|
4
|
7
|
10
|
|
8
|
10
|
12
|
14
|
|
14
|
10
|
3
|
7
|
|
14
|
11
|
15
|
3
|
|
2
|
4
|
6
|
9
|
|
4
|
8
|
13
|
9
|
|
5
|
2
|
6
|
12
|
|
9
|
11
|
13
|
15
|
|
11
|
15
|
2
|
6
|
|
8
|
13
|
16
|
9
|
Dans
le premier carré, 1 a trois voisins : 3, 8 et 10. Les différences
successives par rapport à 1 sont 2, 7 et 9 ; pour tout entier, la
plus petite différence est 2. Dans le deuxième carré, la plus petite
différence est également 2. Elle est de 3 dans le troisième. Le deuxième
carré talismanique est magique. Il existe 24 carrés d'ordre 4 qui sont
en même temps magiques et talismaniques.
Tétramagique (Carré)
Carré
magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments
successivement au carré, au cube et à la puissance quatrième. Les
Français Christian Boyer et André Viricel ont produit en 2001 un
premier carré tétramagique : c’est un carré magique d’ordre
512. Il contient tous les entiers de 0 à 262 143. La densité du carré
magique du premier degré est 67 108 608. De plus, si on remplace chaque
élément par sa puissance cinquième, la somme des éléments est
identique sur chaque ligne. Lorsqu’on additionne 1 à chaque élément,
le carré conserve toutes ses propriétés et il a la particularité
d’être normal.
Toroïdal (Carré)
Autre
appellation de carré diabolique.
Trimagique (Carré)
Carré
magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments
successivement au carré et au cube. Le plus petit carré trimagique
connu a été produit par l’Allemand Walter Trump en juin 2002. Il est
d’ordre 12 et contient les entiers de 1 à 144. Le voici :
|
1
|
22
|
33
|
41
|
62
|
66
|
79
|
83
|
104
|
112
|
123
|
144
|
|
9
|
119
|
45
|
115
|
107
|
93
|
52
|
38
|
30
|
100
|
26
|
136
|
|
75
|
141
|
35
|
48
|
57
|
14
|
131
|
88
|
97
|
110
|
4
|
70
|
|
74
|
8
|
106
|
49
|
12
|
43
|
102
|
133
|
96
|
39
|
137
|
71
|
|
140
|
101
|
124
|
42
|
60
|
37
|
108
|
85
|
103
|
21
|
44
|
5
|
|
122
|
76
|
142
|
86
|
67
|
126
|
19
|
78
|
59
|
3
|
69
|
23
|
|
55
|
27
|
95
|
135
|
130
|
89
|
56
|
15
|
10
|
50
|
118
|
90
|
|
132
|
117
|
68
|
91
|
11
|
99
|
46
|
134
|
54
|
77
|
28
|
13
|
|
73
|
64
|
2
|
121
|
109
|
32
|
113
|
36
|
24
|
143
|
81
|
72
|
|
58
|
98
|
84
|
116
|
138
|
16
|
129
|
7
|
29
|
61
|
47
|
87
|
|
80
|
34
|
105
|
6
|
92
|
127
|
18
|
53
|
139
|
40
|
111
|
65
|
|
51
|
63
|
31
|
20
|
25
|
128
|
17
|
120
|
125
|
114
|
82
|
94
|
Troué (Carré magique)
Grille carrée
dans laquelle certaines cases sont noircies d'une façon régulière ou
non, et dans laquelle des nombres sont disposés de manière à former
un carré magique. Ce carré a généralement plusieurs propriétés,
outre une somme identique orthogonalement et en diagonale. Dans ces deux
carrés magiques troués ci-dessous, les densités sont respectivement
42 et 27.
|
11
|
18
|
4
|
|
9
|
|
7
|
|
4
|
|
16
|
|
10
|
|
5
|
15
|
12
|
|
|
11
|
|
6
|
10
|
|
1
|
19
|
16
|
6
|
|
|
|
14
|
|
12
|
1
|
|
20
|
2
|
|
7
|
13
|
|
15
|
|
3
|
9
|
|
|
|
3
|
17
|
14
|
8
|
|
5
|
2
|
20
|
|
|
Truqué (Carré)
Nom
donné par Pierre Berloquin à une grille carrée d'ordre n formée d'entiers naturels dans laquelle ceux-ci sont disposés de
telle manière que les entiers de deux cases se touchant orthogonalement
ont un facteur commun et que ceux se touchant diagonalement sont
premiers entre eux.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
|
|
|
|
|
14
|
21
|
28
|
35
|
|
22
|
33
|
44
|
55
|
66
|
|
10
|
15
|
20
|
|
22
|
33
|
44
|
55
|
|
26
|
39
|
52
|
65
|
78
|
|
14
|
21
|
28
|
|
26
|
39
|
52
|
65
|
|
34
|
51
|
68
|
85
|
10
|
|
22
|
33
|
44
|
|
34
|
51
|
68
|
85
|
|
38
|
57
|
76
|
95
|
114
|
Unitaire (Carré magique)
Carré
magique formé de 1. Voici un carré magique unitaire d’ordre 3 :
Le
carré magique unitaire est un carré magique homogène.
FIN
|
