Il est relativement facile de trouver des égalités de carrés. Qu’en est-t-il des cubes ? Après avoir étudié les cubes en relation avec les carrés magiques, nous allons expliquer différentes autres façons de former des égalités de cubes.

Sommaire

1. Carrés magiques d’ordre 3

2. Doubles carrés magiques d’ordre 3

3. Applications aux carrés magique d’ordre 4

4. Des formules

5. Tableau de sommes de cubes

6. À partir d’égalités de nombres

7. À partir de carrés

8. Combinaisons de différentes égalités

1. Carrés magiques d’ordre 3

La somme des carrés des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre 3 est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne. Par ailleurs, la somme des cubes des éléments d’une ligne est-elle égale à la somme des éléments d’une autre ligne ?

Soit le carré magique suivant :

Sommes de cubes

On fait la somme des cubes de la première ligne : 13³ + 4³ + 10³ = 3261.

On fait la somme des cubes de la troisième ligne : 8³ + 14³ + 5³ = 3381.

Les deux sommes ne sont pas égales. Leur différence est 120.

On multiplie les éléments de la première ligne : 13 × 4 × 10 = 520.

On multiplie les éléments de la troisième ligne : 8 × 14 × 5 = 560.

Les deux produits ne sont pas égaux. Leur différence est 40, soit le tiers de 120. Pour avoir une égalité, on doit multiplier ces produits par 3 et les soustraire à la somme des cubes de la même rangée. On doit faire :

3261 – 3 × 520 = 1701

3381 – 3 × 560 = 1701

Après avoir mis en ordre numérique, on peut écrire :

4³ + 10³ + 13³ – 3(4 × 10 × 13) = 5³ + 8³ + 14³ – 3(5 × 8 × 14) = 1701

Justification

Cette égalité est-elle vraie dans tous les carrés magiques d’ordre 3 ?

Procédons par induction mathématique. On additionne 1 à chacun des éléments du carré magique précédent. Si l’égalité est vraie, elle sera vraie pour tous les carrés magiques. Le nouveau carré est :

La somme des cubes de la première ligne est : 14³ + 5³ + 11³ = 4200.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 9³ + 15³ + 6³ = 4320.

La différence entre les deux sommes est 120.

On multiplie les éléments de la première ligne : 14 × 5 × 11 = 770.

On multiplie les éléments de la troisième ligne : 9 × 15 × 6 = 810.

La différence entre les produits est 40, soit le tiers de 120.

Après avoir mis en ordre numérique, on peut donc écrire :

5³ + 11³ + 14³ – 3(5 × 11 × 14) = 6³ + 9³ + 15³ – 3(6 × 9 × 15) = 1890.

L’égalité est vraie dans ce cas. Donc, elle est vraie pour tous les carrés magiques d’ordre 3.

Généralisation

De façon générale, on peut écrire :

a³ + b³ + c³ – 3abc = d³ + e³ + f³ – 3def où les lettres appartiennent aux lignes 1 et 3 d’un carré magique d’ordre 3.

On peut tirer la proposition suivante : La somme des cubes des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre 3, à laquelle on retranche trois fois le produit de ses éléments, est égale à la somme des cubes des éléments de la troisième ligne, à laquelle on retranche trois fois le produit de ses éléments.

Application aux colonnes

Cette proposition est aussi vraie pour la première et la troisième colonne. En effet, si on fait faire une rotation de 90 degrés au carré, les lignes deviennent les colonnes et réciproquement.

On peut le vérifier pour les colonnes à partir du carré magique précédent :

7³ + 9³ + 14³ – 3(7 × 9 × 14) = 6³ + 11³ + 13³ – 3(6 × 11 × 13) = 1170

Différence de deux sommes de cubes

On peut trouver la différence entre la somme des cubes de la première ligne et de la troisième ligne sans trouver les cubes.

On multiplie par 3 les résultats suivants :

• la raison (différence entre deux éléments voisins) d’une diagonale

• la raison de l’autre diagonale

• la différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne.

Prenons ce carré magique :

Pour trouver la différence, on fait : (8³ + 11³ + 17³) – (7³ + 13³ + 16³) = 3 × 4 × 5 × 2 = 120. La différence des deux sommes est 120.

2. Doubles carrés magiques d’ordre 3

Nous avons vu qu’il existe des liens entre la somme des cubes de la première et de la troisième ligne dans un carré magique d’ordre 3. Nous allons étudier d’autres liens qui unissent deux carrés magiques par rapport aux cubes.

On construit deux carrés magiques au hasard.  

Premier carré

La somme des cubes de la première ligne est : 17³ + 1³ + 12³ = 6642.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 8³ + 19³ + 3³ = 7398.

La différence des sommes est 756.

Deuxième carré

La somme des cubes de la première ligne est : 18³ + 23³ + 4³ = 18 063.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 26³ + 7³ + 12³ = 19 647.

La différence des sommes est 1584.

Pour qu’on puisse associer des sommes de cubes, il faut que les différences des sommes soient égales. Ce n’est pas le cas dans cet exemple puisque la différence est 756 d’une part, et 1584 d’autre part.

Pour avoir les mêmes différences, il est nécessaire qu’un carré magique soit issu l’un de l’autre par l’addition ou la soustraction de ses éléments.

Par addition

Construisons un premier carré magique, celui de gauche. Additionnons 9 à chacun des éléments de ce carré. On obtient un second carré magique.

Premier carré

La somme des cubes de la première ligne est : 10³ + 2³ + 9³ = 1737.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 5³ + 12³ + 4³ = 1917.

La différence des sommes est 180.

Deuxième carré

La somme des cubes de la première ligne est : 19³ + 11³ + 18³ = 14 022.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 14³ + 21³ + 13³ = 14 202.

La différence des sommes est 180.

Soit A1, la première ligne du premier carré, A3 la troisième ligne du premier carré, B1 la première ligne du deuxième carré, B3 la troisième ligne du deuxième carré. Comme la différence de sommes des cubes sont identiques dans les deux carrés, on peut écrire : A1 – A3 = B1 – B3. Ce qui revient à : A1 + B3 = A3 + B1.

On peut écrire :

10³ + 2³ + 9³ + 14³ + 21³ + 13³ = 19³ + 11³ + 18³ + 5³ + 12³ + 4³ = 15 939.

En ordre, on a :

2³ + 9³ + 10³ + 13³ + 14³ + 21³ = 4³ + 5³ + 11³ + 12³ + 18³ + 19³ = 15 939

La somme des cubes des éléments de la première ligne d’un premier carré magique d’ordre 3 à laquelle on additionne la somme des cubes des éléments de la troisième ligne d’un deuxième carré dont les éléments sont augmentés d’un même nombre est égale à la somme des cubes des éléments de la première ligne du deuxième carré à laquelle on additionne la somme des cubes des éléments de la troisième ligne du premier carré.

Cette proposition est vraie aussi pour les colonnes. On peut écrire :

10³ + 6³ + 5³ + 18³ + 17³ + 13³ = 9³ + 8³ + 4³ + 19³ + 15³ + 14³ = 14 283

En ordre, on a :

5³ + 6³ + 10³ + 13³ + 17³ + 18³ = 4³ + 8³ + 9³ + 14³ + 15³ + 19³ = 14 283

Justification

Lorsqu’on additionne ou soustrait un même nombre à chacun des éléments d’un carré magique, on obtient un second carré magique. Certaines propriétés ne changent pas.

• On a la même raison sur chacune des deux diagonales.

• On a la même différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne.

Dans les deux carrés magiques précédents, la raison d’une diagonale est 3, la raison de l’autre diagonale est 2, puis la différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne est 10. Il s’ensuit que la différence des sommes de cubes de la première et de la troisième ligne est identique dans chaque carré magique : ce qui permet d’établir une égalité.

Autres égalités de cubes

On compose un carré magique d’ordre 3. On forme un second carré magique en soustrayant chacun de ses éléments d’un même nombre, soit de 32 dans ce cas.

La somme des cubes de la première ligne (ou colonne) des deux carrés magiques est égale à la somme des cubes de la troisième ligne (ou colonne) des mêmes carrés.

On peut écrire :

Lignes : 13³ + 1³ + 10³ + 19³ + 31³ + 22³ = 6³ + 15³ + 3³ + 26³ + 17³ + 29³ = 50 496

En ordre, on a : 1³ + 10³ + 13³ + 19³ + 22³ + 31³ = 3³ + 6³ + 15³ + 17³ + 26³ + 29³ = 50 496

Colonnes : 13³ + 5³ + 6³ + 19³ + 27³ + 26³ = 10³ + 11³ + 3³ + 22³ + 21³ + 29³ = 46 656.

En ordre, on a : 5³ + 6³ + 13³ + 19³ + 26³ + 27³ = 3³ + 10³ + 11³ + 21³ + 22³ + 29³ = 46 656

Les mêmes nombres forment des égalités avec les puissances 1 et 2.

On a : 1 + 10 + 13 + 19 + 22 + 31 = 3 + 6 + 15 + 17 + 26 + 29 = 96

On a : 1² + 10² + 13² + 19² + 22² + 31² = 3² + 6² + 15² + 17² + 26² + 29² = 2076

On a : 5 + 6 + 13 + 19 + 26 + 27 = 3 + 10 + 11 + 21 + 22 + 29 = 96

On a : 5² + 6² + 13² + 19² + 26² + 27² = 3² + 10² + 11² + 21² + 22² + 29² = 1996

3. Applications aux carrés magique d’ordre 4

Dressons un tableau comportant la somme de deux cubes dont la somme des bases est 17. Additionnons deux à deux les résultats. On a le tableau suivant :

À titre d’exemple, on peut lire : 2771 + 1547 = 4318 ou 3³ + 14³ + 6³ + 11³ = 4318. Le tableau montre quatre fois deux sommes égales : 3094, 4114, 4624 et 5644. La différence des deux premières sommes est 1020. Celle des deux dernières sommes est aussi 1020.

Les sommes sont 3094

Du tableau, on peut tirer :

5³ + 12³ + 8³ + 9³ = 6³ + 11³ + 6³ + 11³ = 3094

Comme des éléments apparaissent deux fois, on s’abstiendra d’illustrer ces deux égalités.

Les sommes sont 4114

Du tableau, on peut tirer :

3³ + 14³ + 7³ + 10³ = 4³ + 13³ + 5³ + 12³ = 4114

Dans le carré magique suivant, le numéro 495 de Frénicle, les bases du premier membre de l’égalité apparaissent sur la première ligne. Les bases de l’autre apparaissent au centre dans un carré 2 × 2.

Les sommes sont 4624

Du tableau, on peut tirer :

2³ + 15³ + 8³ + 9³ = 3³ + 14³ + 5³ + 12³ = 4624

Dans le carré magique suivant, le numéro 328 de Frénicle, les bases du premier membre de l’égalité apparaissent sur la première ligne. Les bases de l’autre apparaissent sur la troisième ligne

Les sommes sont 5644

Du tableau, on peut tirer :

1³ + 16³ + 6³ + 11³ = 2³ + 15³ + 4³ + 13³ = 5644

Dans le carré magique suivant, le numéro 156 de Frénicle, les bases du premier membre de l’égalité apparaissent sur la première ligne. Les bases de l’autre apparaissent au centre dans un carré 2 × 2.

Égalités de huit cubes

On peut obtenir d’autres égalités de huit cubes en additionnant tout nombre à chacune des bases d’une égalité précédente. Il en est de même pour la multiplication.

Prenons la dernière égalité en ordre : 1³ + 6³ + 11³ + 16³ = 2³ + 4³ + 13³ + 15³ = 5644.

Si on additionne 3, on obtient : 4³ + 9³ + 14³ + 19³ = 5³ + 7³ + 16³ + 18³ = 10 396.

Si on multiplie par 4 l’égalité initiale, on obtient :

4³ + 24³ + 44³ + 64³ = 8³ + 16³ + 52³ + 60³ = 361 216

Soit n chacune des bases de l’égalité initiale, on combine la multiplication et l’addition en remplaçant n par 2n + 1. On obtient :

3³ + 13³ + 23³ + 33³ = 5³ + 9³ + 27³ + 31³ = 50 328

Égalités de 12 cubes

Pour obtenir d’autres égalités, on peut combiner les résultats de deux sommes.

Prenons les sommes 5644 et 4624. On peut écrire :

1³ + 16³ + 6³ + 11³ + 2³ + 15³ + 8³ + 9³ = 10 268

2³ + 15³ + 4³ + 13³ + 3³ + 14³ + 5³ + 12³ = 10 268

Après avoir biffé 2³ et 15³, puis mis en ordre les éléments, on a :

1³ + 6³ + 8³ + 9³ + 11³ + 16³ = 3³ + 4³ + 5³ + 12³ + 13³ + 14³ = 6885

On a une somme de six cubes qui est égale à une somme de six autres cubes.

Avec les sommes 4624 et 4114, on peut obtenir :

2³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ + 15³ = 4³ + 5³ + 5³ + 12³ + 12³ + 13³ = 5967

Avec les sommes 5644 et 4114, on peut obtenir :

1³ + 5³ + 6³ + 11³ + 12³ + 16³ = 2³ + 3³ + 7³ + 10³ + 14³ + 15³ = 7497

4. Des formules

Nous allons donner sept différentes formules qui permettent de trouver des égalités de cubes.

4.1 Formule d’Euler

Euler a fourni une formule pour trouver des égalités de quatre cubes de la forme x³ + y³ = z³ + u³. Nous avons transformé cette formule en un algorithme. On procède ainsi :

• On attribue une valeur à une variable a et à une variable b.

• On fait : p = a² + 3b², q = a + 3b et r = a – 3b.

• On fait x = pq – 1, y = p² – q, z = p² – r, u = pr – 1.

• Si un résultat est négatif, on le transfère dans l’autre membre.

Exemple 1. On pose a = 1 et b = 2. Alors, p = 13, q = 7 et r = -5. Pour les autres variables, on a : x = 90, y = 162, z = 174 et u = -66. Après avoir transféré 66 dans le premier membre, on peut écrire :

66³ + 90³ + 162³ = 174³ = 5 268 024

Exemple 2. On pose a = 2 et b = -2. Alors, p = 16, q = -4 et r = 8, puis x = -65, y = 260, z = 248 et u = 127. On peut écrire :

65³ + 127³ + 248³ = 260³ = 17 576 000

4.2 Formule de Rebout

Dans les Nouvelles annales de mathématiques, Eugène Rebout a publié un court article intitulé Formation d'un cube entier qui soit la somme de quatre cubes entiers. Les égalités sont de la forme p³ = q³ + r³ + s³ + t³. Voici l’algorithme :

• On donne des valeurs à a, b et c telles que 3abc est un cube.

• On remplace chaque variable par sa valeur :

p = a + b + c,

q = a + b – c,

r = a – b + c,

s = b + c – a.

t est la racine cubique de 24abc.

• On place p dans le premier membre avec, s’il y a lieu, les résultats négatifs.

Soit a = 4, b = 6 et c = 3. Alors, p = 13, q = 7, r = 1, s = 5 et t = 12. On a :

13³ = 1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 2197

Soit a = 2, b = 3 et c = 12. Alors, p =17, q = -7, r = 11, s = 13 et t = 12. Après le transfert du 7 dans le premier membre, on peut écrire :

17³ + 7³ = 11³ + 12³ + 13³ = 5256

4.3 Nouvelles formules (1)

Les cubes sont de la forme p³ + q³ + r³ = s³.

On donne une valeur à p et on déduit la valeur des autres variables.

• q = 2p² – 3p + 3

• r = p³ – q

• s = r + 3

Si p = 5, alors q = 38, r = 87, s = 90. On obtient l’égalité :

25³ + 38³ + 87³ = 90³ = 729 000

4.4 Nouvelles formules (2)

Les cubes sont de la forme p³ + q³ + r³ = s³.

On donne une valeur à p et on déduit la valeur des autres variables.

• q = 2p² + 3p + 3

• r = p³ + q – 3

• s = r + 3

Si p = 5, alors q = 68, r = 190, s = 193. On obtient l’égalité :

25³ + 68³ + 190³ = 193³ = 7 189 057

4.5 Formule des trinômes

Une formule consiste à choisir arbitrairement la valeur de deux entiers a et b et à remplacer ces deux entiers dans chacune des quatre égalités suivantes :

x = 28a² + 11ab - 3b²            y = 21a² - 11ab - 4b²
z = 35a² + 7ab + 6b²              u = 42a² + 7ab + 5b²

Si a = 1 et b = 1, on obtient : x = 36, y = 6, z = 48, u = 54. On peut écrire :

36³ + 6³ + 48³ = 54³  

Lorsque les quatre nombres ont un facteur commun, on peut simplifier en divisant chacun des nombres par le facteur commun. On obtient :

6³ + 1³ + 8³ = 9³   

Si a = 1 et b = 2, on obtient : x = 38, y = -17, z = 73, u = 76. On peut écrire :

38³ – 17³ + 73³ = 76³ 

Si on veut éliminer le signe –, on transporte 17³ dans l’autre membre. Cela donne :

38³ + 73³ = 17³ + 76³ 

Si a = 2 et b = 1, on obtient : x = 131, y = 58, z = 160, u = 187. On peut écrire :

131³ + 58³ + 160³ = 187³ 

Si a = 0 et b = 1, on obtient : x = -3, y = -4, z = 6, u = 5. On peut écrire :

-3³ - 4³ + 6³ = 5³ 

3³ + 4³ + 5³ = 6³ 

Si a = 1 et b = 0, on obtient : x = 28, y = 21, z = 35, u = 42. On peut écrire :

28³ + 21³ + 35³ = 42³ 

4³ + 3³ + 5³ = 6³ 

4.6 Formule des neuf variables (1)

L’algèbre peut être un outil très efficace pour trouver des égalités de cubes. Nous allons expliquer deux cas où l’égalité est de la forme p³ + q³ = r³ + s³. Cette égalité peut aussi être de la forme p³ + q³ + r³ = s³ ou toute forme de 4 cubes dont la valeur est positive ou négative.

Étapes

• On choisit deux nombres qu’on appelle a et b.

• On fait : c = a² + 3b².

• On fait : d = a + 3b.

• On fait : e = a – 3b.

• On fait : p = cd – 1.

• On fait : q = c² – d.

• On fait : r = c² – e.

• On fait : s = ce – 1.  

• On écrit :  p³ + q³ + r³ = s³.

Soit a = 2 et b = 1. Alors, c = 7, d = 5, e = -1, p = 34, q = 44, r = 50, s = -8. L’égalité est :

34³ + 44³ = 50³ – 8³ = 124 488

Pour éliminer le nombre négatif, on le transporte dans le premier membre. On peut écrire :

8³ + 34³ + 44³ = 50³

À partir de cette égalité, on peut trouver celle qui est primitive, c’est-à-dire celle dont les termes n’ont pas de facteur commun. Dans ce cas-ci, on divise par 2. On obtient :

4³ + 17³ + 22³ = 25³

On pourrait encore diviser par 2. L’égalité est encore vraie, mais on a deux nombres décimaux :

2³ + 8,5³ + 11³ = 12,5³

De façon générale, on peut multiplier ou diviser chacun des termes et les égalités sont toujours vraies.

Un autre exemple. Soit a = 4 et b = 1. Alors, c = 19, d = 7, e = 1, p = 132, q = 354, r = 360, s = 18. L’égalité est :

132³ + 354³ = 360³ + 18³ = 46 661 832

L’égalité primitive correspondante est :

22³ + 59³ = 60³ + 3³ = 216 027

Fait surprenant : 216 est le cube de 6 et 027 est le cube de 03, comme dans 60³.

4.7 Formule des neuf variables (2)

Étapes

• On choisit deux nombres qu’on appelle a et b.

• On fait : c = 7a².

• On fait : d = ab.

• On fait : e = b².

• On fait : p = 4c + 11d – 3e.

• On fait : q = 3c – 11d – 4e.

• On fait : r = -(5c + 7d + 6e)

• On fait : s = 6c + 7d + 5e.  

• On écrit p³ + q³ = r³ + s³.

Soit a = 1 et b = 1. Alors, c = 4, d = 1 et e = 1, p = 36, q = 6, r = 48, s = 54. On peut écrire :

36³ + 6³ = -48³ + 54³ = 46 872

Après avoir transféré 48³ dans le premier membre, on a :

6³ + 36³ + 48³ = 54³

L’égalité primitive est :

1³ + 6³ + 8³ = 9³

Un autre exemple. Soit a = 2 et b = 1. Alors, c = 28, d = 2, e = 1, p = 131, q = 58, r = -160, s = 187. On peut écrire :

131³ + 58³ = -160³ + 187³ ou encore 131³ + 58³ + 160³ = 187³.

5. Tableau de sommes de cubes

Nous allons indiquer un autre moyen pour trouver des égalités de cubes. On commence par établir un tableau dans lequel on retrouve, par exemple, les cubes de 1 à 14 additionnés un à un.

Avec les nombres qui apparaissent dans cette table, on écrit des égalités comportant autant de termes que l’on veut. Sous chaque terme de l’égalité, on écrit les deux cubes qu’on trouve en abscisse et en ordonnée. Par exemple, 7³ + 11³ = 1674.

On obtient des cubes dont le nombre est donné. Les cubes sont en ordre numérique.

Quatre cubes

1216 + 512 = 1728

6³ + 8³ + 10³ = 12³

1 + 1728 = 1729

1³ + 12³ = 9³ + 10³

Cinq cubes

1729 + 468 = 2197

1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 13³

2205 + 539 = 2744

2³ + 3³ + 8³ + 13³ = 14³

Six cubes

28 + 189 + 512 = 729

1³ + 3³ + 4³ + 5³ + 8³ = 12³

Sept cubes

559 + 513 = 72 + 1000

1³ + 6³ + 7³ + 8³ = 2³ + 4³ + 10³

1001 + 737 = 407 + 1331 = 1738

1³ + 2³ + 9³ + 10³ = 4³ + 7³ + 11³

Huit cubes

2745 + 855 = 2205 + 1395 = 3600 = 60²

1³ + 7³ + 8³ + 14³ = 2³ + 4³ + 11³ + 13³

On peut additionner ou soustraire et conserver une égalité.

Neuf cubes

1736 + 1343 + 729 = 2261 + 1547 = 3808

2³ + 7³ + 9³ + 10³ + 12³ = 4³ + 6³ + 11³ + 13³

6. À partir d’égalités de nombres

Connaissant certaines égalités, on peut trouver des égalités de cubes en additionnant un même nombre à ceux de l’égalité. Voici un exemple :

Huit cubes

On prend l’égalité :

0 + 6 + 7 + 13 = 1 + 3 + 10 + 12 = 26

Par exemple, on additionne 4 à chaque nombre. Après avoir ajouté l’exposant 3, on obtient :

4³ + 10³ + 11³ + 17³ = 5³ + 7³ + 14³ + 16³ = 7308

Dix cubes

On prend l’égalité :

0 + 4 + 8 + 16 + 17 = 1 + 2 + 10 + 14 + 18 = 45

Par exemple, on additionne 5 à chaque nombre. Après avoir ajouté l’exposant 3, on obtient :

5³ + 9³ + 13³ + 21³ + 22³ = 6³ + 7³ + 15³ + 19³ + 23³ = 22 960

Douze cubes

On prend l’égalité :

0 + 5 + 7 + 10 + 12 + 17 = 1 + 3 + 8 + 9 + 14 + 16 = 51

Par exemple, on additionne 1 à chaque nombre. Après avoir ajouté l’exposant 3, on obtient :

1³ + 6³ + 8³ + 11³ + 13³ + 18³ = 2³ + 4³ + 9³ + 10³ + 15³ + 17³ = 10 089

Seize cubes

On prend l’égalité :

0 + 3 + 6 + 7 + 10 + 11 + 14 + 17 = 1 + 2 + 5 + 8 + 9 + 12 + 15 + 16 = 68

Par exemple, on additionne 1 à chaque nombre. Après avoir ajouté l’exposant 3, on obtient :

2³ + 5³ + 8³ + 9³ + 12³ + 13³ + 16³ + 19³ = 3³ + 4³ + 7³ + 10³ + 11³ + 14³ + 17³ + 18³ = 16 254

7. À partir de carrés

Quand on connaît une égalité de six carrés partagés également entre les deux membres, on peut partir de celle-ci pour trouver des égalités de cubes.

Voici six égalités de carrés qui peuvent servir de point de départ :

5² + 6² + 10² = 4² + 8² + 9²

2² + 9² + 10² = 4² + 5² + 12²

4² + 8² + 9² = 5² + 6² + 10²

1² + 7² + 10² = 2² + 5² + 11²

2² + 7² + 9² = 3² + 5² + 10²

3² + 9² + 12² = 4² + 7² + 13²

Égalité de 12 cubes

1. On écrit une égalité de six nombres telle que définie.

2. Dans l’égalité, on choisit un nombre supérieur au plus grand, ordinairement le successeur du plus grand.

3. On prend chaque nombre de l’égalité. On soustrait du nombre choisi et on additionne au nombre choisi.

4. Au choix, on met les nombres en ordre.

5. On écrit l’exposant 3 à chaque nombre. On a une égalité de sommes de 12 cubes.

Par exemple, on choisit : 5² + 6² + 10² = 4² + 8² + 9². On opère avec le nombre 11. On fait : 11 – 5 = 6, 11 + 5 = 16, 11 – 6 = 5, 11 + 6 = 17, etc.

On peut écrire : 6 + 16 + 5 + 17 + 1 + 21 = 7 + 15 + 3 + 19 + 2 + 20 = 66.

En ordre, on a : 1 + 5 + 6 + 16 + 17 + 21 = 2 + 3 + 7 + 15 + 19 + 20.

On écrit : 1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ = 18 612 (A1)

On a bien une égalité de sommes de 12 cubes.

Égalité de 24 cubes

Partons de la dernière égalité, soit A1. Par exemple, après avoir choisi 22 comme opérateur, on procède comme précédemment : soustraction et addition.

Pour le premier membre de l’égalité, on a :

21³ + 23³ + 17³ + 27³ + 16³ + 28³ + 6³ + 38³ + 5³ + 39³ + 1³ + 43³ = 266 112

Pour le second membre de l’égalité, on a :

20³ + 24³ + 19³ + 25³ + 15³ + 29³ + 7³ + 37³ + 3³ + 41³ + 2³ + 42³ = 266 112

En ordre, on a :

1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ + 23³ + 27³ + 28³ + 38³ + 39³ + 43³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ + 24³ + 25³ + 29³ + 37³ + 41³ + 42³ = 266 112 (B1)

Les sommes des six premiers cubes de chaque membre de l’égalité B1 sont égales à un même nombre, soit 18 612. Cette égalité a d’ailleurs été le point de départ :

1³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 21³ = 2³ + 3³ + 7³ + 15³ + 19³ + 20³ = 18 612

Les sommes des six derniers cubes de chaque membre de l’égalité sont égales à un autre même nombre, soit 247 500. On peut donc écrire une autre égalité de 12 cubes :

23³ + 27³ + 28³ + 38³ + 39³ + 43³ = 24³ + 25³ + 29³ + 37³ + 41³ + 42³ = 247 500 (C1)

Addition de termes

Plus encore. Si on additionne un même nombre à chacun des éléments des égalités A1, B1 et C1, on a d’autres égalités. Additionnons 1. On obtient :

2³ + 6³ + 7³ + 17³ + 18³ + 22³ = 3³ + 4³ + 8³ + 16³ + 20³ + 21³ = 21 960 (A2)

2³ + 6³ + 7³ + 17³ + 18³ + 22³ + 24³ + 28³ + 29³ + 39³ + 40³ + 44³ = 3³ + 4³ + 8³ + 16³ + 20³ + 21³ + 25³ + 26³ + 30³ + 38³ + 42³ + 43³ = 290 628 (B2)

24³ + 28³ + 29³ + 39³ + 40³ + 44³ = 25³ + 26³ + 30³ + 38³ + 42³ + 43³ = 268 668 (C2)

8. Combinaisons de différentes égalités

Après avoir trouvé des égalités selon les procédés mentionnés, on peut additionner membre à membre deux égalités et, au besoin, biffer les termes qui apparaissent de part et d’autre.

Huit cubes

On peut prendre ces deux égalités.

13³ + 35³ = 19³ + 24³ + 29³

1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 13³

On additionne membre à membre et on biffe 13³, on obtient une égalité de huit cubes :

1³ + 5³ + 7³ + 12³ + 35³ = 19³ + 24³ + 29³ = 45 072

Onze cubes

7³ + 17³ = 11³ + 12³ + 13³ = 5256

13³ + 22³ + 23³ + 26³ = 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 42 588

Après avoir additionné membre à membre et avoir biffé 13³, on obtient une égalité de huit cubes :

7³ + 17³ + 22³ + 23³ + 26³ = 11³ + 12³ + 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 45 647

Treize cubes

Dans la dernière égalité, on remplace 12³ par 6³ + 8³ + 10³. On obtient :

7³ + 17³ + 22³ + 23³ + 26³ = 6³ + 8³ + 10³ + 11³ + 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 45 647

Conclusion

Nous avons montré comment trouver des égalités de cubes. Il est surprenant de constater comment, dans certains cas, il est facile d’obtenir de tels résultats. D’ailleurs, à partir de ceux-ci, on peut découvrir des égalités de nombres polygonaux, dont les carrés, et quand même rarement des égalités de nombres à la puissance 4 ou plus.

Les égalités à partir de carrés magiques sont peut-être les plus fascinantes car on peut opérer sur les bases et en trouver de nouvelles. Quand on utilise l’addition ou la soustraction, les égalités peuvent être primitives en ce sens qu’elles n’ont pas de facteur commun.