Ceci est le 11^e article publié par Récréomath.

Magie et jour de la semaine

Par Charles-É. Jean

Trouver le jour de la semaine d’une date donnée peut faire l’objet d’un tour de magie. Dans cet article, nous proposons une démarche visant à réaliser ce tour. Cette démarche est basée sur des règles et des tableaux. Certains tableaux ont été dressés pour servir à ceux qui ont une bonne mémoire visuelle ; d’autres pour mieux faire comprendre les règles. Pour ce faire, nous étudions cinq variables : la semaine, le quantième, le mois, la partie séculaire de l’année et la partie annuelle.

1. La semaine
La semaine est formée de sept jours. Officiellement, le premier jour de la semaine est le lundi. On le numérote 1, comme étant de rang 1. Chaque jour est numéroté selon leur ordre. Comme le reste de la division par 7 d’un multiple de 7 est 0, le numéro du dimanche qui est le dernier jour de la semaine est 0.

Tableau 1

En pratique, n’importe lequel jour peut être considéré comme le numéro 1.

R-01 Soit un jour de la semaine de rang r, lorsqu’on recule de n jours, le jour est de rang (r - n). Lorsqu’on avance de n jours, le jour est de rang (r + n). Par exemple, quand on recule de trois rangs à partir de lundi, on aboutit à vendredi ; quand on avance de trois rangs, on aboutit à jeudi.

Reculer correspond à un décalage négatif et avancer un décalage positif. Voici les rangs équivalents quand on recule ou avance.

Tableau 2

Avancer de cinq rangs correspond à reculer de deux rangs. On le fait en passant, par exemple, de jeudi à mardi.

2. Le quantième
C’est le rang du jour dans un mois. Quand on divise le quantième par 7, le reste de la division est un nombre qui varie de 0 à 6. La dernière ligne du tableau 3 donne le reste pour chaque quantième. Ce reste est ici appelé code.

Tableau 3

R-02 Quand, à un quantième donné, on ajoute (ou on retranche) un nombre de jours qui est un multiple de 7, le jour de la semaine est le même que celui du quantième donné. Par exemple, si le 15 janvier est un mardi, les 1, 8, 22, 29 janvier sont aussi des mardis.

R-03 Quand, à un quantième donné, on ajoute (ou on retranche) un nombre de jours qui n’est pas un multiple de 7, le jour de la semaine avance (ou recule) de l’excédent du multiple de 7. Par exemple, si le 12 janvier est un lundi, le 30 janvier est un vendredi. Les 19 et 26 janvier sont des lundis (R-02). Pour arriver au 30 janvier, on avance de quatre jours. Le jour de la semaine est décalé de quatre rangs.

3. Le mois
Le calendrier est formé de 12 mois ayant au minimum 28 jours et au maximum 31 jours.

R-04 Considérant deux mois consécutifs, pour un même quantième, le jour de la semaine avance de l’excédent du mois antérieur, soit la différence entre le nombre de jours du mois et 28. Par exemple, si le 20 mars est un mardi, le 20 avril est un vendredi. Mars ayant 31 jours, son excédent est 3. On avance de trois jours. Le tableau 4 indique l’excédent pour chaque mois.

Tableau 4

Dans une année bissextile, février vaut 1.

R-05 Considérant le même quantième de deux mois quelconques dans une année et connaissant le jour de la semaine d’un quantième, le jour de la semaine de l’autre quantième est déterminé ainsi :

Dans le tableau 4, on note l’excédent de chaque mois dans l’intervalle donné, excluant toutefois le dernier mois.

On additionne les excédents obtenus.

On divise la somme par 7.

On avance du nombre de jours correspondant au reste de la division.

Par exemple, si le 24 février d’une année bissextile est un vendredi, le 24 juin de la même année est un dimanche. L’excédent de février est 1, celui de mars 3, celui d’avril 2, celui de mai 3. La somme des excédents est 9. Le reste de la division de 9 par 7 est 2. On avance de deux jours, soit de vendredi à dimanche.

R-06 Connaissant le jour de la semaine d’un quantième du mois de janvier, le jour de la semaine du même quantième dans un autre mois de la même année est décalé du nombre correspondant au code du dernier mois qu’on retrouve dans le tableau suivant.

Tableau 5

À partir du 1^er mars d’une année bissextile, pour chaque mois on additionne 1 au code. Par exemple, si le 11 janvier d’une année bissextile est un mardi, le 11 septembre de la même année est un lundi. Le code de septembre est 5. On fait 5 + 1 = 6, car l’année est bissextile. On avance de six rangs (ou on recule d’un rang), soit de mardi à lundi.

R-07 Connaissant le jour de la semaine du quantième d’un mois, le jour de la semaine du même quantième dans un autre mois de la même année est décalé du nombre de jours obtenu en soustrayant le code du premier mois à celui du dernier (tableau 5).

Par exemple, si le 15 mars est un mercredi, le 15 octobre de la même année est un dimanche. Le code d’octobre est 0 ; celui de mars est 3. On fait 0 - 3 = -3. On recule de trois rangs (ou on avance de quatre rangs), soit de mercredi à dimanche.

R-08 Pour un même quantième, le jour de la semaine est le même pour

janvier et octobre

janvier bissextile, avril et juillet

février, mars et novembre

février bissextile et août

septembre et décembre

Mai et juin ont chacun leur calendrier qui diffère des autres.

Par exemple, si le 21 février d’une année ordinaire est un dimanche, le 21 mars et le 21 novembre sont aussi des dimanches.

R-09 Connaissant le jour de la semaine d’un quantième q₁ dans un mois m₁, pour trouver le jour de la semaine d’un quantième q₂ dans le mois m₂, on peut procéder ainsi :

On cherche le jour de la semaine de q₂ dans m₁ (ou de q₁ dans m₂).

Les mois m₁ et m₂ ayant le même quantième, on passe d’un mois à l’autre en appliquant une règle expliquée précédemment.

Par exemple, si le 12 mars est un mercredi, le 29 août est un vendredi. Les 12, 19 et 26 mars sont des mercredis. Le 29 mars est un samedi. Le code de mars est 3 et celui d’août est 2 (tableau 5). On fait 2 - 3 = -1 (R-07). On recule d’un rang, soit de samedi à vendredi.

4. La partie séculaire de l’année
Cette partie est formée par les deux premiers chiffres de l’année. Elle détermine une période de 100 ans, prenant comme acquis que les années 00 et 01 sont dans le même siècle, alors que ce n’est pas le cas dans la réalité.

R-10 Pour deux dates données de deux siècles consécutifs et qui diffèrent seulement par la partie séculaire, le jour de la semaine recule de deux rangs lorsque la partie séculaire antérieure est un multiple de 4 ; si cette partie n’est pas un multiple de 4, le jour de la semaine recule d’un rang. Par exemple, comme le 15 mars 1942 est un dimanche, le 15 mars 2042 est un samedi et le 15 mars 2142 est un jeudi.

Le tableau suivant indique le décalage pour chaque siècle par rapport au suivant. Par exemple de 18 à 19, on recule de deux jours ; de 19 à 20, on recule d’un jour.

Tableau 6

Voici le jour de la semaine du 1^er janvier des années 01 dont la partie séculaire varie de 16 à 24 :

Tableau 7

Le calendrier est le même à tous les 400 ans. Il en découle que le jour de la semaine du 31 mai 1700, par exemple, est le même que celui du 31 mai 2100.

5. La partie annuelle
Ce sont les deux derniers chiffres de l’année. Cette partie permet de déterminer si une année est ordinaire (28 jours en février) ou bissextile (29 jours en février).

R-11 Considérant deux années consécutives, pour un même quantième et un même mois, le jour de la semaine avance d’un rang si l’année antérieure est ordinaire et de deux rangs si cette année est bissextile. Voici le jour de la semaine du 1^er janvier des années 2001 à 2009 :

Tableau 8

Comme le décalage est d’un rang pour une année ordinaire, le 1^er janvier et le 31 décembre de la même année arrivent le même jour de la semaine.

R-12 À tous les deux ans, pour un même quantième et un même mois, le jour de la semaine avance de deux rangs ; sauf s’il y a un 29 février dans l’intervalle, le jour avance alors de trois rangs. Voici le jour de la semaine du 1^er janvier des années 2001 à 2015 prises de deux en deux :

Tableau 9

R-13 À tous les trois ans, pour un même quantième et un même mois, le jour de la semaine avance de trois rangs ; sauf s’il y a un 29 février dans l’intervalle, le jour avance alors de quatre rangs (ou recule de trois rangs). Voici le jour de la semaine du 1^er janvier des années 2001 à 2022 prises de trois en trois :

Tableau 10

R-14 À tous les quatre ans, pour un même quantième et un même mois, le jour de la semaine avance de cinq rangs (ou recule de deux rangs) ; sauf si l’année 00 n’est pas bissextile, on avance alors de quatre rangs.

Voici le jour de la semaine du 1^er janvier des années 2001 à 2029 prises de quatre en quatre :

Tableau 11

R-15 Au bout de six ans, le calendrier d’une année ordinaire est le même si on a une seule année bissextile dans l’intervalle, y inclus la dernière année. Par exemple, 2001 et 2007 ont le même calendrier.

R-16 Au bout de 11 ans, le calendrier d’une année ordinaire est le même, si après avoir additionné 6 à l’année initiale, on a deux années bissextiles dans l’intervalle, y inclus la dernière année. Par exemple, 2002 et 2013 ont le même calendrier

R-17 À tous les 28 ans, le calendrier des deux années est le même, sauf si, dans cet intervalle, il y a une année du siècle qui n’est pas bissextile comme 1700, 1800 et 1900. Par exemple, 2001 et 2029 ont le même calendrier ; 2004 et 2032 ont le même calendrier.

En appliquant les règles R-15, R-16 et R-17, on peut construire le tableau suivant. Il présente 14 calendriers marqués de A à N. Peu importe la partie séculaire, les parties annuelles ont le même calendrier.

Tableau 12

6. Pas à pas
Voici une démarche qu’on pourrait qualifier de pas à pas :
On part d’une date donnée dont on connaît le jour de la semaine : ce peut être le jour actuel, celui d’un 1^er janvier ou celui de toute autre date.

On passe d’une date donnée à une autre qui est soigneusement choisie. On attribue successivement le jour de la semaine à cette autre date en s’appuyant sur l’une ou l’autre des règles énoncées précédemment. Le jour de la semaine est le même ou décalé d’un à six rangs.

On aboutit ainsi à la date donnée dont on détermine le jour de la semaine

Exemple 1. Sachant que le 18 avril 1946 est un jeudi, trouvez le jour de la semaine du 27 juillet 2017. Voici différents pas :

Le 18 avril 1946 est un jeudi.

Le 18 avril 1974 est un jeudi (R-17).

Le 18 avril 2002 est un jeudi (R-17).

Le 18 avril 2013 est un jeudi (R-16)

Le 18 avril 2017 est un mardi (R-14)

Le 18 juillet 2017 est un mardi (R-05).

Le 27 juillet 2017 est un jeudi (R-03).

Exemple 2. Sachant que le 1^er janvier 2001 est un lundi, trouvez le jour de la semaine du 24 mars 2031. Voici différents pas :

Le 1^er janvier 2001 est un lundi.

Le 1^er mars 2001 est un jeudi (R-06).

Le 1^er mars 2029 est un jeudi (R-17).

Le 1^er mars 2031 est un samedi (R-12).

Le 22 mars 2031 est un samedi (R-02).

Le 24 mars 2031 est un lundi (R-03).

En guise de conclusion
Toute personne intéressée à trouver mentalement le jour de la semaine d’une date donnée pourrait, par exemple, apprendre par cœur le jour de la semaine du 1^er janvier de la partie annuelle 01. Par la suite, elle pourrait choisir les règles qu’elle préfère et au besoin mémoriser les données de certains tableaux. La plupart des règles ont été conçues pour passer à une date postérieure. Elles peuvent être adaptées pour que le passage soit vers le passé. 

Il existe dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives des formules et des calendriers perpétuels. Le magicien en herbe pourrait consulter ces pages pour trouver au besoin d’autres références. Voir Jour de la semaine. Û