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Ceci est le 22e article publié par Récréomath.


Récréations mathématiques 
de Mondeux - Jacoby


Par Charles-É. Jean

 

Né en 1826 d’un père travailleur forestier, Henri Mondeux se révéla dès son enfance un calculateur prodige. Ayant été informé de ce don de la nature, l’instituteur Émile Jacoby, un ingénieur civil, offrit à ses parents de le prendre en charge pour l’instruire. Voici ce que le maître a écrit sur la façon adoptée par Mondeux pour construire ses connaissances mathématiques :

"Henri Mondeux appartient à une famille complètement illettrée. Il apprit à compter jusqu'à cent, d'un de ses frères qui déjà jouissait dans sa commune d'une certaine réputation comme calculateur — cela lui suffit. Il rassembla dans un coin du champ où il gardait ses vaches, une grande quantité de petits cailloux qu'il comptait et recomptait sans cesse, se posant à lui-même des problèmes de toutes sortes. Ne connaissant la numération que jusqu'à cent, quand il allait au-delà, il disait deux cents, trois cents... dix cents, vingt cents, trente cents, cent cents, étendant ainsi la numération aussi loin que possible avec les seules expressions qu'il connaissait. Puis, divisant ses cailloux par groupes, tantôt égaux, tantôt inégaux, il les réunissait en un seul groupe et de cette manière étudiait l'addition et la multiplication, ou retranchant un ou plusieurs de ces groupes, d'un groupe principal, il s'exerçait à la soustraction et à la division."

Devant l’Académie des sciences de Paris, on a demandé à Mondeux combien de minutes avait vécues une personne de 52 ans. Après une minute, il a donné un résultat exact et a même ajouté une réponse en secondes. Le mathématicien qui avait posé la question avait pris plus d’un quart d’heure pour faire les calculs sur papier. Mondeux a établi de nombreuses formules, en particulier pour additionner des suites de nombres naturels de la troisième à la septième puissance.

En 1855, Émile Jacoby rédigea un traité d’arithmétique en se basant sur les procédés imaginés par Mondeux. Ce traité est intitulé Traité de calcul mental : la clé de l’arithmétique. Selon Jacoby, la plus grande partie des problèmes du manuel ont été conçus par Mondeux. Nous avons choisi 58 problèmes qui peuvent être associés à des récréations mathématiques par les mises en situation, par la variété de stratégies possibles pour les résoudre ou par une persistance à jouer avec les propriétés des nombres.

Jacoby s’est contenté de donner les réponses de chaque problème. Nous proposons des solutions détaillées. À l’exemple de Mondeux, nous avons imaginé des procédés basés sur le raisonnement pour résoudre plusieurs questions que l’on traite ordinairement par l’algèbre.

Les rares corrections que nous avons faites sur le fond sont placées entre crochets. Pour chaque problème, nous avons indiqué le numéro du manuel.

* * *

Problème 1
Deux élèves de mathématiques se rencontrent au café. L'un prétendant être plus riche que l'autre veut payer la consommation. Celui-ci insiste à son tour pour payer disant que la différence de ce qu'ils possèdent n'est point assez grande pour établir entre eux une inégalité.

- Cependant, dit le premier, si j'avais 5 francs de ta bourse dans la mienne, j'aurais alors le double de ce qui te resterait.

- C'est vrai, reprend l'autre, mais donne-moi 5 francs, toi, et alors j'aurai le triple de ce que tu auras. Donc, il m'appartient de payer.

Dites combien chacun a dans sa bourse. (1306)

Solution 1. Le premier a deux fois l’avoir du second moins 15. Le triple de l’avoir du premier est égal à six fois l’avoir du second moins 45 (proposition 1). Le triple de l’avoir du premier est égal à l’avoir du second plus 20 (proposition 2). D’où, six fois l’avoir du second moins 45 égalent l’avoir du second plus 20. On fait : (45 + 20)/5 = 13. Le premier a 11 francs et le deuxième 13 francs.

Problème 2
Deux personnes se réunissent pour faire un dîner. L'une apporte 5 plats et l'autre 3 plats. Un troisième convive se présente. Il n'apporte rien, mais il donne 8 francs pour son écot.

Comment les deux premiers doivent-ils se partager cette somme ? (1307)

[Ce problème est inspiré d’un problème ancien connu chez les Arabes. Le problème initial comprenait des pains au lieu des plats.]

Solution 2. On peut penser que le premier aura 5 francs et le second 3 francs. Mais, c’est faux. On imagine que chaque plat est partagé en trois parties. Le premier aurait 15 parties et le second 9 parties : ce qui fait 24 parties. Chacun devrait avoir 8 parties. Le premier a cédé 7 parties et le second 1 partie. Le premier devra toucher 7 francs et l'autre 1 franc.

Problème 3
Une bergère étant à garder son troupeau sur la lisière d'un bois, un chasseur curieux lui dit :

- Ma belle enfant, combien avez-vous de moutons à garder ?

- J'en ai tant. Si j'en avais encore autant, plus la moitié d'autant, plus le quart d'autant, plus 1, j'en aurais 100. Devinez si vous pouvez, monsieur le curieux.

Le curieux n'ayant pas deviné, dites combien elle avait de moutons. (1308)

[Ce problème est inspiré de la proposition 40 d’Alcuin.]

Solution 3. On suppose que la bergère a 1 mouton. Elle en aurait : 1 + 1 + 1/2 + 1/4 = 11/4, ce qui correspond à 99. On fait : 99 ¸ 11/4 = 36. La bergère a 36 moutons.

Problème 4 
Un père veut partager un troupeau de 80 moutons entre ses trois enfants. Mais il veut que le cadet [le deuxième] en ait l5 de plus que le plus jeune et que l'aîné en ait 5 de plus que le cadet.

Combien en doit-il donner à chacun ? (1309)

Note. Un cadet est celui qui vient après l’aîné.

Solution 4. Le triple de la part du plus jeune augmenté de 35 est égal à 80. On fait 80 - 35 = 45 et 45 ¸ 3 = 15. Le plus jeune a 15 moutons, le cadet 30 et l’aîné 35.

Problème 5 
Un père voulant éprouver les connaissances arithmétiques de son fils lui dit :

- Hélas ! mon fils, j'ai déjà le quintuple de votre âge.

- Ne vous inquiétez pas, mon père, car dans trois ans vous n'en aurez plus que le quadruple.

Quel est l'âge du père ? Quel est l'âge du fils ? (1310)

Solution 5. Le fils a au moins 6 ans. Dans ce cas, le père a 30 ans. D’après la seconde proposition, on obtient (9, 33). Si le fils a 7 ans, le père a 35. On obtient (10, 38). Si le fils a 8 ans, le père a 40. On obtient (11, 43). Si le fils a 9 ans, le père a 45. On obtient (12, 48) : ce qui est bien le quadruple. Le père a 45 ans et le fils 9 ans.

Problème 6 
Un ouvrier reçoit 3 francs par jour et il est nourri ; mais quand il ne travaille pas, il dépense 1 franc et demi par jour pour sa nourriture. Au bout d'un mois de 30 jours, il lui reste 63 francs.

Combien de jours a-t-il travaillé dans ce mois ? (1315)

Solution 6. Quand l’ouvrier travaille, il devrait recevoir 4 francs et demi par jour si on compte la nourriture. Quand il ne travaille pas, il ne recevrait rien. On fait : 30 ´ 4,5 = 135. Il devrait recevoir 135 francs. On fait : 135 - 63 = 72. Il aurait un gain de 72 francs. On fait : 72 ¸ 3 = 24. L’ouvrier a travaillé pendant 24 jours.

Problème 7
Une marchande d'œufs va au marché avec une certaine quantité d'œufs. À une première personne, elle vend la moitié de ses œufs, plus la moitié d'un œuf ; à une deuxième, la moitié de ce qu'il lui reste, plus la moitié d'un œuf, et de même à une troisième et à une quatrième personne. Alors elle a tout vendu et elle n'en a cassé aucun.

Combien avait-elle d’œufs en arrivant au marché ? (1317)

Solution 7. À la quatrième personne, elle a vendu ½ œuf. Comme elle a tout vendu, il lui restait ½ œuf, ce qui fait un œuf. Le double est 2. À la troisième personne, elle a vendu 1½ œuf et ½ œuf, soit deux œufs. Le double est 4. À la deuxième personne, elle a vendu 3½ œufs et ½ œuf, soit 4 œufs. Le double est 8. À la première personne, elle a vendu 7½ œufs et ½ œuf, soit 8 œufs. On fait : 1 + 2 + 4 + 8 = 15. La marchande a vendu 15 œufs.

Problème 8
Un jeune enfant demandait à son père quel était son âge.

- Hélas ! mon fils, répondit celui-ci, j'ai le double du triple de ton âge.

Le fils faisant un raisonnement mathématique reprit :

- Ne vous chagrinez pas, père, car dans 12 ans vous n’en aurez plus que le [triple].

Quel était l'âge de chacun d'eux ? (1326)

Solution 8. D’après la proposition 1, six fois l’âge du fils égalent l’âge du père. D’après la proposition 2, trois fois l’âge du fils plus 24 égalent l’âge du père. D’où, trois fois l’âge du fils égalent 24. Le père a 48 ans et le fils 8 ans.

Problème 9
Vingt-cinq personnes se sont réunies pour faire un festin qui leur a coûté 66 francs. Parmi elles, il y avait des hommes qui payaient chacun 3 francs et des femmes qui payaient chacune 2 francs.

Combien y avait-il d'hommes et de femmes ? (1329)

Solution 9. Le triple du nombre d’hommes plus le double de 25 moins le double du nombre d’hommes égalent 66. On fait : 66 - 50 = 16. Il y a 16 hommes et 9 femmes.

Problème 10
Une personne doit à une autre 140 francs. Elle veut s'acquitter en donnant en nombre égal des pièces de 20 francs, de 5 francs, de 2 francs et de 1 franc.

Combien lui en faut-il donner de chaque pièce ? (1330)

Solution 10. On fait : 20 + 5 + 2 + 1 = 28 et 140 ¸ 28 = 5. Il faut donner 5 pièces de chaque valeur.

Problème 11
Une compagnie de vendangeurs est composée de 90 personnes, hommes, femmes et enfants. Le nombre des femmes n'est que les trois quarts de celui des hommes et le nombre des hommes n'est que la moitié de celui des enfants.

Combien d'hommes, de femmes et d'enfants dans cette compagnie ? (1331)

Solution 11. On suppose qu’il y a un homme. Il y aura 3/4 de femme et 2 enfants. Le total serait de 3 et 3/4. On fait : 90 ¸ 15/4 = 24. On compte 24 hommes, 18 femmes et 48 enfants.

Problème 12
Une personne a la moitié de son argent en pièces de 5 francs et l'autre moitié en pièces de 2 francs. Elle les échange toutes à 3 francs pour chaque pièce et à ce marché elle gagne 5 francs.

Combien avait-elle de pièces de chaque espèce ? (1333)

Solution 12. Le nombre de pièces de 5 francs est égal à deux fois et demie le nombre de pièces de deux francs. Si la personne a 2 pièces de 5 francs, elle aurait 5 pièces de deux francs. Par l’échange, elle gagnerait 1 franc. Si la personne a 4 pièces de 5 francs, elle aurait 10 pièces de deux francs. Par l’échange, elle gagnerait 2 francs. Chaque fois que le nombre de pièces de 5 francs augmente de 2, le gain augmente de 1 franc. La personne a 10 pièces de 5 francs et 25 pièces de 2 francs.

Problème 13
Un père partage 1000 francs entre ses quatre fils de cette manière. Il veut que la part du second soit le triple de celle de l'aîné ; celle du troisième le triple de celle du second, et celle du quatrième le triple de la part du troisième.

Quelle somme doit-il donner à chacun d'eux ? (1338)

Solution 13. Si l’aîné a 1 franc, le deuxième en a 3, le troisième en a 9, le quatrième en a 27. La somme serait de 40 francs. On fait : 1000 ¸ 40 = 25. Le père donnera 25 francs à l'aîné, 75 au deuxième, 225 au troisième et 675 au quatrième.

Problème 14
On demandait à un jeune mathématicien quel était son âge et celui de ses deux frères. Il répondit :

- Mon âge, plus celui de mon cadet, égale 33 ; l'âge de mon cadet, plus celui de mon aîné, égale 48, et mon âge, plus celui de mon aîné, égale 39.

Devinez l’âge de chacun. (1343)

Note. Un cadet est celui qui vient après l’aîné. C’est donc le plus jeune qui parle.

Solution 14. On fait : 33 + 48 + 39 = 120. Comme chaque âge revient deux fois, la somme des âges des trois frères est 60. On fait : 60 - 33 = 27, 60 - 48 = 12 et 60 - 39 = 21. Celui qui parle avait 12 ans et ses frères 21 et 27 ans.

Problème 15
Trois amis se rencontrent, et, après les compliments d'usage, l'un d'eux dit :

- Hélas! nous ne sommes plus jeunes ; à nous trois nous faisons un siècle et demi.

- C'est vrai, fit le second, mais vous êtes le plus jeune, car j'ai 6 ans de plus que vous, et notre doyen a 12 ans de plus que moi.

Pourriez-vous trouver l'âge de ces trois personnes ? (1344)

Solution 15. Le deuxième a 6 ans de plus que le plus jeune. Le doyen a 18 ans de plus que le plus jeune. On fait : 150 - 6 - 18 = 126 et 126 ¸ 3 = 42, c’est l’âge du plus jeune. Les trois amis ont 42, 48 et 60 ans.

Problème 16
Trois amis, voulant faire une partie de plaisir, mettent leur bourse en commun et forment une somme de 150 francs.

On veut savoir ce qu'ils ont mis chacun, sachant que l'apport du second n'est que les 2/3 du premier, et celui du troisième que les 5/8 du deuxième. (1345)

Solution 16. Comme les dénominateurs sont 3 et 8, on suppose que le premier met 24 francs. On fait 24 ´ 2/3 = 16. Le deuxième mettra 16 francs. On fait : 16 ´ 5/8 = 10. Le troisième mettra 10 francs. La somme serait de 50 francs, soit le tiers de la bourse. On multiplie par 3 chacune des sommes. Le premier mettra 72 francs, le deuxième 48 et le troisième 30.

Problème 17
Deux joueurs ont ensemble 46 francs. Le premier perd le quart de son argent, le second n'en perd que le cinquième. Alors il reste à celui-ci le double de ce qui reste au premier.

Quelle somme chacun avait-il ? (1350)

Solution 17. Le montant du premier joueur est un multiple de 4. Elle appartient à la suite : 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... Il reste au joueur : 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... Le montant du deuxième joueur est un multiple de 5. Elle appartient à la suite : 5, 10, 15, 20, 25, 30, ... Il reste au joueur : 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... Les deux termes possibles sont 12 et 24. On fait : 12 ´ 4/3 = 16 et 24 ´ 5/4 = 30. Le premier avait 16 francs et l'autre 30.

Problème 18
Trente-deux personnes ont dépensé ensemble 60 francs pour un dîner, à savoir : les hommes 30 francs et les femmes 30 francs. Chaque homme payait un franc de plus que chaque femme.

Combien y avait-il d'hommes et de femmes ? (1354)

Solution 18. Comme chaque homme paie plus qu’une femme, il y a plus de femmes que d’hommes. S’il y a 17 femmes et 15 hommes, les dépenses sont respectivement de 1,76 franc et de 2, une différence de 0,24 franc. S’il y a 18 femmes et 14 hommes, la différence est de 0,48 franc. Avec le couple (19, 13), la différence est de 0,72 franc. Avec le couple (20, 12), la différence est de 1 franc. Il y a 20 femmes et 12 hommes.

Problème 19
Un père en mourant ordonne par son testament que l'aîné de ses fils aura le tiers de sa fortune plus 1000 francs ; le deuxième le quart plus 2000 francs, le troisième le sixième plus 3000 francs. De cette manière, le bien est entièrement partagé.

On demande ce qui revient à chacun. (1359)

Solution 19. On fait : 1/3 + 1/4 + 1/6 = 3/4. Les fils recevront 6000 francs en surplus, ce qui correspond à 1/4 de la fortune. On fait : 6000 ´ 4 = 24 000. La fortune est de 24 000 francs. Le premier recevra 9000 francs, le deuxième 8000 francs et le troisième 7000 francs.

Problème 20
Deux personnes discutant sur leur âge, l'une dit à l'autre :

- Si vous me donniez 14 de vos années, j'en aurais le double de ce qui vous resterait.

L'autre lui répond :

- Oui, mais si vous m'en donniez seulement la moitié de 14 des vôtres, j'en aurais le double du double de ce qu'il vous en resterait.

Quel est l'âge de chacun ? (1361)

Solution 20. Le nombre d’années de la première personne est pair à cause de la première proposition et supérieur à 8 à cause de la deuxième. Soit (p, d) où p est l’âge de la première personne et d celui de la deuxième. D’après la première proposition, on aura : (10, 26), (12, 27), (14, 28), (16, 29), etc. D’après la deuxième proposition, on aura : (10, 5), (12, 13), (14, 21), (16, 29), etc. Le couple (16, 29) apparaît deux fois. Les âges sont de 16 ans et de 29 ans.

Problème 21
Sept personnes doivent se réunir pour dîner ensemble chez un restaurateur. L'une d'elles manque au rendez-vous. Alors l'écot de chacun est augmenté de 2 francs, le dîner ayant été commandé d'avance.

Quelle était leur dépense ? (1367)

Solution 21. Les six personnes présentes paient 12 francs de plus. Comme la différence des personnes est 1, chacun devait payer 12 francs. Leur dépense était de 84 francs.

Problème 22
Un voiturier est payé 5 francs par voyage et un autre 7 francs. Le premier fait 3 voyages par jour, le second n'en fait que 2. Chaque voyage coûte à l'un comme à l'autre 2 francs.

Quel est celui qui a le plus de bénéfice ? (1371)

Solution 22. Le premier collecte 15 francs par jour. Si on soustrait ses dépenses, il lui reste 9 francs. Le second collecte 14 francs par jour. Si on soustrait ses dépenses, il lui reste 10 francs. Le deuxième gagne 1 franc de plus que le premier par jour.

Problème 23
Un piéton a 40 pas d'avance sur un second. Il en fait 8 pendant que le second en fait 7. Mais 3 pas du second en valent 4 du premier.

Combien le second fera-t-il de pas pour rattraper le premier ? (1374)

Solution 23. On fait : 8 ´ 3 = 24 et 7 ´ 4 = 28. La différence est 4. Comme le premier a une avance de 40, on fait : 3 ´ 7 ´ 40 = 840. On divise 840 par 4. Le résultat est 210. Le second devra faire 210 pas pour rattraper le premier.

Problème 24
Un bassin est rempli par deux fontaines dont l'une le remplirait en 6 heures, et l'autre en 12 heures. Une ouverture pratiquée à ce bassin le viderait en 8 heures.

Les trois robinets étant ouverts à la fois, on demande dans combien de temps le bassin sera rempli. (1375)

Solution 24. En une heure, les fontaines peuvent remplir 1/6 et 1/12, soit 1/4 du bassin. L’ouverture peut vider 1/8 du bassin. On fait : 1/4 - 1/8 = 1/8. Le bassin sera rempli en 8 heures.

Problème 25
On demande de partager 100 francs entre 3 personnes de manière que la seconde ait le double de la première plus 10 francs et la troisième 5 francs de plus que la deuxième.

Quelle sera la part de chacun ? (1380)

Solution 25. Si la première personne reçoit 1 franc, le total sera de 30 francs ; si cette personne reçoit 2 francs, le total sera de 35 francs. Chaque fois que la première reçoit un franc de plus, le total augmente de 5. Lorsque le total sera de 100 francs, la première personne recevra 15 francs. Les parts seront respectivement de 15, 40 et 45 francs.

Problème 26
Un père de famille laisse en mourant 160 000 francs. Il ordonne par son testament que ses fils auront une fois et demie autant que ses filles, ses neveux la moitié des fils et les nièces les 2/3 des neveux. Or, il a 3 fils, 2 filles, 4 neveux et une nièce.

Que revient-il à chacun ? (1382)

Solution 26. Soit 1 franc la part des filles, la part des fils est de 3/2, celle des neveux de 3/4 et celle des nièces de 1/2. On multiplie chaque part par le nombre d’héritiers. On obtient 10. On fait : 160 000 ¸ 10 = 16 000 : ce qui est la part des filles. Chaque fils aura 24 000 francs, chaque fille 16 000, chaque neveu 12 000 et la nièce 8 000 francs.

Problème 27
Un troupeau est composé de moutons et de chèvres. Le nombre des moutons, diminué du double du nombre des chèvres, est plus petit que 7. Le nombre des moutons, diminué du triple du nombre des chèvres, est plus grand que 4.

Trouvez le nombre des moutons et des chèvres. (1410)

Solution 27. Le nombre de chèvres est inférieur à celui des moutons. On suppose qu’il y a 1 chèvre. Soit M le nombre de moutons, on a M - 2 < 7 ou M < 9 ; on a aussi M - 3 > 4 ou M > 7. D’où, M = 8. Le troupeau est composé de chèvre et de 8 moutons.

Problème 28
Les membres d'une famille ont à se partager 175 000 francs. Avant le partage, deux de ses membres meurent et leur mort fait augmenter les parts des membres restants de 10 000 francs.

On demande de combien de membres cette famille était primitivement composée, et combien les membres restants doivent avoir chacun. (1412)

Solution 28. La famille compte au moins 3 membres. Il n’est pas possible qu’un nombre de membres soit un multiple de 3 alors que l’autre ne l’est pas. Par exemple, on ne peut pas avoir (3, 1), (5, 3), (6, 4). Si la famille compte 4 membres, la part des 2 membres restants augmentera de 43 750 francs. Si la famille compte 7 membres, la part des 5 membres restants augmentera de 10 000 francs. Ils étaient primitivement 7 et chaque membre restant doit avoir 35 000 francs.

Problème 29
- Comment se fait-il, disait un voyageur à son compagnon, que tu m'aies dépassé de 3000 pas, quand chacun de mes pas est le double de chacun des tiens ?

- C'est vrai, répondit l'autre, mais je fais dans le même temps cinq fois plus de pas que toi.

Combien chacun avait-il fait de pas ? (1414 )

Solution 29. Quand le voyageur fait 1 pas, l’autre en fait 5. Chaque pas du voyageur correspond à 2 unités de pas tandis que chacun du compagnon correspond à 5 unités. La différence est 3 unités. Comme le dépassement est de 3000 pas, on fait : 3000 ¸ 3 = 1000, 1000 ´ 2 = 2000 et 1000 ´ 5 = 5000. Le voyageur fait 2000 pas et l’autre 5000.

Problème 30
Une fruitière dit avoir vendu la moitié d'une caisse d'oranges, plus 8 oranges, et que ce qui lui reste égale les 2/7 de la caisse, plus 7 oranges.

Combien la caisse contenait-elle d'oranges ? (1416)

Solution 30. Après la vente, il lui reste la moitié de la caisse moins 8. Cela correspond à 2/7 de la caisse plus 7. On fait : 1/2 - 2/7 = 3/14 et 8 + 7 = 15. On divise 15 par 3/14. Le quotient est 70. La caisse contenait 70 oranges.

Problème 31
Mon âge et celui de ma mère, disait une jeune et jolie demoiselle, se composent des mêmes chiffres, et, cependant, l'âge de ma mère surpasse de 5 ans le double du mien.

Comment cela se fait-il ? (1418)

Solution 31. L’âge de la demoiselle ne peut pas être 10 (pas de 01) ou 11 (pas un autre 11) ans. Si la demoiselle a 12 ans, la mère a 29 ans : ce qui ne convient pas. Si la demoiselle a 13 ans, la mère a 31 ans : les chiffres sont identiques.

Problème 32
Une marchande d'œufs achète 8 douzaines d'œufs à 50 centimes la douzaine, et 15 autres douzaines à un prix inconnu, que l'on propose de trouver. Sachant qu'en revendant ses œufs 5 centimes pièce, elle a gagné 305 centimes.

[Quel est le prix d’une douzaine d’œufs ?] (1421)

Solution 32. Le premier achat lui coûte 400 centimes. La revente lui donne 1380 centimes. Pour correspondre au coût d’achat, on soustrait le bénéfice, soit 305 centimes. Cela fait 1075. On fait 1075 - 400 = 675 et 675 ¸ 15 = 45. La marchande a acheté les 15 douzaines à 45 centimes la douzaine.

Problème 33
Un jardinier possède une pépinière composée de 48 rangées d'arbres. Dans la première, il y a 6 arbres, dans la seconde 3 de plus que dans la première, et chaque suivante en a 3 de plus que celle qui la précède.

Combien y aura-t-il d'arbres ? (1428)

Solution 33. Dans chaque rangée, le nombre d’arbres est égal au triple du rang de la rangée plus 3. Dans la 48e rangée, il y aura 147 arbres. On fait : (147 + 6)48/2 = 3672. Il y aura 3672 arbres.

Problème 34
Un marchand a 108 oranges, à savoir 62 petites qu'il vend 5 centimes la pièce; 20 moyennes qu'il vend 10 centimes ; 26 belles qu'il vend 15 centimes. Trois acheteurs proposant de prendre le tout, à condition que le marchand donnera à chacun d'eux le même nombre d'oranges et que la somme à payer sera la même pour tous. [De plus, aucun ne doit avoir plus de 18 oranges d’une classe et chaque nombre doit être différent pour un même acheteur.]

Combien d'oranges de chaque espèce faudra-t-il mettre dans chaque lot pour obtenir ce résultat ? (1429)

 Solution 34. Le marchand devra récolter 900 centimes pour 108 oranges. Il doit vendre 36 oranges à chacun des acheteurs qui paieront chacun 300 centimes. Soit (P, M, B) où P est mis pour petites, M pour moyennes et B pour bonnes, les triplets possibles sont : (18, 12, 6)*, (17, 14, 5)*, (16, 16, 4), (15, 18, 3)*, (14, 20, 2) et (13, 22, 1). Les trois triplets qui conviennent sont marqués d’un astérisque. À l’un, le marchand donnera 18 petites oranges, 12 moyennes et 6 belles ; à un autre, 17 petites, 14 moyennes et 5 belles ; à un troisième, 15 petites, 18 moyennes et 3 belles.

Problème 35
J'avais une somme dans un sac. J'en retirai le tiers et j'y remis 50 francs. Quelque temps après, je pris le quart de ce qu'il y avait dans le sac, et j'y mis 70 francs. Il y avait alors 120 francs.

Combien en y avait-il d'abord ? (1439)

Solution 35. Avant de mettre 70 francs, il y avait 50 francs dans le sac. Comme j’en ai pris le quart et qu’il en reste 3/4, on fait : 50 ¸ 3/4 = 200/3. On fait : 200/3 - 50 = 50/3, puis 50/3 ¸ 2/3 = 25. Il y avait d’abord 25 francs dans le sac.

Problème 36
Quatre demoiselles se partagent entre elles 108 oranges. La première en prend ce qu'elle veut. La deuxième en prend le double de la première, la troisième le double de la seconde et la quatrième prend le reste.

On demande ce qu'elles ont pris chacune, supposant que la quatrième en a autant à elle seule que la première et la troisième ? (1442)

Solution 36. On suppose que la première prend une orange, la deuxième en prendra 2, la troisième 4 et la quatrième 5. Dans ce cas, elles auraient pris 12 oranges. On fait : 108 ¸ 12 = 9. On multiplie chacune des quantités par 9. Les demoiselles ont pris respectivement 9, 18, 36 et 45 oranges.

Problème 37
Une personne charitable rencontre des pauvres et veut leur distribuer son argent. Si elle donne 30 centimes à chaque pauvre, il lui reste 35 centimes, et si elle n'en donne que 20 à chacun, il lui en reste 85.

Combien cette personne avait-elle d'argent et quel est le nombre de pauvres ? (1451)

Solution 37. La différence du don par pauvre est de 10 centimes. La différence des restes est de 50 centimes. On fait : 50 ¸ 10 = 5, c’est le nombre de pauvres. On fait : 30 ´ 5 + 35 = 185. La personne charitable avait 185 centimes et il y avait 5 pauvres.

Problème 38 
Un robinet ouvert pendant trois heures et un autre pendant deux heures ont versé 180 litres. Si chacun restait ouvert autant que l'a été l'autre, ils verseraient 195 litres.

Combien de litres chacun verse-t-il par heure ? (1453)

Solution 38. On fait : 195 - 180 = 15. La différence du débit est 15. Le triple du nombre de litres du premier robinet plus le double du nombre de litres, augmenté de 15, du second robinet égalent 180 litres. Ce nombre est 30. Le premier robinet verse 30 litres par heure et le second 45.

Problème 39
Un instituteur veut distribuer à quelques-uns de ses élèves un certain nombre d'oranges, à condition qu'ils trouvent eux-mêmes combien il en veut récompenser ainsi et quel est le nombre des oranges qu'il leur destine. Il leur dit que s'il leur en donne à chacun 7, il lui en restera 9 ; que s'il en veut donner à chacun 10, il lui en manquera 6.

Combien avait-il d'oranges et combien voulait-il récompenser d'élèves ? (1454)

Solution 39. Sept fois le nombre d’oranges plus 9 égalent 10 fois le nombre d’oranges moins 6. La différence fait que le triple du nombre d’oranges est égal à 15. On fait : 15 ¸ 3 = 5, c’est le nombre d’élèves. L’instituteur avait 44 oranges et il voulait récompenser 5 élèves.

Problème 40
Un ivrogne va au cabaret avec une certaine somme. Après y avoir dépensé 8 francs, il va dans un autre, emprunte autant qu'il lui reste, et dépense encore 8 francs. Il va dans un troisième et dans un quatrième cabaret, fait le même emprunt et la même dépense et il ne lui reste rien.

Combien avait-il d'abord ? (1480)

Solution 40. Comme il ne lui reste rien à la fin, il avait alors 8 francs. Il a emprunté 4 francs. On fait : 4 + 8 = 12. Il en a emprunté 6. On fait : 6 + 8 = 14. Il a en emprunté 7. On fait 7 + 8 = 15. L’ivrogne avait 15 francs.

Problème 41
Une marchande d'œufs voit 4 personnes et à chacune d'elles elle vend la moitié des œufs qu'elle avait, plus la moitié d'un œuf. Elle n'a point cassé d'œufs et elle rentre avec le 1/19 de ses œufs.

Combien en avait-elle d'abord ? (1482)

Solution 41. Pour arriver avec un nombre entier d’œufs, il faut que le nombre initial soit impair. De plus, ce nombre doit être un multiple de 19. On vérifie avec 19, 57, 95. Ce dernier nombre convient. La marchande avait 95 œufs.

Problème 42
Deux élèves parlant de leurs classes, l'un dit à l'autre :

- Si tu voulais te joindre à la mienne, nous serions les 2/3 de l'autre.

L'autre lui dit :

- Oui, eh bien! si tu veux te joindre à la mienne, nous serons le triple des 2/3 de la tienne.

Combien étaient-ils d'élèves dans chaque classe ? (1489)

Solution 42. Le triple des 2/3 est le double. Soit A le nombre d’élèves de la première classe et B celui de l’autre. D’après la première proposition, les valeurs possibles de (A, B) sont : (3, 7), (5, 10), (7, 13), (9, 16), (11, 19). D’après la deuxième proposition, le dernier couple convient. La première classe comprend 11 élèves et l’autre 19.

Problème 43
Un jeune homme dit à son frère :

- Est-ce que tu ne devrais pas m'obéir à moi qui ai le triple de ton âge plus 5 ans ?

Le plus jeune lui dit :

- Oui, mais dans 15 ans, tu n'auras plus que le double de mon âge.

Quel âge ont-ils chacun ? (1490)

Solution 43. On suppose que le plus jeune a au plus 6 ans. D’après la première proposition, les âges respectifs sont : (6, 23), (7, 26), (8, 29), (9, 32), (10, 35). D’après la deuxième proposition, le dernier couple convient. Le plus jeune a 10 ans ; le plus vieux a 35 ans.

Problème 44
Trois personnes comptent leur argent. La première dit :

- J'en ai le quart de vous deux.

La seconde reprend :

- Et moi, j'en ai la moitié de vous deux.

- Moi, fait la troisième, j'en ai autant que vous deux, moins 12 francs.

Combien avaient-elles d'argent chacune ? (1494)

Solution 44. On suppose que le premier a 4 francs. Alors le deuxième en a 12 et le troisième 4, d’après les propositions 1 et 3. On suppose que le premier a 8 francs. Alors le deuxième en a 18 et le troisième 14. Quand le premier augmente de 4 francs, le deuxième augmente de 6 francs et le troisième de 10 francs. On suppose successivement que le premier a 8, 12, 16, 20, ... francs jusqu’à ce que la deuxième proposition soit réalisée. Cela convient quand le premier a 36 francs. Les personnes ont respectivement 36, 60 et 84 francs.

Problème 45
Un voyageur dépense à chaque voyage un quart de ce qu'il a, moins un quart de franc. Après trois voyages il ne lui reste que le tiers de ce qu'il avait, plus 12 francs.

Combien avait-il d'abord ? (1495)

 Solution 45. D’un voyage à l’autre, il reste successivement les 3/4, les 9/16, les 27/64 du montant initial plus une fraction de franc. Comme le dernier dénominateur est 64, le plus petit montant possible est 65. Or, 65 n’est pas un multiple de 3. Le montant possible suivant est 129. Ce montant convient. Le voyageur avait 129 francs.

Problème 46
Sept enfants ont un certain nombre de pommes. Le premier en a le quart du total moins un quart de pomme ; le deuxième le quart du reste moins un quart de pomme ; le troisième le quart du reste, moins un quart de pomme ; le quatrième en a le tiers du reste, moins un tiers de pomme ; le cinquième le tiers du reste moins un tiers de pomme ; le sixième le tiers du reste moins un tiers de pomme, et le septième le reste. [On sait d'ailleurs que le septième a le même nombre de pommes que le troisième.]

On demande combien ils avaient de pommes en tout. (1496)

Solution 46. Pour les trois premiers enfants, il reste successivement 3/4, 9/16, 27/64 du total plus une fraction de pomme. Comme le dernier dénominateur est 64, le plus petit montant possible est 65. Dans ce cas, le premier a 16 pommes, le deuxième 12 pommes, le troisième 9, le quatrième 9, le cinquième 6 et le sixième 4. Il reste 9 pommes pour le septième, soit comme pour le troisième. Le nombre 65 convient. Il y avait 65 pommes en tout.

Problème 47
Un marchand vend d'abord 1/3 de ses amandes plus les 2/3 d'une amande ; à une seconde personne, 1/3 de ce qui lui reste plus les 2/3 d'une amande ; à une troisième personne, 1/3 de ce qui lui reste plus les 2/3 d'une amande ; à une quatrième personne, 1/3 de ce qui lui reste plus les 2/3 d'une amande. Il rentre chez lui avec [en plus de 16 amandes] le huitième de ce qu'il avait en partant moins un huitième d'amande.

On demande combien il en avait d'abord. (1501)

Solution 47. Les acheteurs ont successivement 1/3, 2/9, 4/27 et 8/81 des amandes et des fractions d’amandes. Comme le dernier dénominateur est 81, le plus petit montant possible est 79. Il ne convient pas. Le montant suivant possible est 160. Il ne convient pas. Le montant suivant possible est 241. Il convient. Le marchand avait 241 amandes.

Problème 48
Un père ordonne, par son testament, que l'aîné de ses enfants prendra d'abord 1000 francs sur la fortune qu'il laisse et le sixième du reste ; le deuxième prendra, après que le premier aura prélevé sa part, 2000 francs et le sixième du reste ; le troisième 3000 francs et le sixième du reste, et ainsi de suite. De cette manière, le partage fini, il ne reste rien [et chacun a la même part].

On demande combien il y a d'enfants, quelle est la part de chacun et quelle est la fortune totale du père. (1504)

Solution 48. S’il y a quatre enfants, le dernier recevra 4000 francs : ce qui ferait une fortune de 16 000 francs, puisque chacun a la même part. Le premier recevrait 3500 francs, le second 3750 francs. Les parts seraient différentes. S’il y a cinq enfants, le dernier recevra 5000 francs : ce qui ferait 25 000 francs. On fait : 25 000 ¸ 5 = 5000. Il y a 5 enfants. Chacun reçoit 5000 francs et la fortune totale est de 25 000 francs.

Problème 49
Deux joueurs ont joué 15 parties. Le premier a gagné les 14 premières ; mais il a perdu la quinzième. L'enjeu était de 15 centimes à la première partie, et l'on doublait toujours.

Lequel a gagné et combien a-t-il gagné ? (1510)

 Solution 49. Le premier joueur gagne 15 centimes à la première partie, 30 centimes à la deuxième. Il a amassé 45 centimes. S’il perdait la troisième partie où il aurait misé 60 centimes, il perdrait 15 centimes. On continue le même raisonnement. On se rend compte que la perte pour le premier joueur est toujours de 15 centimes. Le second joueur a gagné 15 centimes.

Problème 50
Deux collégiens se mettent au jeu. L'un dit à l'autre :

- Si seulement je te gagnais 7 francs, j'aurais le double de francs que tu as.

- Je te crois, reprend l'autre, mais alors ; si c'est moi qui te les gagne, j'en aurai le quadruple de ce que tu en auras.

Combien ont-ils chacun ? (1511)

Solution 50. Puisque l’un a le double de l’autre, la somme est divisible par 3. Comme l’un a le quadruple de l’autre, la somme est divisible par 5. Le plus petit montant possible est 15. Cela ne convient pas car toute part doit être supérieure à 7. Le plus petit montant possible suivant est 30. Pour le double, on aura 10 et 20. Pour le quadruple, on aura 6 et 24. On fait : 10 + 7 = 17, 20 - 7 = 13, 6 + 7 = 13, 24 - 7 = 17. L'un a 13 francs, l'autre 17.

Problème 51
Un père laisse en mourant une assez belle fortune et il ordonne, par son testament, que le premier de ses enfants prendra 1000 francs et le 1/11 du reste ; le deuxième prendra, après que le premier aura prélevé sa part, 3000 francs et le 1/11 du reste ; le troisième prendra, après que le second aura prélevé sa part, 5000 francs et le 1/11 du reste, et ainsi de suite. De cette manière, tous ont la même somme et il reste encore une somme qui augmente la part de chacun de 1000 francs.

On demande quelle était la fortune du père et combien il avait d'enfants. (1513)

Solution 51. Si le père a 4 enfants, le montant de sa fortune est : (1000 + 3000 + 5000 + 7000)2 + ( 4 ´ 1000) = 36 000. Pour 5 enfants, le montant est : (1000 + 3000 + 5000 + 7000 + 9000)2 + (5 ´ 1000) = 55 000. Pour 6 enfants : 78 000, pour 7 enfants : 105 000, pour 8 enfants : 136 000, pour 9 enfants : 171 000, pour 10 enfants : 210 000. Seul 210 000 convient. La fortune du père est de 210 000 francs et il avait 10 enfants.

Problème 52
Un maître d’école trouve que s'il met 7 élèves par banc dans sa classe, il lui en reste 11, et s'il en met 9, il lui reste un banc de vide.

Pourrait-on savoir combien il a d'élèves ? (1518)

Solution 52. D’après la deuxième proposition, le nombre d’élèves est un multiple de 9. On doit trouver un multiple de 9 qui, soustrait de 11, est divisible par 7. Le plus petit nombre possible est 18. Ce nombre ne convient pas parce que le reste serait plus grand que le nombre d’élèves par banc. Le nombre suivant qui convient est 81. Dans ce cas, il y a 10 bancs. La classe comprend 81 élèves.

Problème 53
Un élève veut rattraper son camarade qui a 15 jours d'avance sur lui. [Le camarade] travaille 10 heures par jour, tandis que l'autre ne travaille que 8 heures. Mais [l’élève] fait 5 pages par heure tandis que [son camarade] n'en fait que 3.

On demande dans combien de temps l’élève en aura fait autant que son camarade. (1519)

Solution 53. L’élève fait 40 pages par jour ; tandis que le camarade en fait 30. L’élève fait 10 pages de plus par jour. Au départ, le camarade avait fait 450 pages. On fait : 450 ¸ 10 = 45. En 45 jours, l’élève en aura fait autant que son camarade.

Problème 54
Un père laisse en mourant une certaine somme et 5 enfants. L'un des 5 meurt avant le partage, ce qui augmente la part des autres de 450 francs.

Quelle somme le père avait-il laissée ? (1526)

Solution 54. Dans le premier cas, chaque enfant reçoit 1/5 de la somme totale. Dans le deuxième cas, chaque enfant reçoit 1/4 de la somme totale. On fait : 1 /4 - 1/5 = 1/20, ce qui correspond à 450 francs. On fait : 450 ´ 20 = 9000. Le père a laissé 9000 francs.

Problème 55
Un domestique a convenu avec son maître qu'il gagnerait 600 francs par an et un habit. Au bout de 7 mois, il se fâche et quitte. Son maître lui remet 300 francs et lui laisse l'habit.

Quel était le prix de l'habit ? (1527)

 Solution 55. Chaque mois, le domestique gagne 50 francs et 1/12 d’habit. Pendant 7 mois, il a gagné 350 francs et 7/12 d’habit. Son maître lui a remis 50 francs de moins, ce qui est le coût de 5/12 d’habit. On fait : 50 ´ 12/5 = 120. L’habit a coûté 120 francs.

Problème 56
Pour encourager son fils, un père lui promet 25 centimes par jour quand il se comportera bien, mais il lui en retiendra 20 chaque jour qu'il se comportera mal. Au bout d'un mois de 30 jours, il lui doit 210 centimes.

On demande combien de jours le fils s'est bien comporté et combien de jours on a eu à se plaindre de sa conduite. (1528)

Solution 56. Si le fils avait une bonne conduite pendant 15 jours et une mauvaise pendant 15 jours, le père devrait lui donner 75 centimes. On fait : 210 - 75 = 135. Il y a un écart de 135 centimes. Lorsque, pendant un jour, le fils se comporte bien, il gagne 25 centimes et ne perd pas 20 centimes. La différence est 45. On fait : 135 ¸ 45 = 3, 15 + 3 = 18 et 15 - 3 = 12. Le fils a eu 18 jours de bonne conduite et 12 de mauvaise conduite.

Problème 57
Deux personnes comptent leur argent et ne se trouvent pas très riches. L'une dit à l'autre :

- Donne-moi 50 centimes et j'aurai le triple de ce que tu auras.

- Ne fais pas le fier, reprend le second ; sans que tu me donnes rien, j'ai le double de toi.

Combien ont-ils chacun ? (1529)

Solution 57. L’avoir du premier plus 50 est égal au sextuple de son avoir moins 150. Cet avoir est égal à son sextuple moins 200. D’où, le quintuple est égal à 200. On fait 200 ¸ 5 = 40. Le premier a 40 centimes et le deuxième 80 centimes.

Problème 58
Trois personnes se réunissent pour faire un dîner : l'une apporte 5 plats, l'autre 3 plats, et la troisième 2 plats. Elles rencontrent deux autres personnes qui se joignent à elles et dînent. En partant, ces dernières paient 3 francs chacune pour leur écot.

Comment les premières doivent-elles se partager cette somme ? (1530)

Solution 58. On imagine que chaque plat est partagé en cinq parties. Le premier aurait apporté 25 parties, le deuxième 15 et le troisième 10 : ce qui fait 50 parties. Chacun devrait avoir 10 parties. Le premier a cédé 15 parties, le deuxième 5 et le troisième aucune partie. Le premier recevra 4,5 francs, le deuxième 1,5 franc et le troisième rien.


Conclusion
On notera que toutes les récréations relèvent de l’arithmétique. Cela s’explique par le fait qu‘elles proviennent d’un traité d’arithmétique. Il serait intéressant de développer d’autres stratégies que celles données. Ce serait une façon de se convaincre de la richesse de ces problèmes. En particulier, on peut procéder par l’algèbre quoique, dans quelques cas, la démarche serait plus longue et plus fastidieuse.

Par ailleurs, même si Jacoby ne le dit pas, on peut penser que Mondeux pouvait résoudre mentalement tous ces problèmes. Cela inclut la démarche et les calculs. Mondeux avait une capacité pour concevoir des problèmes, pour faire mentalement de longs calculs, pour appliquer des raisonnements judicieux, pour établir des procédés appropriés et les analyser. Il était toutefois rébarbatif aux définitions et aux démonstrations. Jacoby a écrit : "La puissance de son raisonnement, qui éclairait toutes les questions les plus obscures, l’empêchait de reconnaître l’utilité des équations purement littérales.". Selon lui, Mondeux est devenu non seulement un prodigieux calculateur, mais un vrai mathématicien. ç