Un problème
Dans cet article, nous allons résoudre un problème concernant des configurations formées par un nombre triangulaire d’oiseaux, suggérer deux autres situations et discuter de l’aspect didactique du problème. Toute configuration triangulaire d'oiseaux qui contient p^D oiseaux est formée de p files, une file étant une rangée horizontale d’oiseaux.

Pour faciliter la démarche, on part de la configuration triangulaire à laquelle on devrait normalement aboutir et on la transforme en deux ou plusieurs configurations triangulaires. On commence par déplacer les oiseaux de la file de la base, puis des files adjacentes en allant vers le sommet. On conserve ainsi un triangle d’oiseaux au sommet.

Nous allons étudier successivement les situations où deux, trois, puis quatre configurations triangulaires d’oiseaux se transforment en une seule configuration triangulaire. Dans chacun des cas, nous procéderons au déplacement des oiseaux d’une file, de deux, de trois, puis de q files. Nous aboutirons ainsi à une formule générale permettant de résoudre l’équation associée.

1.0 Passage de deux configurations triangulaires d’oiseaux à une seule

Cela revient à résoudre une équation de la forme a^D + b^D = c^D. Recherchons les solutions de l’équation en considérant que les oiseaux de la file ou des files de la base se déplacent à partir de la configuration unique.

1.1 Déplacement d’une file d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement d’une file d’oiseaux de la base est 10^D = 55. Les 10 oiseaux de la base se déplacent et forment un triangle de quatre files. Les neuf autres files restent en place. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 4^D + 9^D = 10^D. En d’autres mots, a = 4, b = 9 et c = 10. Voici d’autres solutions de l’équation :

Cela donne les identités suivantes : 2^D + 2^D = 3^D, 3^D + 5^D = 6^D, 5^D + 14^D = 15^D, etc. Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D = c^D, quand on déplace une file, on donne à a une valeur entière autre que l’unité. Alors, b = a^D - 1 et c = b + 1. Notons que, dans ce cas, c est aussi un triangulaire.

1.2 Déplacement de deux files d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement de deux files d’oiseaux de la base est 11^D = 66. Les neuf files du sommet restent en place et les deux de la base contenant 21 oiseaux forment un triangle de six files. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 6^D + 9^D = 11^D. En d’autres mots, a = 6, b = 9 et c = 11. Voici d’autres solutions de l’équation :

Cela donne les identités suivantes : 5^D + 6^D = 8^D, 9^D + 21^D = 23^D, etc. Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D = c^D, quand on déplace deux files, on donne à a une valeur entière telle que a^D est impair. Alors, b = (a^D - 3)/2 et c = b + 2.

1.3 Déplacement de trois files d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement de trois files d’oiseaux de la base est 8^D = 36. Les cinq files du sommet restent en place et les trois de la base contenant 21 oiseaux forment un triangle de cinq files. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l'identité : 6^D + 5^D = 8^D. Voici d’autres solutions de l’équation :

Cela donne les identités suivantes : 5^D + 3^D = 6^D, 8^D + 10^D = 13^D, etc. Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D = c^D, quand on déplace trois files, on donne à a une valeur entière telle que a^D est un multiple de 3. Alors, b = (a^D - 6)/3 et c = b + 3.

1.4 Déplacement de q files d’oiseaux
Pour proposer une solution de l’équation a^D + b^D = c^D, quand on déplace q files, on compare les résultats obtenus.

Pour le déplacement d’une file : b = a^D - 1 et c = b + 1

Pour le déplacement de deux files : b = (a^D - 3)/2 et c = b + 2.

Pour le déplacement de trois files : b = (a^D - 6)/3 et c = b + 3.

On constate que la valeur de b est la différence de a^D et de q^D qu’on divise par q. La valeur de c est la somme de b et de q. Aussi, on donne à a une valeur entière telle que (a^D - q^D) est un multiple de q. Alors, b = (a^D - q^D)/q et c = b + q.

2.0 Passage de trois configurations triangulaires d’oiseaux à une seule

Cela revient à résoudre l'équation de la forme a^D + b^D + c^D = d^D . Recherchons les solutions en considérant que les oiseaux de la file ou des files de la base se déplacent à partir de la configuration unique.

2.1 Déplacement d’une file d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement d’une file d’oiseaux de la base est 9^D = 45. Les huit files du sommet restent en place et celle de la base contenant neuf oiseaux forme deux triangles : l’un de trois et l’autre de six oiseaux. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 2^D + 3^D + 8^D = 9^D. Voici d’autres solutions de l’équation :

Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D = d^D, quand on déplace une file, on donne à a et à b toute valeur entière autre que l’unité. Alors, c = a^D + b^D - 1 et d = c + 1.

2.2 Déplacement de deux files d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement de deux files d’oiseaux de la base est 7^D = 28. Les cinq files du sommet restent en place et les deux de la base contenant 13 oiseaux forment deux triangles : l’un de trois oiseaux et l’autre de 10 oiseaux. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 2^D + 4^D + 5^D = 7^D . Voici d’autres solutions de l’équation :

Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D = d^D, quand on déplace deux files, on donne à a et à b des valeurs entières telles que (a^D + b^D) est impaire. Alors, c = (a^D + b^D - 3)/2 et d = c + 2.

2.3 Déplacement de trois files d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement de trois files d’oiseaux de la base est 10^D = 55. Les sept files du sommet restent en place et les trois de la base contenant 27 oiseaux forment deux triangles : l’un de six et l’autre de 21 oiseaux. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 3^D + 6^D + 7^D = 10^D. Voici d’autres solutions de l’équation :

Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D = d^D, quand on déplace trois files, on donne à a et à b des valeurs entières telles que (a^D + b^D ) est un multiple de 3. Alors, c = (a^D + b^D - 6)/3 et d = c + 3.

2.4 Déplacement de q files d’oiseaux
Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D = d^D, quand on déplace q files, on compare d’abord les résultats obtenus.

Pour le déplacement d’une file : c = a^D + b^D - 1 et d = c + 1.

Pour le déplacement de deux files : c = (a^D + b^D - 3)/2 et d = c + 2.

Pour le déplacement de trois files : c = (a^D + b^D - 6)/3 et d = c + 3.

On constate que la valeur de c est la différence de (a^D + b^D) et de q^D qu’on divise par q. La valeur de d est la somme de c et de q. Aussi, on donne à a et à b des valeurs entières telles que (a^D + b^D - q^D) est un multiple de q. Alors, c = (a^D + b^D - q^D)/q et d = c + q.

3.0 Passage de quatre configurations triangulaires d’oiseaux à une seule

Cela revient à résoudre l'équation a^D + b^D + c^D + d^D = e^D. Recherchons les solutions en considérant que les oiseaux de la file ou des files de base se déplacent à partir d’une configuration unique.

3.1 Déplacement d’une file d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement d’une file d’oiseaux de la base est 12^D = 78. Les 11 files du sommet restent en place et celle de la base contenant 12 oiseaux forme trois triangles : deux de trois oiseaux et un autre de six. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 2^D + 2^D + 3^D + 11^D = 12^D. Voici d’autres solutions de l’équation :

Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D + d^D = e^D, quand on déplace une file, on donne à a, à b et à c toute valeur entière autre que l’unité. Alors, d = a^D + b^D + c^D - 1 et e = d + 1.

3.2 Déplacement de deux files d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement de deux files d’oiseaux de la base est 10^D = 55. Les huit files du sommet restent en place et les deux de la base contenant 19 oiseaux forment trois triangles respectivement de 3, 6 et 10 oiseaux. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 2^D + 3^D + 4^D + 8^D = 10^D. Voici d’autres solutions de l’équation :

Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D + d^D = e^D, quand on déplace deux files, on donne à a, à b et à c des valeurs entières telles que (a^D+ b^D + c^D) est impair. Alors, d = (a^D + b^D + c^D - 3)/2 et e = d + 2.

3.3 Déplacement de trois files d’oiseaux
Une configuration triangulaire qui permet le déplacement de trois files d’oiseaux de la base est 11^D = 66. Les huit files du sommet restent en place et les trois de la base contenant 30 oiseaux forment trois triangles de 10 oiseaux chacun. En voici l’illustration :

Cette figure illustre l’identité : 4^D + 4^D + 4^D + 8^D = 11^D. Voici d’autres solutions de l’équation :

Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D + d^D = e^D quand on déplace trois files, on donne à a, à b et à c des valeurs entières telles que a^D + b^D + c^D est un multiple de 3. Alors, d = (a^D + b^D + c^D - 6)/3 et e = d + 3.

3.4 Déplacement de q files d’oiseaux
Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D + d^D = e^D, quand on déplace q files, on compare d’abord les résultats obtenus.

Pour le déplacement d’une file : d = a^D + b^D + c^D - 1 et e = d + 1.

Pour le déplacement de deux files : d = (a^D + b^D + c^D - 3)/2 et e = d + 2.

Pour le déplacement de trois files : d = (a^D + b^D + c^D - 6)/3 et e = d + 3.

On constate que la valeur de c est la différence de (a^D + b^D + c^D ) et de q^D qu’on divise par q. La valeur de e est la somme de d et de q. Aussi, on donne à a, à b et à c des valeurs entières telles que (a^D + b^D + c^D  - q^D) est un multiple de q. Alors, d = (a^D + b^D + c^D  - q^D)/q et e = d + q.

4.0 Passage de p configurations triangulaires à une seule
Pour trouver une solution de l’équation a^D + b^D + c^D + d^D + ... + m^D = n^D, quand on déplace q files, on compare d’abord les résultats obtenus.

Pour le passage de deux configurations à une seule : b = (a^D - q^D)/q et c = b + q.

Pour le passage de trois configurations à une seule : c = (a^D + b^D - q^D)/q et d = c + q.

Pour le passage de quatre configurations à une seule : d = (a^D + b^D + c^D - q^D)/q et e = d + q.

Seules les deux dernières variables ont besoin d’être calculées. Aux autres qui leur sont antérieures, on donne une valeur arbitraire. L’avant-dernière variable est la différence de a^D ou de (a^D + b^D + ... ) et de q^D qu’on divise par q. La valeur de la dernière variable est la somme de l’avant-dernière et de q. Des solutions existent lorsque (a^D + b^D + c^D + d^D + ... - q^D) est un multiple de q. Alors, m = (a^D + b^D + c^D + d^D + ... - q^D)/q et n = m + q.

Procédons à un exemple : Soit à résoudre l’équation : a^D + b^D + c^D + d^D + e^D = f^D.

Si une file d’oiseaux se déplace, q = 1. Alors, e = a^D + b^D + c^D + d^D - 1 et f = e + 1. Toute valeur peut être donnée aux quatre premières variables. Par exemple, si a = 2, b = 3, c = 4 et d = 5, alors, e = 2^D + 3^D + 4^D + 5^D - 1 = 33 et f = 33 + 1 = 34. On peut écrire : 2^D + 3^D + 4^D + 5^D + 33^D = 34^D.

Si deux files d’oiseaux se déplacent, q = 2. Alors, e = (a^D + b^D + c^D + d^D - 3)/2 et f = e + 2. La somme des quatre premières variables doit être impaire. Par exemple, si a = 2, b = 3, c = 4 et d = 7, alors, e = ( 2^D + 3^D + 4^D + 7^D - 3)/2 = 22 et f = 22 + 2 = 24. On peut écrire : 2^D + 3^D + 4^D + 7^D + 22^D = 24^D.

Si trois files d’oiseaux se déplacent, q = 3. Alors, e = (a^D + b^D + c^D + d^D - 6)/3 et f = e + 3. La somme des quatre premières variables doit être un multiple de 3. Par exemple, si a = 2, b = 3, c = 5 et d = 8, alors, e = (2^D + 3^D + 5^D + 8^D - 6)/3 = 18 et f = 18 + 3 = 21. On peut écrire : 2^D + 3^D + 5^D + 8^D + 18^D = 21^D .

Si quatre files d’oiseaux se déplacent, q = 4. Alors, e = (a^D + b^D + c^D + d^D - 10)/4 et f = e + 4. La somme des quatre premières variables doit être un nombre pair qui n’est pas un multiple de 3. Par exemple, si a = 2, b = 3, c = 4 et d = 5, alors, e = (2^D + 3^D + 4^D + 5^D - 10)/4 = 6 et f = 6 + 4 = 10. On peut écrire : 2^D + 3^D + 4^D + 5^D + 6^D = 10^D.

Nous possédons maintenant les outils nécessaires pour connaître le nombre d’oiseaux requis pour passer de plusieurs configurations à une seule ou encore d’une seule à plusieurs.

5.0 Deux autres problèmes
Appliquez les connaissances acquises en résolvant ces deux problèmes. 
5.1 Deux configurations triangulaires d’oiseaux se posent sur le sol pour se reposer. À leur départ, deux autres configurations doivent être formées.

5.2 Deux configurations triangulaires d’oiseaux se posent sur le sol et doivent se placer en un carré.

Dans chaque cas, trouvez une formule générale qui permettrait de fournir toutes les solutions.

6.0 Aspect didactique
Cette petite aventure avec les oiseaux nous a permis de voir combien peut être vaste le champ de la recherche mathématique élémentaire. Nous pourrions, en effet, nous poser bien d’autres questions sur ce thème.

De plus, cette aventure nous a permis de vivre la découverte de formules par le raisonnement inductif. En effet, le raisonnement inductif est une stratégie fort puissante pour la résolution de problèmes quand les outils n’ont pas encore été développés. Également, cela nous fait penser qu’il est encore possible d’inventer des symboles ou des concepts mathématiques pour se faire plaisir.

Cette classe de problèmes peut être abordée à tous les degrés scolaires : primaire, secondaire, collégial et universitaire. Les problèmes devraient être énoncés en tenant compte de la compétence et des connaissances de l’élève. Ils pourraient être convertis en des problèmes plus simples et des suggestions de démarche pourraient accompagner les énoncés.

Il est certain que, dans la démarche de résolution, le symbole D devrait être adopté seulement quand l’élève a une maîtrise suffisante de l’algèbre. D’ailleurs, on aurait pu faire tout le travail de recherche sans le symbole D, puisque, en fin de compte, (a^D + b^D) exprime la somme de deux nombres triangulaires. Toutefois, cela nous montre l’importance de la notation symbolique qui permet de condenser les textes en des formules.

Une autre retombée pédagogique importante se situe au plan affectif. Pour développer la passion et la curiosité envers les mathématiques, il faut placer l’élève dans des conditions où cette science lui apparaîtra comme vivante et pouvant encore être développée.

Ce type de problèmes est associé aux mathématiques récréatives, en particulier, à cause de son contenu. Mais aussi, l’aspect récréatif peut être présent dans la démarche de résolution. Toutefois, si nous demandions à l’élève de résoudre un problème spécifique à ce type et si l’élève connaissait la formule, l’aspect récréatif s’évanouirait. C’est là le paradoxe des mathématiques récréatives. Elles sont très souvent récréatives quand on est en train de les construire. Û

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Références sur les nombres triangulaires
Beiler, Albert H. Recreations in the Theory of Numbers. New York, Dover, 1964.

Bowers, H. & Bowers, J. Arithmetical Excursions. New York, Dover, 1961.

Fourrey, E. Récréations arithmétiques. Paris, Vuibert, 1947.

Gardner, Martin. Nouveaux divertissements mathématiques. Paris, Dunod, 1970.

Kordemsky, Boris. The Moscow Puzzles. New York, Scribners, 1972.

Lucas, Édouard. Théorie des nombres. Paris, Blanchard, 1958.

Lucas, Édouard. Récréations mathématiques, tome 4. Paris, Blanchard, 1960.

Reichman, W. J. La fascination des nombres. Paris, Payot, 1959.

Note. Dans la première version de cet article, nous avions adopté une variable à indices, par exemple a₁, a₂, a₃, au lieu de a, b, c. Cette version actuelle est plus facile à lire.