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Est palindrome, toute expression (mot, phrase, nombre) qu’on
peut lire de gauche à droite ou de droite à gauche et qui conserve le même
sens. RADAR, RÊVER, SERRES sont des mots palindromes. Les nombres 626, 5445, 62
326 sont également palindromes. On peut s’amuser à identifier tous les mots
palindromes ; on peut également faire la même démarche avec les nombres. Par
exemple, entre 0 et 100, en excluant les nombres d’un seul chiffre, on trouve
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
1. À votre tour,
identifiez les nombres palindromes entre 100 et 500.
2. Pourriez-vous
déterminer le nombre de palindromes entre 10 et 10 000 ?
3. On peut se demander
combien, parmi les palindromes, sont des carrés. Comme aucun carré ne finit
par 2, 3, 7 et 8, on peut exclure tous les nombres qui commencent et finissent
par ces chiffres. Pour les nombres de trois chiffres, les possibilités sont
donc 1?1, 4?4, 5?5, 9?9. Parmi eux, seuls 121, 484 et 676 sont des carrés
palindromes.
Combien y a-t-il
de carrés palindromes entre 1000 et 11 000 ?
4. Parmi les
palindromes, il y en a dont le carré possède la même propriété d’être
palindrome. Voici deux exemples : 112 = 121 et 222
= 484. Identifiez cinq
palindromes entre 100 et 1000 dont le carré est également palindrome.
5. Le nombre 11, élevé
aux puissances 2, 3 et 4, produit des palindromes.
112 = 121
113 = 1331
114 = 14 641
Trouvez, au moins,
un autre nombre palindrome qui donne des palindromes aux 2e, 3e
et 4e puissances.
6. Le double d’un
palindrome a la même propriété si chacun des chiffres du nombre initial
est inférieur à 5. Ainsi 2 × 424 = 848. Dans le même
contexte, combien y a-t-il de palindromes entre 100 et 1000 dont le triple est
également palindrome ?
7. Lorsqu’un nombre,
en des additions successives de son renversé, génère un palindrome, on dit qu’il
est palindromique. Prenons 39, son renversé est 93. Faisons l’addition des
deux nombres : 39 + 93 = 132. Faisons à nouveau une opération
semblable : 132 + 231 = 363. Le résultat 363 est palindrome. Donc, 39 est
palindromique en deux renversements.
Le nombre 69
est-il palindromique ? Si oui, en combien de renversements ?
8. Combien y a-t-il
de nombres inférieurs à 69 qui sont palindromiques en exigeant plus d’un
renversement ?
9. Quel est le nombre
palindromique entre 90 et 100 qui exige le plus de renversements ?
10. Pour ceux qui n’ont
pas peur de calculer ou qui ont accès à un ordinateur, il existe, dans ce
domaine, un problème non résolu. En effet, 196 (ou 691) déroute tous les
chercheurs. On ne sait pas encore s’il est palindromique. Plusieurs
professionnels ou amateurs ont tenté de dénouer l’énigme mais sans
résultat. Par exemple, Lynn Yarbrough a fait 79 098 renversements ; Darryl
Francis en fit 196 100, toujours sans former un palindrome.
Est-il
raisonnable de penser que 196 n’est pas palindromique ?
11. On peut, avec des
nombres palindromes, former des carrés magiques. Le carré suivant est magique
car la somme des nombres est la même horizontalement, verticalement et en
diagonale. La somme est 696 : ce qui est également un palindrome.
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343 |
101 |
252 |
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141 |
232 |
323 |
|
212 |
363 |
121 |
Formez un carré
magique en utilisant les nombres palindromes suivants : 202, 212, 222, 313, 323,
333, 424, 434, 444. Û
* * * * * * * * *
Solutions
1. Les palindromes
sont : 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222,
232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383,
393, 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494.
2. Il y a 189
palindromes.
3. Un seul : 10
201.
4. Les cinq
palindromes sont 101, 111, 121, 202 et 212 car 101 × 101 = 10 201 ; 111
× 111 = 12 321 ; 121 × 121 = 14 641 ; 202 × 202 = 40 804 ; 212
× 212 = 44 944.
5. Un palindrome est 101, car 1012 = 10 201 ; 1013 =
1 030 301 ; 1014 = 104 060 401.
6. Il y a 12
palindromes : 101, 111, 121, 131, 202, 212, 222, 232, 303, 313, 323, 333.
7. En quatre renversements : 69 + 96 = 165 ; 165 + 561 = 726 ; 726 + 627 =
1353 ; 1353 + 3531 = 4884.
8. Il y a 15 nombres
: 19, 28, 37, 39, 46, 48, 49, 55, 57, 58, 59, 64, 66, 67, 68.
9. Le nombre 98 exige
24 renversements.
10. Même si les
renversements sont très nombreux, ce n’est pas suffisant pour montrer que 196
n’est pas palindromique.
11. Voici un carré magique :
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434 |
202 |
333 |
|
222 |
323 |
424 |
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313 |
444 |
212 |
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Article publié dans
le Bulletin de l’AMQ (Revue de l’Association mathématique du
Québec), mai 1981, p. 26-27.
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