Une pyramide numérique est un ensemble de nombres disposés dans les cases d'un tableau de forme triangulaire de telle manière que chaque nombre d'une rangée supérieure est égal à la somme des deux nombres inférieurs adjacents. À moins de spécifications contraires, on considère seulement les entiers positifs. Voici un exemple de pyramide :

Cette pyramide est dite d’ordre 4 car elle contient quatre cases à la base et quatre rangées horizontales.

Le présent article étudie certains aspects des pyramides d’ordres 3 à 6. On veut connaître le sommet de la pyramide, la différence du sommet et de la base, la somme des termes d’une configuration, les variations du sommet, etc.

Pyramides d’ordre 3

3.1 Sommet de la pyramide

Proposition 1. Dans une pyramide d’ordre 3, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base et le double du terme central.

Soit A, B et C les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on trouve que le sommet est A + 2B + C.

Bref, S = (A + C) + 2B.

Problème. Trouvez le nombre du sommet dans une pyramide d’ordre 3 quand la somme des termes de la base est 20 et quand le terme central est 4 et ce, sans trouver les nombres des cases intermédiaires.

Solution. La somme des termes extrêmes de la base est 16. On écrit : S = (A + C) + 2B = 16 + 2 × 4 = 24. Le sommet est 24. Voici un exemple de configuration :

3.2 Différence du sommet et de la base

Proposition 2. Dans une pyramide d’ordre 3, la différence du sommet S et du total T des termes de la base est égale au terme central de la base.

Soit A, B et C les nombres de la base dans cet ordre.

On fait : (A + 2B + C) – (A + B + C) = B.

Or, S = A + 2B + C et T = A + B + C.

Bref, S – T = B.

Problème. Configurez une pyramide d’ordre 3 lorsque le total des termes de la base est 15 et le sommet est 22.

Solution. On fait : 22 – 15 = 7. D’où, A + C = 8. Voici un exemple de configuration :

3.3 Somme des termes

Proposition 3. Dans une pyramide d’ordre 3, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 3 fois la somme des termes extrêmes de la base et cinq fois le terme central.

Soit A, B, C les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient 3A + 5B + 3C.

Bref, Σ = 3(A + C) + 5B.

Problème. Trouvez une configuration où la somme de tous les termes est 58.

Solution. On pose : 3(A + C) + 5B = 58. C’est une équation du premier degré à deux inconnues. Il y a trois possibilités.

1) Si A + C = 6, alors B = 8.

2) Si A + C = 11, alors B = 5.

3) Si A + C = 16, alors B = 2.

Voici une configuration à partir de la dernière possibilité :

Problème. Trouvez une configuration où la somme des termes est 69 et dont le sommet est 24.

Solution. On écrit :

Σ = 3(A + C) + 5B = 69

S = (A + C) + 2B = 24

On résout le système d’équations. On trouve que B = 3 et A + C = 18. Voici une configuration :

3.4 Variations du sommet

Proposition 4. Soit trois entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre de disposition des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place le plus petit entier dans la case centrale de la base et les deux autres dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place le plus grand entier dans la case centrale de la base et les deux autres dans les extrémités.

3.5 Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 5. Dans une pyramide d’ordre 3, lorsque la base contient trois entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à quatre fois le terme central de la base.

À la base, on écrit successivement A, A + 1, A + 2. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 4A + 4.

Bref, S = 4(A + 1).

Voici un exemple de configuration dans lequel A = 5 :

3.6 Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 6. Dans une pyramide d’ordre 3 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est 4A + 3.

3.7 Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 7. Dans une pyramide d’ordre 3 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est 4A + 5.

Problème. Construisez une pyramide formée de trois entiers consécutifs dans le désordre à la base et dont le plus grand sommet est 65.

Solution. Soit A le plus petit terme, le plus grand sommet est 4A + 5. On écrit : 4A + 5 = 65. D’où, A = 15. Une configuration est :

Voici un tableau qui illustre certaines propositions lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre ou dans le désordre :

3.8 Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 8. Dans une pyramide d’ordre 3, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 11 fois le terme du centre.

D’après la proposition 3, Σ = 3(A + C) + 5B. À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2. On peut écrire : Σ = 3(A + A + 2) + 5(A + 1) = 11A + 11.

Bref, Σ = 11(A + 1).

Par exemple, on suppose que A = 6. On peut écrire : Σ = 11(A + 1) = 77. Voici une configuration dans laquelle la somme de tous les termes est 77 :

Pyramides d’ordre 4

4. 1 Sommet de la pyramide

Proposition 9. Dans une pyramide d’ordre 4, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base et le triple de la somme des deux termes centraux.

Soit A, B, C, D les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on trouve que le sommet est A + 3B + 3C + D.

Bref, S = (A + D) + 3(B + C).

Problème. Trouvez le nombre du sommet dans une pyramide d’ordre 4 quand la somme des termes de la base est 27 et que la somme des deux termes centraux est 12, sans trouver les nombres des cases intermédiaires.

Solution. La somme des deux termes extrêmes de la base est 15. On écrit : (A + D) + 3(B + C) = 15 + 3 × 12 = 51. Voici un exemple de configuration :

Pour avoir toujours le même sommet, il faut que la somme des termes extrêmes soit 15 et que la somme des deux termes centraux soit 12. Voici une autre configuration :

4.2.Différence du sommet et de la base

Proposition 10. Dans une pyramide d’ordre 4, la différence du sommet S et du total T de la base est égale à deux fois la somme des deux termes centraux de la base.

On fait : (A + 3B + 3C + D) – (A + B + C + D) = 2B + 2C.

Bref, S – T = 2(B + C).

Problème. Configurez une pyramide d’ordre 4 lorsque la somme des termes de la base est 15 et que le sommet est 27.

Solution. On applique la formule précédente. On fait : 27 – 15 = 2(B + C). D’où, B + C = 6. On commence alors par remplir les deux cases centrales de la base avec une somme de 6. Puis, on complète les deux autres cases avec une somme de 9. Voici un exemple de configuration :

4.3 Somme des termes

Proposition 11. Dans une pyramide d’ordre 4, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 4 fois la somme des deux termes extrêmes de la base et 9 fois la somme des deux termes centraux.

Soit A, B, C, D les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient 4A + 9B + 9C + 4D.

Bref, Σ = 4(A + D) + 9(B + C).

Problème. Trouvez une configuration où la somme de tous les termes est 101.

Solution. On pose : 4(A + D) + 9(B + C) = 101. C’est une équation du premier degré à deux inconnues. Il y a deux possibilités.

1) Si A + D = 5, alors B + C = 9.

2) Si A + D = 14, alors B + C = 5.

Voici une configuration à partir de la deuxième possibilité :

Problème. Trouvez une configuration où la somme des termes est 100 et dont le sommet est 31.

Solution. On écrit :

4(A + D) + 9(B + C) = 100 (somme des termes)

(A + D) + 3(B + C) = 31 (sommet)

On résout le système d’équations. On trouve que A + D = 7 et que B + C = 8. Voici une configuration :

4.4 Variations du sommet

Proposition 12. Soit quatre entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place les deux plus petits entiers dans les deux cases centrales et les deux autres dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place les deux plus grands entiers dans les deux cases centrales et les deux autres dans les extrémités.

4.5. Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 13. Dans une pyramide d’ordre 4, lorsque la base contient quatre entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à quatre fois la somme du double du plus petit entier et de 3.

À la base, on écrit successivement A, A + 1, A + 2, A + 3. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 8A + 12 qui est égal à 4(2A + 3).

Bref, S = 4(2A + 3) où 2A + 3 est la somme des deux termes extrêmes ou des deux termes centraux.

Voici un exemple de configuration dans lequel A = 4 :

Démonstration. Montrez que, dans une pyramide d’ordre 4, lorsque la base contient quatre entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à deux fois le total T des termes de la base.

4.6 Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 14. Dans une pyramide d’ordre 4 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est 8(A + 1).

4.7 Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 15. Dans une pyramide d’ordre 4 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est 8(A + 2).

Problème. Construisez une pyramide formée de quatre entiers consécutifs dans le désordre à la base dont le plus grand sommet est 72.

Solution. Soit A le plus petit terme, le plus grand sommet est 8(A + 2). On écrit : 8(A + 2) = 72. D’où, A = 7. Une configuration est :

Voici un tableau qui illustre certaines propositions lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre ou dans le désordre :

4.8 Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 16. Dans une pyramide d’ordre 4, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 13 fois la somme du double du plus petit et de 3.

D’après la proposition 11, Σ = 4(A + D) + 9(B + C). À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2, A + 3. On peut écrire : Σ = 4(A + A + 3) + 9(A + 1 + A + 2) = 26A + 39.

Bref, Σ = 13(2A + 3).

Par exemple, on suppose que A = 4. On peut écrire : Σ = 13(2A + 3) = 143. Voici une configuration dans laquelle la somme de tous les termes est 143 :

Démonstration. Montrez que, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme Σ de tous les termes est égale à 6,5 fois le total T des termes de la base.

Pyramides d’ordre 5

5.1 Sommet de la pyramide

Proposition 17. Dans une pyramide d’ordre 5, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base, le quadruple de la somme des deux termes voisins et le sextuple du terme central.

Soit A, B, C, D, E les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on obtient comme sommet A + 4B + 6C + 4D + E.

Bref, S = (A + E) + 4(B + D) + 6C.

Problème. Quel est le sommet dans cette configuration ?

Solution. On peut écrire :

On voit que 2B + 9 = 15. D’où, B = 3. On procède de la même façon pour trouver la valeur de D. On écrit : 2D + 13 = 25. D’où, D = 6.

On remplace les lettres par leur valeur dans (A + E) + 4(B + D) + 6C. Le sommet est 74.

5.2 Différence du sommet et de la base

Proposition 18. Dans une pyramide d’ordre 5, la différence du sommet S et du total T de la base est obtenue en additionnant le triple de la somme des termes voisins des extrémités et le quintuple du terme central.

On fait : (A + 4B + 6C + 4D + E) – (A + B + C + D + E) = 3B + 5C + 3D.

Bref, S – T = 3(B + D) + 5C.

Problème. Configurez une pyramide d’ordre 5 lorsque la somme des termes de la base est 22 et le sommet est 67.

Solution. On fait : 67 – 22 = 3(B + D) + 5C. C’est une équation du premier degré à deux inconnues. Il y a deux possibilités.

1) Si C = 3, B + D = 10.

2) Si C = 6, B + D = 5.

Choisissons la dernière hypothèse. Comme la somme de la base est 22, A + E = 11. Avec ces données, on peut établir la configuration suivante.

5.3 Somme des termes

Proposition 19. Dans une pyramide d’ordre 5, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 5 fois la somme des termes extrêmes de la base, 14 fois la somme des termes voisins des extrêmes et 19 fois le terme du milieu.

Soit A, B, C, D, E les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient Σ = 5A + 14B + 19C + 14D + 5E. 

Bref, Σ = 5(A + E) + 14(B + D) + 19C.

Problème. Trouvez une configuration dans laquelle la somme des termes est 271, A + E = 10 et B + D = 9.

Solution. Dans l’équation 5(A + E) + 14(B + D) + 19C = 271, on remplace (A + E) et (B + D) par leur valeur. On obtient : C = 5. Il existe plusieurs configurations. Pour en trouver une, il s’agit de donner des valeurs aux lettres dont les sommes sont données. La somme des termes sera toujours 271. Voici un exemple de configuration :

5.4 Variations du sommet

Proposition 20. Soit cinq entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre de disposition des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place le plus petit entier dans la case centrale, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place le plus grand entier dans la case centrale, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

5.5 Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 21. Dans une pyramide d’ordre 5, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à 16 fois la somme du plus petit terme et de 2.

À la base, on écrit successivement A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 16A + 32.

Bref, S = 16(A + 2).

5.6 Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 22. Dans une pyramide d’ordre 5 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est (16A + 19).

5.7 Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 23. Dans une pyramide d’ordre 5 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est (16A + 45).

Le tableau suivant illustre les dernières propositions.

Problème. Trouvez une configuration dans laquelle on place à la base cinq entiers consécutifs, pas nécessairement dans l’ordre, dans laquelle le sommet est 95.

Solution. En se basant sur la proposition 22, on fait : 16A + 19 = 95. D’où, A = 4,75. Si A = 4, le plus petit sommet est 83 et le plus grand est 109. Les termes de la base sont 4, 5, 6, 7 et 8. D’où, la somme des termes de la base est 30. On écrit :

A + 4B + 6C + 4D + E = 95

A + B + C + D + E = 30

En soustrayant les deux équations l’une de l’autre, on obtient 3B + 5C + 3D = 65, soit 3(B + D) + 5C = 65.

La plus petite valeur possible de C est 4. Si C = 4, alors B + D = 15. On place 4 au centre. La combinaison de deux nombres dont la somme est 15 est (7, 8). On place 7 et 8 autour du centre, puis on complète avec 5 et 6 dans les extrémités. On peut obtenir la configuration suivante.

5.8 Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 24. Dans une pyramide d’ordre 5, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 57 fois la somme du plus petit et de 2.

D’après la proposition 19, Σ = 5(A + E) + 14(B + D) + 19C. À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4. On peut écrire : Σ = 5(A + A + 4) + 14(A + 1 + A + 3) + 19(A + 2) = 57A + 114.

Bref, Σ = 57(A + 2).

Pyramides d’ordre 6

6.1 Sommet de la pyramide

Proposition 25. Dans une pyramide d’ordre 6, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base, cinq fois la somme des deux termes voisins des extrémités et 10 fois la somme des deux termes centraux.

Soit A, B, C, D, E, F les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on trouve que le sommet est A + 5B + 10C + 10D + 5E + F.

Bref, S = (A + F) + 5(B + E) + 10(C + D).

Appliquons cette formule, pour vérifier le sommet dans la figure précédente. On a : (2 + 7) + 5(5 + 3) + 10(4 + 1) = 9 + 40 + 50 = 99. Le sommet est bien 99.

Problème. Dans cette configuration, trouvez le sommet sans faire tous les calculs intermédiaires.

Solution. On commence par trouver les entiers manquants de la base. On recherche la valeur de B en construisant ce tableau.

Comme 2B + 9 = 21, alors B = 6. En procédant de la même façon, on trouve que D = 1.

Le sommet est (A + F) + 5(B + E) + 10(C + D). On applique cette formule : (7 + 9) + 5(6 + 4) + 10(2 + 1) = 16 + 50 + 30 = 96. Voici la configuration :

6.2 Différence du sommet et de la base

Proposition 26. Dans une pyramide d’ordre 6, la différence du sommet S et du total T de la base est obtenue en additionnant quatre fois la somme des termes voisins des extrémités de la base et neuf fois la somme des termes centraux.

On fait (A + 5B + 10C + 10D + 5E + F) – (A + B + C + D + E) = 4B + 9C + 9D + 4E.

Bref, S – T = 4(B + E) + 9(C + D).

6.3 Somme des termes

Proposition 27. Dans une pyramide d’ordre 6, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 6 fois la somme des termes extrêmes de la base, 20 fois la somme des termes voisins des extrêmes et 34 fois la somme des deux termes du milieu.

Soit A, B, C, D, E, F les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient 6A + 20B + 34C + 34D + 20E + 6F.

Bref, Σ = 6(A + F) + 20(B + E) + 34(C + D).

Problème. Sans faire toutes les additions au long, trouvez la somme de tous les termes de la pyramide du point 6.1.

Solution. On fait : 6(7 + 9) + 20(6 + 4) + 34(2 + 1) = 96 + 200 + 102 = 398.

Problème. Complétez la configuration suivante pour que la somme de tous les termes soit 348.

Solution. Dans l’équation : 6(A + F) + 20(B + E) + 34(C + D) = 348, on remplace (B + E) et (C + D) par leur valeur. On obtient : A + F = 13. Il existe plusieurs configurations. Pour en trouver une, il s’agit de donner des valeurs arbitraires à A et à F où A + F = 13. La somme des termes sera toujours 348. Voici un exemple de configuration :

6.4 Variations du sommet

Proposition 28. Soit six entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre de disposition des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place les deux plus petits entiers dans les deux cases centrales, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place les deux plus grands entiers dans les deux cases centrales, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

6.5 Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 29. Dans une pyramide d’ordre 6, lorsque la base contient six entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à 16 fois la somme du double du plus petit et de 5.

À la base, on écrit dans l’ordre A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4, A + 5. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 32A + 60.

Bref, S = 16(2A + 5). Par exemple, si A = 3, alors S = 176.

6.6 Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 30. Dans une pyramide d’ordre 6 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est 4(8A + 11).

6.7 Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 31. Dans une pyramide d’ordre 6 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est 4(8A + 29).

6.8 Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 32. Dans une pyramide d’ordre 6, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 60 fois la somme du double du plus petit et de 5.

D’après la proposition 27, Σ = 6(A + F) + 20(B + E) + 34(C + D). À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4, A + 5. On peut écrire : Σ = 6(A + A + 5) + 20(A + 1 + A + 4) + 34(A + 2 + A + 3) = 120A + 300.

Bref, Σ = 60(2A + 5).

En guise de conclusion

Les 32 propositions permettent de généraliser certains aspects des pyramides numériques d’ordres 3 à 6. On pourrait en étudier d’autres aspects. L’étude pourrait être prolongée avec des pyramides d’ordre supérieur à 6.