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Ceci est le 26e article publié par Récréomath.


Triplets de Pythagore

Par Charles-É. Jean

Un triangle de Pythagore est un triangle rectangle dont les côtés ont des mesures entières. Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse. On traduit cette proposition ainsi : x2 + y2 = z2, où x et y sont les côtés de l’angle droit, et z l’hypoténuse. Le triplet correspondant est (x, y, z).

Le triangle de Pythagore le plus connu est celui dont les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 3 et 4 unités, tandis que l’hypoténuse mesure 5 unités. Le triplet correspondant est (3, 4, 5) ou (4, 3, 5). Ces deux triplets sont équivalents. Dans cet article, nous présentons des algorithmes permettant de trouver des triplets de Pythagore ; nous classons les triplets en familles ; puis nous trouvons des formules pour trouver le nombre de triplets.

    Sommaire

1. Représentation d’un carré

2. Suites de nombres impairs à partir de 1

3. Par sommation

4. Par différence de carrés

5. Familles de triplets de Pythagore

6. Dénombrement de triplets de Pythagore

    En guise de conclusion

1. Représentation d’un carré
Un carré, comme nombre, est le produit de deux facteurs égaux. La suite des carrés est : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc. Une propriété intéressante des carrés va inspirer une nouvelle approche dans l’étude du triangle de Pythagore. Cette propriété s’énonce ainsi : "Tout carré est la somme d’entiers impairs consécutifs à partir de 1." Par exemple,

1 + 3 = 4                          1 + 3 + 5 = 9                    1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25      1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

Comme nombre figuré, un carré peut être représenté notamment sous forme de triangles de boules.

a) Par un triangle isocèle

 

 

 

 

  o

  1

 

 

 

o

o o o

   4

 

 

o

o o o

o o o o o

     9

 

o

o o o

o o o o o

o o o o o o o

      16

o

o o o

o o o o o

o o o o o o o

o o o o o o o o o

          25

b) Par un triangle rectangle

 

 

 

 

  o

  1

 

 

 

o

o o o

   4

 

 

o

o o o

o o o o o

     9

 

o

o o o

o o o o o

o o o o o o o

      16

o

o o o

o o o o o

o o o o o o o

o o o o o o o o o

          25


2
. Suites des nombres impairs à partir de 1
Trois éléments sont importants dans la suite des nombres impairs lorsqu’elle commence par 1 : le dernier terme, le nombre de termes et leur somme.

Proposition 1. Soit d le dernier terme d’une suite, le nombre n de termes est égal à (1 + d)/2. Par exemple, lorsque le dernier terme est 19, on fait : (1 + 19)/2 = 10. Le nombre de termes est 10. La suite est : 1 + 3 + 5 + ... + 17 + 19.

Proposition 2. Soit d le dernier terme d’une suite, la somme des termes S est égale à (1 + d)2/4. Par exemple, lorsque le dernier terme est 19, on fait : (1 + 19)2/4 = 100. La somme est 100.

Proposition 3. Soit n le nombre de termes d’une suite, le dernier terme d est égal à (2n - 1). Par exemple, lorsque la suite a 10 termes, on fait : 2 × 10 - 1 = 19. Le 10e terme de cette suite est 19.

Proposition 4. Soit n le nombre de termes d’une suite, leur somme S est égale à n2. Par exemple, lorsque la suite a 10 termes, on fait : 102 = 100. La somme des termes de la suite de 10 termes est 100.

Proposition 5. Soit S la somme des termes, le nombre de termes n est la racine carrée de S . Par exemple, lorsque la somme est 100, on fait : Ö 100 = 10. Le nombre de termes est 10.

Proposition 6. Soit S la somme des termes, le dernier terme d est égal au double de la racine carrée de la somme moins 1. Par exemple, lorsque la somme est 100, on fait : 2Ö 100 - 1 = 19. Le dernier terme est 19.

Bref, soit d le dernier terme, n le nombre de termes et S la somme, on a les formules suivantes :

d = 2n - 1

n = (1 + d)/2

S = (1 + d)2/4

d = 2Ö S - 1

n = Ö S

S = n2


3.
Par sommation
Une suite de nombres impairs à partir de 1 étant donnée, on peut dans certains cas la scinder en deux parties de façon que la somme des termes de chaque partie soit un carré. Par exemple, on prend la suite 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... , 23, 25. On scinde la suite entre le 9 et le 11. La somme des termes de la première suite est nécessairement un carré. La somme des termes de 11 à 25 est 144, qui est un carré. La somme des nombres de la suite complète est aussi nécessairement un carré.

On a donc :
Première suite partielle : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. C’est le carré de 5.
Deuxième suite partielle : 11 + 13 + 15 + ... + 23 + 25 = 144. C’est le carré de 12.
Suite complète : 1 + 3 + 5 + ... + 23 + 25 = 169. C’est le carré de 13.

De ces résultats, on tire un triangle de Pythagore dont les côtés mesurent respectivement 5, 12 et 13 unités. On représente ce triangle par le triplet (5, 12, 13).

Pour trouver un triplet de Pythagore, lorsqu’un côté de l’angle droit est connu, on peut procéder ainsi.

1. On trouve le dernier terme d de la suite. C’est la première suite partielle.

2. On fait la somme des termes qui dépassent d. C’est la deuxième suite partielle. Quand on atteint une somme qui est un carré, on extrait sa racine carrée.

3. On fait la somme des termes des deux suites partielles. On extrait la racine carrée de cette somme.

4. On écrit le triplet correspondant qui est formé par la mesure du côté connu, par la racine carrée de la somme de la deuxième suite partielle et par la racine carrée de la somme de la suite complète.

Exemple. La mesure d’un côté de l’angle droit est de 12 unités.
Dans ce cas, il existe quatre triplets.

Premier triplet
Le dernier terme de cette suite est 23. On écrit : 1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23. La somme des termes est 144 qui est le carré de 12. On écrit les termes qui viennent après 23, soit 25, 27, 29, 31, ... etc. On note que 25 est un carré.

On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 = 25. C’est le carré de 5.
1 + 3 + 5 + ... + 23 + 25 = 169. C’est le carré de 13.

Le triplet est (12, 5, 13). Les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 12 et 5 unités. L’hypoténuse est de 13 unités.

Deuxième triplet
On reprend la suite : 25, 27, 29, 31, ... etc. À partir de 25, on additionne successivement chacun des termes. Au fur et à mesure, on vérifie si la somme obtenue est un carré. On note que la somme 81 est un carré.

On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 + 27 + 29 = 81. C’est le carré de 9.
1 + 3 + 5 + ... + 27 + 29 = 225. C’est le carré de 15.

Le triplet est (12, 9, 15). Les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 12 et 9 unités. L’hypoténuse est de 15 unités.

Troisième triplet
On reprend la suite : 25, 27, 29, 31, ... etc. À partir de 25, on additionne successivement chacun des termes. Au fur et à mesure, on vérifie si chaque somme est un carré. On note que la somme 256 est un carré.

On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 + 27 + 29 + ... + 37 + 39 = 256. C’est le carré de 16.
1 + 3 + 5 + ... + 37 + 39 = 400. C’est le carré de 20.

Le triplet est (12, 16, 20). Les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 12 et 16 unités. L’hypoténuse est de 20 unités.

Quatrième triplet
On fait les même opérations que précédemment. On aboutit à une somme de 1225, qui est le carré de 35.

On a donc :
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. C’est le carré de 12.
25 + 27 + 29 + ... + 71 + 73 = 1225. C’est le carré de 35.
1 + 3 + 5 + ... + 71 + 73 = 1369. C’est le carré de 37.

Le triplet est (12, 35, 37). Les deux côtés de l’angle droit mesurent respectivement 12 et 35 unités. L’hypoténuse est de 37 unités.

Bref, lorsque l’un des côtés de l’angle droit mesure 12 unités, on trouve quatre triplets.

x

y

z

12

5

13

12

9

15

12

16

20

12

35

37



3.2 Lorsque l’hypoténuse est connue.
Lorsque la mesure de l’hypoténuse est connue, on procède ainsi.

1. On trouve le dernier terme de la suite.

2. En partant du dernier terme de la suite, on trouve la somme des termes consécutifs de façon décroissante.

3. On note les carrés obtenus et on calcule leur rang en extrayant la racine carrée. On trouve ainsi les côtés de l’angle droit.

Exemple. L’hypoténuse mesure 15 unités.
Le dernier terme est 29. Alors, 225 = 1 + 3 + 5 + ... + 27 + 29. En faisant la somme de façon décroissante, on obtient : 29, 56, 81, 104, 125, 144, 161, 176, 189, 200, 209, 216, 221, 224, 225. À l’exception de 225, on repère deux sommes qui sont des carrés : 81 et 144.

On a un premier triplet.
1 + 3 + 5 + ... + 15 + 17 = 81. On fait : Ö 81 = 9. Un côté de l’angle droit est 9.
19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 144. On fait : Ö 144 = 12. L’autre côté de l’angle droit est 12.

On a un second triplet équivalant au premier.
1 + 3 + 5 + ... + 21 + 23 = 144. On fait : Ö 144 = 12. Un côté de l’angle droit est 12.
25 + 27 + 29 = 81. On fait : Ö 81 = 9. L’autre côté de l’angle droit est 9.

Le seul triangle de Pythagore dont l’hypoténuse est 15 est représenté par le triplet (9, 12, 15) ou (12, 9, 15).

Exemple. L’hypoténuse mesure 25 unités.
Le dernier terme est 49. Alors, 625 = 1 + 3 + 5 + ... + 47 + 49. En procédant comme précédemment, à part 625, on repère quatre sommes qui sont des carrés : 49, 225, 400 et 576.

On a  un premier triplet.
1 + 3 + 5 + ... + 11 + 13 = 49. Un côté de l’angle droit est 7.
15 + 17 + 19 + ... + 47 + 49 = 576. L’autre côté est 24.

Le triangle de Pythagore est représenté par (7, 24, 25).

On a un second triplet.
1 + 3 + 5 + ... + 27 + 29 = 225. Un côté de l’angle droit est 15.
31 + 33 + 35 + ... + 47 + 49 = 400. L’autre côté est 20.

Le triangle de Pythagore est représenté par le triplet (15, 20, 25).

4. Par différence de carrés
Un autre algorithme peut être appliqué quand on connaît un côté de l’angle droit. Soit le triplet (x, y, z), où x et y sont les côtés de l’angle droit et où z est l’hypoténuse.

1. On choisit un nombre x.

2. On élève ce nombre au carré, soit x2.

3. On recherche deux facteurs a et b de x2. L’un des deux facteurs doit être inférieur à x. Les deux facteurs doivent être de même parité et non égaux.

4. On fait : (a + b)/2 = z, c’est l’hypoténuse.

5. On fait : (b - a)/2 = y, c’est l’autre côté de l’angle droit.

Exemple. Un côté de l’angle droit est de 15 unités.
Le carré de 15 est 225. Les facteurs acceptables de 225 sont : 1 × 225, 3 × 75, 5 × 45, 9 × 25. On procède comme dans ce tableau.

Facteurs

(a + b)/2 = z

(b - a)/2 = y

Triplets

1 × 225

(1 + 225)/2 = 113

(225 -1)/2 = 112

(15, 112, 113)

3 × 75

(3 + 75)/2 = 39

(75 - 3)/2 = 36

(15, 36, 39)

5 × 45

(5 + 45)/2 = 25

(45 - 5)/2 = 20

(15, 20, 25)

9 × 25

(9 + 25)/2 = 17

(25 - 9)/2 = 8

(15, 8, 17)


5. Familles de triplets de Pythagore
En se basant sur la différence entre l’hypoténuse et un côté de l’angle droit, on peut trouver de nombreux triplets de Pythagore. Lorsque la différence est la même d’un triplet à l’autre, on parle d’une famille de triplets de Pythagore.

Soit x2 + y2 = z2, alors x2 = (z + y)(z - y). Quatre exemples sont donnés.

Famille dont la différence est 1.
Si z - y = 1, alors x2 = z + y. Il s’ensuit que y et z sont deux nombres consécutifs. La somme de deux nombres consécutifs est impaire. D’où, x ne peut pas être pair. On prend successivement les nombres impairs. Pour chacun de ces nombres à partir de 3, on peut établir un triplet. Voici les plus petits triplets de cette famille :

x

y

z

3

4

5

5

12

13

7

24

25

9

40

41

11

60

61

13

84

85

15

112

113

...

...

...

La première colonne contient une suite dont la raison est 2. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est 2n(n + 1) où n est le rang du terme. Chaque nombre est le quadruple d’un nombre triangulaire. Dans la troisième colonne, z = y + 1.

Connaissant la valeur de x, pour trouver le triplet correspondant, on élève x au carré. On cherche deux nombres dont la somme est x2 et dont la différence est 1. Soit 11 le premier terme, le carré est 121. On fait : 121 ÷ 2 = 60,5. L’un des termes est 60 et l’autre 61.

Famille dont la différence est 2.
Si z - y = 2, alors x2 = 2(z + y). Il s’ensuit que y et z sont deux nombres consécutifs pairs ou deux nombres consécutifs impairs. Dans les deux cas, la somme des deux nombres est paire. D’où, x est nécessairement pair. On prend successivement les nombres pairs. Pour chacun de ces nombres à partir de 4, on peut établir un triplet. Voici les plus petits triplets de cette famille :

x

y

z

4

3

5

6

8

10

8

15

17

10

24

26

12

35

37

14

48

50

16

63

65

...

...

...

La première colonne contient une suite dont la raison est 2. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est n(n + 2) où n est le rang du terme. Dans la troisième colonne, z = y + 2.

Connaissant la valeur de x, pour trouver le triplet correspondant, on élève x au carré. On cherche deux nombres dont la somme est x2/2 et dont la différence est 2. Soit 10 le premier terme, le carré est 100. On fait : 100 ÷ 4 = 25, puis 25 - 1 = 24. L’un des termes est 24 et l’autre 26.

Famille dont la différence est 3.
Si z - y = 3, alors x2 = 3(z + y). On prend successivement de 6 en 6 les nombres à partir de 9. Pour chacun de ces nombres, on peut établir un triplet. Voici les plus petits triplets de cette famille :

x

y

z

9

12

15

15

36

39

21

72

75

27

120

123

33

180

183

39

252

255

45

336

339

...

...

...

La première colonne contient une suite dont la raison est 6. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est 6n(n + 1) où n est le rang du terme. Chaque nombre est égal à 12 fois un nombre triangulaire. Dans la troisième colonne, z = y + 3.

Connaissant la valeur de x, pour trouver le triplet correspondant, on élève x au carré. On cherche deux nombres dont la somme est x2/3 et dont la différence est 3. Soit 21 le premier terme, le carré est 441. On fait : 441 ÷ 6 = 73,5, puis 73,5 - 1,5 = 72. L’un des termes est 72 et l’autre 75.

Famille dont la différence est 8.
Si z - y = 8, alors x2 = 8(z + y). On prend successivement de 8 en 8 les nombres à partir de 12. Pour chacun de ces nombres, on peut établir un triplet. Voici les plus petits triplets de cette famille :

x

y

z

12

5

13

20

21

29

28

45

53

36

77

85

44

117

125

52

165

173

60

221

229

...

...

...

La première colonne contient une suite dont la raison est 8. La deuxième colonne contient une suite dont le terme général est (2n - 1)(2n + 3) où n est le rang du terme. Dans la troisième colonne, z = y + 8.

Connaissant la valeur de x, pour trouver le triplet correspondant, on élève x au carré. On cherche deux nombres dont la somme est x2/8 et dont la différence est 8. Soit 20 le premier terme, le carré est 400. On fait : 400 ÷ 16 = 25, puis 25 - 4 = 21. L’un des termes est 21 et l’autre 29.

6. Dénombrement de triplets de Pythagore
6.1 Formule de Beiler

Albert H. Beiler, dans Recreations in the Theory of Numbers, a donné une formule qui permet de trouver le nombre de triangles de Pythagore quand on connaît un côté de l’angle droit. Nous avons légèrement modifié cette formule et nous la présentons en écriture simplifiée. La voici :

Soit un côté de l’angle droit dont les facteurs sont : ap, bq, cr, ds, ... , le nombre de triplets est : ½[(2p + 1)(2q + 1)(2r + 1)(2s + 1) ... - 1] . Lorsqu’un côté de l’angle droit est pair, on remplace alors p par (p - 1).

Par exemple, si le côté de l’angle droit est 45, les facteurs sont 32 et 5. On écrit : p = 2 et q = 1. En appliquant ces valeurs dans la formule, on obtient ½[ (5)(3) - 1] qui est égal à 7. D’où, il existe sept triplets de Pythagore lorsqu’un côté de l’angle droit est 45. Le plus petit triplet est (45, 24, 51).

Par exemple, si le côté de l’angle droit est 200, les facteurs sont 23 et 52. On écrit : p = 3 et q = 2. Comme 200 est pair, on considère que p = 2. En appliquant ces valeurs dans la formule, on obtient ½[ (5)(5) - 1] qui est égal à 12. D’où, il existe 12 triplets de Pythagore lorsqu’un côté de l’angle droit est 200. Le plus petit triplet est (200, 45, 205).

Nous allons adapter cette formule dans quelques cas.

6.1.1 Le nombre donné est premier ou une de ses puissances.
1e Le nombre donné est un premier impair de puissance p.
· Il existe un seul triplet pour tout nombre premier impair. Par exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit est 7, le seul triplet est (7, 24, 25).

· Lorsqu’un nombre premier impair est élevé à la puissance 2, il existe deux triplets. Par exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit est 9, les deux triplets sont (9, 12, 15) et (9, 40, 41). Le premier triplet est le triple de (3, 4, 5) et le second est primitif, en ce sens que ses termes n’ont pas de facteur commun.

· Lorsqu’un nombre premier impair est élevé à la puissance 3, il existe trois triplets. Par exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit est 27, les trois triplets sont (27, 36, 45), (27, 120, 123) et (27, 364, 365). Le premier triplet est égal à neuf fois (3, 4, 5), le second est le triple de (9, 40, 41) et le troisième est primitif.

De façon générale, lorsque le nombre donné est impair de puissance p, il existe p triplets. En effet, la formule correspondante est ½[ (2p + 1) - 1] , qui est égal à p.

2e Le nombre donné est le seul nombre premier pair de puissance p, soit 2.
On peut représenter ce nombre par apa = 2.

· Il n’existe pas de triplet de Pythagore quand p = 1.

· Il existe un seul triplet quand p = 2. C’est le triplet (4, 3, 5).

· Il existe deux triplets quand p = 3. Ce sont les triplets (8, 6, 10) et (8, 15, 17).

· Il existe trois triplets quand p = 4. Ce sont les triplets (16, 12, 20), (16, 30, 34) et (16, 63, 65).

De façon générale, lorsque le nombre donné est pair de puissance p, il existe (p - 1) triplets. En effet, on prend la formule correspondante et on remplace p par (p - 1). Cela donne : ½[(2(p - 1) + 1 - 1] = p - 1.

6.1.2 Le nombre donné peut être décomposé en deux puissances de facteurs premiers.

1e Les deux facteurs sont des nombres premiers impairs élevés à diverses puissances.

On les exprime ainsi : ap et bq. Voici un tableau qui donne le nombre de triplets pour les valeurs de p et de q allant de 1 à 5 :

 

b

b2

b3

b4

b5

 

a

4

7

10

13

16

+ 3

a2

7

12

17

22

27

+ 5

a3

10

17

24

31

38

+ 7

a4

13

22

31

40

49

+ 9

a5

16

27

38

49

60

+ 11

 

+ 3

+ 5

+ 7

+ 9

+ 11

 

Par exemple, sachant que 675 est formé de deux facteurs premiers 33 et 52, on recherche a3b2 ou a2b3 dans le tableau. Le nombre de triplets pour 675 est 17.

Le nombre de triplets est donné par la formule simplifiée 2pq + p + q.

2e L’un des deux facteurs est 2 ou une puissance de 2.
On remplace p par (p - 1) dans la formule précédente. Par exemple, lorsqu’un côté de l’angle droit est 48, les facteurs sont 24 et 3. On prend p = 3 et q = 1. On a alors : 2 × 3 + 3 + 1 = 10. Il existe 10 triplets pour 48.

6.1.3 Le nombre donné peut être décomposé en trois puissances de facteurs premiers.
Étudions le cas où les trois facteurs sont impairs, donc formés par des nombres premiers impairs élevés à des puissances quelconques.

Premier tableau
Les facteurs a et b prennent des puissances diverses, tandis que c est invariant. On a donc ap, bq et cr r = 1.

 

bc

b2c

b3c

b4c

D

a

13

22

31

40

+ 9

a2

22

37

52

67

+ 15

a3

31

52

73

94

+ 21

a4

40

67

94

121

+ 27

D

+ 9

+ 15

+ 21

+ 27

 

Ayant une expression de la forme a2b3c, le tableau indique que celle-ci génère 52 triplets. Le plus petit nombre qui correspond à cette expression est 52 × 33 × 7 = 4725. Lorsqu’un côté de l’angle droit est 4725, il existe 52 triplets. Le plus petit triplet est (4725, 364, 4739).

Le nombre de triplets est donné par la formule simplifiée 6pq + 3(p + q) + 1.

Deuxième tableau
Les facteurs a et b prennent des puissances diverses, tandis que c2 est invariant. On a donc ap, bq et cr r = 2.

 

bc2

b2c2

b3c2

b4c2

D

a

22

37

52

67

+ 15

a2

37

62

87

112

+ 25

a3

52

87

122

157

+ 35

a4

67

112

157

202

+ 45

D

+ 15

+ 25

+ 35

+ 45

 

La formule simplifiée est 10pq + 5(p + q) + 2.

Lorsque r varie, on peut appliquer la formule 4pqr + 2(pq + pr + qr) + p + q + r.

6.2 Valeurs de 1 à 100 pour un côté de l’angle droit
Le tableau suivant donne le nombre de triplets de Pythagore pour tout nombre de 1 à 99 qui est un côté de l’angle droit.

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

-

0

0

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

4

1

1

4

3

1

2

1

2

4

4

1

1

7

2

1

3

4

1

3

4

1

4

4

1

4

7

1

1

4

4

7

1

4

1

4

7

1

1

10

2

5

2

4

4

1

3

4

7

4

1

1

6

13

1

1

7

5

4

4

1

4

4

7

4

1

12

1

1

7

4

4

4

1

8

10

4

1

1

13

4

1

4

7

1

9

7

4

4

4

1

4

13

1

2

7


En guise de conclusion
Pour terminer, voici six problèmes dont la solution n’est pas donnée.
1. Trouvez au moins un triplet dont la différence entre l’hypoténuse et un côté de l’angle droit est 5.

2. Trouvez le plus petit côté de l’angle droit qui est supérieur à 100 et qui peut appartenir à 13 triplets de Pythagore.

3. Trouvez au moins un triplet de Pythagore dont un côté de l’angle droit est 21 ?

4. Un côté de l’angle droit est de 1000. Combien existe-t-il de triplets de Pythagore ?

5. À part 1 et 2, existe-t-il des nombres qui ne peuvent pas appartenir à un triplet de Pythagore ?

6. Quel est le plus grand nombre inférieur à 1000 qui génère le plus de triplets ?

FIN