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De
façon générale, un rectangle magique est une grille rectangulaire
composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des
nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être
unique et celle de chaque colonne doit aussi être unique, mais différente
de celle des lignes. Un rectangle magique m × n qui contient les
nombres de 1 à mn est dit normal.
Pour
trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède
ainsi :
•
On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.
•
On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la
somme de chaque ligne.
•
On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la
somme de chaque colonne.
Si
la somme totale des nombres n’est pas divisible par m ou encore par n,
on ne peut pas former un rectangle magique normal. Par ailleurs, si la
somme totale est divisible par m et par n, cela ne signifie pas nécessairement
qu’on puisse distribuer les nombres de façon à former une
configuration magique.
Autre
forme de rectangle magique
Un
rectangle magique peut comporter des cases noires. On dit alors qu’il
est troué ou à trous. Il s’agit alors de distribuer les nombres pour
que la somme soit la même dans chaque rangée de cases adjacentes.
Sommaire
Dans
cet article, nous allons étudier les rectangles magiques suivants :
1.
Rectangles magiques d’ordre 2 × n où n = 3, 4, 5 et 6
2.
Rectangles magiques d’ordre 3 × n où n = 4, 5 et 6
3.
Rectangles magiques d’ordre 4 × n où n = 5 et 6
4. Rectangles
magiques d’ordre 3 × 5 à trois trous
5. Rectangles
magiques d’ordre 3 × 5 à quatre trous
1. Rectangles magiques d’ordre 2 × n
1.1 Un rectangle magique 2 × 3
La
somme des nombres de 1 à 6 est 15. Or, 15 ÷ 2 = 7,5. Il n’existe pas
de rectangle magique normal 2 × 3. Toutefois, on peut former un
rectangle magique avec les nombres de 1 à 7 sauf 4. La somme sur chaque
ligne doit être 12 et celle de chaque colonne 8.
Pour
trouver une configuration, on écrit 1, 2, 3 sur la première ligne. On
complète chaque colonne pour que la somme soit 8.
La
différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 6, 4,
2. La somme est 12. On peut partager cette somme en deux groupes de
6 : 6 et 4 + 2 = 6. On recherche, par ligne, une somme de 12 en
intervertissant les nombres d’un des deux groupes. Dans ce cas, on
peut intervertir 1 et 7 pour former cette configuration magique.
1.2 Un rectangle magique 2 × 4
La
somme des nombres de 1 à 8 est 36. La somme des lignes doit être 18 et
celle des colonnes 9. On écrit 1, 2, 3, 4 sur la première ligne et on
complète les colonnes pour que la somme soit 9.
La
différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 7, 5,
3, 1. La somme est 16. On peut partager cette somme en deux groupes :
7 + 1 = 8 et 5 + 3 = 8. On intervertit les nombres d’un de ces deux
groupes, soit 2 et 7, puis 3 et 6. On obtient cette configuration
magique normale.
1.3 Un rectangle magique 2 × 5
La
somme des nombres de 1 à 10 est 55. Comme 55 n’est pas divisible par
2, il n’existe pas de configuration magique normale de cet ordre.
La
prochaine somme divisible par 2 et par 5 est 60. Dans ce cas, on
pourrait utiliser les nombres de 1 à 11, sauf 6. La somme sur chaque
ligne doit être 30 et celle de chaque colonne 12. On écrit 1, 2, 3, 4,
5 sur la première ligne et on complète les colonnes.
La
différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 10,
8, 6, 4, 2. La somme des différences est 30. Il est impossible de
partager cette somme en deux groupes de 15. Dans ce cas, on ne peut donc
pas former une configuration magique.
La
prochaine somme divisible par 2 et par 5 est 70. Dans ce cas, on
pourrait utiliser les nombres de 1 à 12, sauf 1 et 7. La somme sur
chaque ligne doit être 35 et celle de chaque colonne 14. On écrit 2,
3, 4, 5, 6 sur la première ligne et on complète les colonnes pour que
la somme soit 14.
La
différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est
successivement 10, 8, 6, 4, 2. La somme des différences est 30. Il est
impossible de partager cette somme en deux groupes de 15. Dans ce cas,
on ne peut pas former un rectangle magique.
On
essaie de nouveau avec une somme de 70. Dans ce cas, on pourrait
utiliser les nombres de 1 à 13, sauf 6, 7 et 8. La somme sur chaque
ligne doit encore être 35 et celle de chaque colonne encore 14. On écrit
1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne et on complète les colonnes.
La
différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est
successivement 12, 10, 8, 6, 4. La somme des différences est 40. On
peut partager cette somme en deux groupes de 20 : 12 + 8 = 20 et 10
+ 6 + 4 = 20. On intervertit 1 et 13, puis 3 et 11. On obtient cette
configuration magique.
1.4 Un rectangle magique 2 × 6
La
somme des nombres de 1 à 12 est 78. La somme des lignes doit être 39
et celle des colonnes 13. On écrit 1, 2, 3, 4, 5, 6 sur la première
ligne et on complète les colonnes pour que la somme soit 13.
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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|
12
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11
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10
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9
|
8
|
7
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La
différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est
successivement 11, 9, 7, 5, 3, 1. La somme des différences est 36. On
peut partager cette somme en deux groupes : 11 + 7 = 18 et 9 + 5 +
3 + 1 = 18. On intervertit 1 et 12,
puis 3 et 10. On obtient cette configuration magique normale.
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12
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2
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10
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4
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5
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6
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1
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11
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3
|
9
|
8
|
7
|
2.
Rectangles magiques d’ordre 3 × n
2.1 Un
rectangle magique 3 × 4
La
somme des nombres de 1 à 12 est 78. Comme 78 n’est pas divisible par
4, il n’existe pas de configuration magique normale de cet ordre.
La
prochaine somme divisible par 3 et par 4 est 84. Dans ce cas, on
pourrait utiliser les nombres de 1 à 13, sauf 7. La somme sur chaque
ligne doit être 28 et celle de chaque colonne 21. On écrit 1, 2, 3, 4
sur la première ligne. On
complète les colonnes pour que leur somme soit 21 en ayant soin de
placer 5, 6, 8, 9 sur la deuxième ligne, puis 10, 11, 12, 13 sur la
troisième ligne.
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1
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2
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3
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4
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8
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9
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5
|
6
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|
12
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10
|
13
|
11
|
La
somme des différences, par colonne, entre les éléments de la première
et de la deuxième ligne est 18. Il en est de même entre les éléments
de la deuxième et de la troisième ligne. Les différences entre chaque
élément de la première et de la troisième ligne sont successivement
11, 8, 10, 7. On peut faire : 11 + 7 = 8 + 10.
Les
différences 11 et 7 étant dans un membre de l’égalité, on
intervertit 1 et 12 (12 – 1 = 11), puis 4 et 11 (11 – 4 = 7). On
obtient cette configuration magique.
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12
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2
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3
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11
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8
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9
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5
|
6
|
|
1
|
10
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13
|
4
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2.2 Un rectangle 3 × 5
La
somme des nombres de 1 à 15 est 120. La somme des lignes est 40 et
celle des colonnes 24. Comme 120 est divisible par 3 et par 5, on
suppose qu’il est possible de former une configuration magique.
On
écrit 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne. On complète les colonnes
en ayant soin de placer 6, 7, 8, 9, 10 sur la deuxième ligne, puis 11,
12, 13, 14, 15 sur la troisième ligne.
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1
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2
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3
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4
|
5
|
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8
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9
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10
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6
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7
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15
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13
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11
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14
|
12
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La
somme des différences, par colonne, entre les éléments de la première
et de la deuxième ligne est 25. Il en est de même entre les éléments
de la deuxième et de la troisième ligne. Les différences entre chaque
élément de la première et de la troisième ligne sont successivement
14, 11, 8, 10, 7. On peut partager la somme des différences en deux
groupes : 14 + 11 = 8 + 10 + 7.
On
intervertit 1 et 15 (15 – 1 = 14), puis 2 et 13 (13 – 2 = 11). On
obtient cette configuration magique qui est normale.
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15
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13
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3
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4
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5
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8
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9
|
10
|
6
|
7
|
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1
|
2
|
11
|
14
|
12
|
2.3 Un rectangle 3 × 6
La
somme des nombres de 1 à 18 est 171. Comme 171 n’est pas divisible
par 6, il n’existe pas de configuration magique normale de cet ordre.
La
prochaine somme divisible par 3 et par 6 est 174. Dans ce cas, on
pourrait utiliser les nombres de 1 à 19, sauf 16. La somme sur chaque
ligne serait 58 et celle de chaque colonne 29.
On
écrit 1, 2, 3, 4, 5, 6 sur la première ligne. On complète les
colonnes en ayant soin de placer 7, 8, 9, 10, 11, 12 sur la deuxième
ligne, puis 13, 14, 15, 17, 18, 19 sur la troisième ligne.
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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9
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10
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12
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7
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11
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8
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19
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17
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14
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18
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13
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15
|
La
somme des différences, par colonne, d’une ligne à l’autre est
successivement 36 (lignes 1 et 2) et 39 (lignes 2 et 3). Comme les
sommes sont différentes, on ne peut pas former de configuration magique
selon cette méthode.
La
prochaine somme divisible par 3 et par 6 est 180. Dans ce cas, on
pourrait utiliser les nombres de 1 à 19 sauf 10. La somme sur chaque
ligne serait 60 et celle de chaque colonne 30.
On
écrit les nombres de 1 à 6 sur la première ligne. On complète les
colonnes avec les nombres de 7 à 13 sauf 10 sur la deuxième ligne et
les nombres de 14 à 19 sur la troisième ligne.
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1
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2
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3
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4
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5
|
6
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12
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9
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13
|
11
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7
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8
|
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17
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19
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14
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15
|
18
|
16
|
La
somme successive des différences d’une ligne à l’autre
(lignes 1 et 2, puis lignes 2 et 3) est 39. Les différences entre
chaque élément de la première et de la troisième ligne sont
successivement 16, 17, 11, 11, 13, 10. On peut partager la somme des
différences en deux groupes : 17 + 11 + 11 = 16 + 13 + 10.
On
intervertit 2 et 19, 3 et 14, puis 4 et 15. On obtient cette
configuration magique.
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1
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19
|
14
|
15
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5
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6
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12
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9
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13
|
11
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7
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8
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17
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2
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3
|
4
|
18
|
16
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3.
Rectangles magiques d’ordre 4 × n
3.1 Un rectangle magique 4 × 5
La
somme des nombres de 1 à 20 est 210. La somme n’est pas divisible par
4. On ne peut pas former de configuration magique normale de cet ordre.
La
prochaine somme divisible par 4 et par 5 est 220. Dans ce cas, on
pourrait utiliser les nombres de 1 à 21, sauf 11. La somme sur chaque
ligne serait 55 et celle de chaque colonne 44.
On
écrit 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne. On complète les colonnes
pour que la somme soit 44 en ayant soin de placer 6, 7, 8, 9, 10 sur la
deuxième ligne, 12 13, 14, 15, 16 sur la troisième ligne, puis 17, 18,
19, 20, 21 sur la quatrième ligne.
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1
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2
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3
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4
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5
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9
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10
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7
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8
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6
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15
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14
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13
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12
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16
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|
19
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18
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21
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20
|
17
|
La
somme des différences des éléments de la première et de la deuxième
ligne est 25, soit 8 + 8 + 4 + 4 + 1. Entre la deuxième et la troisième
ligne, la somme des différences est 30. Entre la troisième et la
quatrième ligne, la somme des différences est 25. Comme les sommes
sont différentes, on ne peut pas former configuration magique avec
cette disposition et selon cette méthode.
3.2 Un rectangle magique 4 × 6
La
somme des nombres de 1 à 24 est 300. La somme des lignes est 75 et
celle des colonnes est 50. Comme précédemment, on écrit les nombres
dans la grille pour que chaque colonne ait la même somme.
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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10
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11
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12
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8
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9
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7
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18
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17
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16
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15
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14
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13
|
|
21
|
20
|
19
|
23
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22
|
24
|
Entre
chaque ligne voisine, la somme des différences des éléments est
36. Entre la première et la quatrième ligne, les différences sont
successivement 20, 18, 16, 19, 17, 18. On peut partager les différences
en deux groupes : 20 + 18 + 16 = 19 + 17 + 18.
Entre
la deuxième et la troisième ligne, les différences sont
successivement 8, 6, 4, 7, 5, 6. On peut partager les différences en
deux groupes : 8 + 6 + 4 = 7 + 5 + 6.
Dans
la même colonne, on intervertit les éléments d’après les derniers
résultats. On peut donc former cette configuration magique.
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21
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20
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19
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4
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5
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6
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10
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11
|
12
|
15
|
14
|
13
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18
|
17
|
16
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8
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9
|
7
|
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1
|
2
|
3
|
23
|
22
|
24
|
On note que, dans chaque colonne, les sommes de deux cases voisines sont
19 et 31.
4.
Rectangles magiques d’ordre 3 × 5 à trois trous
Le
rectangle magique ci-après, appelé rectangle troué, est composé de
15 cases dont 12 sont libres. Il s’agit de placer les
nombres de 1 à 12 pour que la somme soit la même dans chacune des six
rangées de trois cases adjacentes : trois rangées horizontales et
trois rangées verticales.
Six
cases appartiennent à deux rangées : les cases marquées 2. Elles
sont de degré 2. Les six autres appartiennent à seulement une rangée.
Elles sont de degré 1. Voici l’illustration :
La
somme des nombres de 1 à 12 est 78. Supposons qu’on dispose les éléments
de 1 à 6 dans les cases de degré 2 et les éléments de 7 à 12 dans
les cases de degré 1. On peut alors écrire : 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5
+ 6) + (7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) = 99. C’est une somme indexée.
Comme
il y a six rangées, on divise 99 par 6. Le quotient est 16,5. En conséquence,
la plus petite somme probable par rangée est 17.
Supposons
qu’on dispose les éléments de 1 à 6 dans les cases de degré 1 et
les éléments de 7 à 12 dans les cases de degré 2. On peut alors écrire :
2(7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 135. C’est une
somme indexée.
Comme
il y a six rangées, on divise 135 par 6. Le quotient est 22,5. En conséquence,
la plus grande somme probable par rangée est 22.
4.1 La somme par rangée est 17
Pour
que la somme par rangée soit 17, il faut que la somme indexée soit
102. En effet, 17 × 6 = 102. Précédemment, la somme indexée trouvée
a été de 99. Il y a donc une différence de 3. On peut permuter 4 et
7, 5 et 8 ou 6 et 9 d’un ensemble à l’autre pour obtenir 102.
■ Permutation de 4 et de 7
Les
cases de degré 2 devront recevoir 1, 2, 3, 5, 6, 7. Pour les cases de
degré 1, ce sera 4, 8, 9, 10, 11, 12. On peut écrire : 2(1 + 2 +
3 + 5 + 6 + 7) + (4 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) = 102.
Il
n’y a pas de triplets dont la somme est 17 dans les éléments de degré
2. Donc, il n’y a pas de configuration dans ce cas.
■ Permutation de 5 et de 8
On
peut écrire : 2(1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8) + (5 + 7 + 9 + 10 + 11 +
12) = 102.
Il
y a un seul triplet (3, 6, 8) dont la somme est 17 dans les éléments
de degré 2. On commence par placer ce triplet dans la deuxième
colonne. Puis, on complète en ayant soin de respecter les degrés. On
peut obtenir cette configuration.
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9
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3
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12
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2
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1
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10
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6
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|
11
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7
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8
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5
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4
|
■ Permutation de 6 et de 9
On
peut écrire : 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 9) + (6 + 7 + 8 + 10 + 11 +
12) = 102.
Dans
les éléments de degré 2, il y a un seul triplet (3, 5, 9) dont la
somme est 17. Pour configurer la grille, on procède comme précédemment.
On peut obtenir cette configuration.
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7
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3
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10
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4
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2
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6
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9
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|
12
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|
8
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|
5
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11
|
1
|
4.2 La somme par rangée est 18
Pour
que la somme par rangée soit 18, il faut que la somme indexée soit
108. En effet, 18 × 6 = 108. Une façon de répartir les nombres est :
2(1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9) + (2 + 5 + 8 + 10 + 11 + 12) = 108. On peut
obtenir cette configuration.
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2
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3
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8
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7
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4
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5
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9
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|
10
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12
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|
6
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11
|
1
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4.3 La somme par rangée est 19
Pour
que la somme par rangée soit 19, il faut que la somme indexée soit
114. Une façon de répartir les nombres est : 2(3 + 4 + 5 + 6 + 7
+ 11) + (1 + 2 + 8 + 9 + 10 + 12) = 114. On peut obtenir cette
configuration.
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1
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3
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9
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7
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6
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2
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11
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|
8
|
|
12
|
|
5
|
10
|
4
|
4.4 La somme par rangée est 20
On prend une configuration de somme 19. De 13, on soustrait chacun des éléments.
Les deux configurations sont dites complémentaires. À partir de la
configuration précédente, on obtient :
|
12
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10
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4
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6
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7
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11
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2
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|
5
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|
1
|
|
8
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3
|
9
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4.5 La somme par rangée est 21, puis 22
À votre tour, de trouver un rectangle magique dont la somme par rangée
est 21 ou 22.
5. Rectangles
magiques d’ordre 3 × 5 à
quatre trous
Le
rectangle magique ci-après a 15 cases dont 11 sont libres. Il s’agit
de placer les nombres de 1 à 11 pour que la somme soit la même
dans chacune des cinq rangées de trois cases adjacentes : trois
rangées horizontales et deux rangées verticales.
Quatre
cases appartiennent à deux rangées : les cases marquées 2. Elles
sont de degré 2. Les sept autres appartiennent à une seule rangée.
Elles sont de degré 1. Voici la répartition :
On
suppose qu’on dispose 1, 2, 3 et 4 dans les cases de degré 2 et les
autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire : 2(1 +
2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) = 76. C’est une somme indexée.
Comme
il y a cinq rangées, on fait : 76 ÷ 5 = 15,2. La plus petite
somme probable par rangée est donc 16.
On
suppose qu’on place 8, 9, 10 et 11 dans les cases de degré 2 et les
autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire : 2(8 +
9 + 10 + 11) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 104.
Comme
il y a cinq rangées, on fait : 104 ÷ 5 = 20,8. La plus grande
somme probable par rangée est donc 20.
Nous
allons appliquer une stratégie différente des rectangles magiques à
trois trous, expliquée précédemment.
5.1 La somme par rangée est 16
On
écrit a au milieu de la première colonne. La somme des éléments des
cases de degré 2 est (16 + a). Comme la somme des 11 éléments est 66,
la somme des éléments de degré 1 est (50 – a). On a : 2(16 +
a) + (50 – a) = 82 + a. Comme on a cinq rangées, chacune ayant une
somme de 16, on fait : 16 × 5 = 80. On peut écrire : 82 + a
= 80. D’où, a = -2.
Il
n’y a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est
16, car -2 n’appartient pas à la suite des nombres de 1 à 11.
Toutefois, si on remplace a par 3, on peut obtenir cette configuration
qui contient deux fois 3.
5.2 La somme par rangée est 17
On
peut écrire :
2(17
+ a) + (49 – a) = 83 + a
83
+ a = 85
D’où,
a = 2.
Voici
une configuration possible lorsque la somme par rangée est 17 :
5.3 La somme par rangée est 18
On
peut écrire :
2(18
+ a) + (48 – a) = 84 + a
84
+ a = 90
D’où,
a = 6.
Voici
une configuration possible lorsque la somme par rangée est 18 :
5.4 La somme par rangée est 19
On
trouve un rectangle complémentaire quand, de 12, on soustrait des éléments
d’une configuration. Comme chaque rangée contient des triplets, on
multiplie 12 par 3 : ce qui donne 36. Pour trouver la somme par
rangée dans le rectangle complémentaire, on soustrait 36 de 19. La
différence est 17. Prenons le rectangle dont la somme par rangée est
17. De 12, soustrayons chacun des éléments. On obtient :
5.5 La somme par rangée est 20
Le
rectangle complémentaire a une somme de 16 par rangée. Comme il n’y
a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est 16, il
n’y en a pas lorsque la somme est 20.
Conclusion
Notre étude nous a permis de
configurer plusieurs rectangles magiques dont certains sont normaux. On
pourrait étudier les rectangles magiques d’ordre supérieur.
Parmi les rectangles magiques,
les rectangles troués sont définis autrement puisque, en particulier,
la somme par rangée est unique. On pourrait définir d’autres
rectangles troués afin de poursuivre la recherche.
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