Accueil

Banque de problèmes récréatifs

Défis

Détente

Jeux de société

Quiz

Récréations cryptarithmiques

Récréations géométriques

Récréations logiques

Récréations magiques

Récréations numériques

Banque d'outils mathématiques

Aide-mémoire

Articles

Dictionnaire de mathématiques récréatives

Lexique de résolution de problèmes

Livres édités

Références

Contactez-nous


 Articles

Ceci est le 30e article publié par Récréomath


Rectangles magiques

Par Charles-É. Jean

 

De façon générale, un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et celle de chaque colonne doit aussi être unique, mais différente de celle des lignes. Un rectangle magique m × n qui contient les nombres de 1 à mn est dit normal.

 

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

 

Si la somme totale des nombres n’est pas divisible par m ou encore par n, on ne peut pas former un rectangle magique normal. Par ailleurs, si la somme totale est divisible par m et par n, cela ne signifie pas nécessairement qu’on puisse distribuer les nombres de façon à former une configuration magique.

 

Autre forme de rectangle magique

Un rectangle magique peut comporter des cases noires. On dit alors qu’il est troué ou à trous. Il s’agit alors de distribuer les nombres pour que la somme soit la même dans chaque rangée de cases adjacentes.

 

Sommaire

Dans cet article, nous allons étudier les rectangles magiques suivants :

1. Rectangles magiques d’ordre 2 × n où n = 3, 4, 5 et 6

2. Rectangles magiques d’ordre 3 × n où n = 4, 5 et 6

3. Rectangles magiques d’ordre 4 × n où n = 5 et 6

4. Rectangles magiques d’ordre 3 × 5 à trois trous

5. Rectangles magiques d’ordre 3 × 5 à quatre trous

 

 

1. Rectangles magiques d’ordre 2 × n

1.1 Un rectangle magique 2 × 3

La somme des nombres de 1 à 6 est 15. Or, 15 ÷ 2 = 7,5. Il n’existe pas de rectangle magique normal 2 × 3. Toutefois, on peut former un rectangle magique avec les nombres de 1 à 7 sauf 4. La somme sur chaque ligne doit être 12 et celle de chaque colonne 8.

 

Pour trouver une configuration, on écrit 1, 2, 3 sur la première ligne. On complète chaque colonne pour que la somme soit 8.

 

1

2

3

7

6

5

 

La différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 6, 4, 2. La somme est 12. On peut partager cette somme en deux groupes de 6 : 6 et 4 + 2 = 6. On recherche, par ligne, une somme de 12 en intervertissant les nombres d’un des deux groupes. Dans ce cas, on peut intervertir 1 et 7 pour former cette configuration magique.

 

7

2

3

1

6

5

 

1.2 Un rectangle magique 2 × 4

La somme des nombres de 1 à 8 est 36. La somme des lignes doit être 18 et celle des colonnes 9. On écrit 1, 2, 3, 4 sur la première ligne et on complète les colonnes pour que la somme soit 9.

 

1

2

3

4

8

7

6

5

 

La différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 7, 5, 3, 1. La somme est 16. On peut partager cette somme en deux groupes : 7 + 1 = 8 et 5 + 3 = 8. On intervertit les nombres d’un de ces deux groupes, soit 2 et 7, puis 3 et 6. On obtient cette configuration magique normale.

 

1

7

6

4

8

2

3

5

 

1.3 Un rectangle magique 2 × 5

La somme des nombres de 1 à 10 est 55. Comme 55 n’est pas divisible par 2, il n’existe pas de configuration magique normale de cet ordre.

 

La prochaine somme divisible par 2 et par 5 est 60. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 11, sauf 6. La somme sur chaque ligne doit être 30 et celle de chaque colonne 12. On écrit 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne et on complète les colonnes.

 

1

2

3

4

5

11

10

9

8

7

 

La différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 10, 8, 6, 4, 2. La somme des différences est 30. Il est impossible de partager cette somme en deux groupes de 15. Dans ce cas, on ne peut donc pas former une configuration magique.

 

La prochaine somme divisible par 2 et par 5 est 70. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 12, sauf 1 et 7. La somme sur chaque ligne doit être 35 et celle de chaque colonne 14. On écrit 2, 3, 4, 5, 6 sur la première ligne et on complète les colonnes pour que la somme soit 14.

 

2

3

4

5

6

12

11

10

9

8

 

La différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est successivement 10, 8, 6, 4, 2. La somme des différences est 30. Il est impossible de partager cette somme en deux groupes de 15. Dans ce cas, on ne peut pas former un rectangle magique.

 

On essaie de nouveau avec une somme de 70. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 13, sauf 6, 7 et 8. La somme sur chaque ligne doit encore être 35 et celle de chaque colonne encore 14. On écrit 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne et on complète les colonnes.

 

1

2

3

4

5

13

12

11

10

9

 

La différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est successivement 12, 10, 8, 6, 4. La somme des différences est 40. On peut partager cette somme en deux groupes de 20 : 12 + 8 = 20 et 10 + 6 + 4 = 20. On intervertit 1 et 13, puis 3 et 11. On obtient cette configuration magique.

 

13

2

11

4

5

1

12

3

10

9

 

1.4 Un rectangle magique 2 × 6

La somme des nombres de 1 à 12 est 78. La somme des lignes doit être 39 et celle des colonnes 13. On écrit 1, 2, 3, 4, 5, 6 sur la première ligne et on complète les colonnes pour que la somme soit 13.

 

1

2

3

4

5

6

12

11

10

9

8

7

 

La différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est successivement 11, 9, 7, 5, 3, 1. La somme des différences est 36. On peut partager cette somme en deux groupes : 11 + 7 = 18 et 9 + 5 + 3 + 1 = 18. On intervertit 1 et 12,  puis 3 et 10. On obtient cette configuration magique normale.

 

12

2

10

4

5

6

1

11

3

9

8

7

 

 

2. Rectangles magiques d’ordre 3 × n

2.1 Un rectangle magique 3 × 4

La somme des nombres de 1 à 12 est 78. Comme 78 n’est pas divisible par 4, il n’existe pas de configuration magique normale de cet ordre.

 

La prochaine somme divisible par 3 et par 4 est 84. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 13, sauf 7. La somme sur chaque ligne doit être 28 et celle de chaque colonne 21. On écrit 1, 2, 3, 4 sur la première ligne.  On complète les colonnes pour que leur somme soit 21 en ayant soin de placer 5, 6, 8, 9 sur la deuxième ligne, puis 10, 11, 12, 13 sur la troisième ligne.

 

1

2

3

4

8

9

5

6

12

10

13

11

 

La somme des différences, par colonne, entre les éléments de la première et de la deuxième ligne est 18. Il en est de même entre les éléments de la deuxième et de la troisième ligne. Les différences entre chaque élément de la première et de la troisième ligne sont successivement 11, 8, 10, 7. On peut faire : 11 + 7 = 8 + 10.

 

Les différences 11 et 7 étant dans un membre de l’égalité, on intervertit 1 et 12 (12 – 1 = 11), puis 4 et 11 (11 – 4 = 7). On obtient cette configuration magique.

 

12

2

3

11

8

9

5

6

1

10

13

4

 

2.2 Un rectangle 3 × 5

La somme des nombres de 1 à 15 est 120. La somme des lignes est 40 et celle des colonnes 24. Comme 120 est divisible par 3 et par 5, on suppose qu’il est possible de former une configuration magique.

 

On écrit 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne. On complète les colonnes en ayant soin de placer 6, 7, 8, 9, 10 sur la deuxième ligne, puis 11, 12, 13, 14, 15 sur la troisième ligne.

 

1

2

3

4

5

8

9

10

6

7

15

13

11

14

12

 

La somme des différences, par colonne, entre les éléments de la première et de la deuxième ligne est 25. Il en est de même entre les éléments de la deuxième et de la troisième ligne. Les différences entre chaque élément de la première et de la troisième ligne sont successivement 14, 11, 8, 10, 7. On peut partager la somme des différences en deux groupes : 14 + 11 = 8 + 10 + 7.

 

On intervertit 1 et 15 (15 – 1 = 14), puis 2 et 13 (13 – 2 = 11). On obtient cette configuration magique qui est normale.

 

15

13

3

4

5

8

9

10

6

7

1

2

11

14

12

 

2.3 Un rectangle 3 × 6

La somme des nombres de 1 à 18 est 171. Comme 171 n’est pas divisible par 6, il n’existe pas de configuration magique normale de cet ordre.

 

La prochaine somme divisible par 3 et par 6 est 174. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 19, sauf 16. La somme sur chaque ligne serait 58 et celle de chaque colonne 29.

 

On écrit 1, 2, 3, 4, 5, 6 sur la première ligne. On complète les colonnes en ayant soin de placer 7, 8, 9, 10, 11, 12 sur la deuxième ligne, puis 13, 14, 15, 17, 18, 19 sur la troisième ligne.

 

1

2

3

4

5

6

9

10

12

7

11

8

19

17

14

18

13

15

 

La somme des différences, par colonne, d’une ligne à l’autre est successivement 36 (lignes 1 et 2) et 39 (lignes 2 et 3). Comme les sommes sont différentes, on ne peut pas former de configuration magique selon cette méthode.

 

La prochaine somme divisible par 3 et par 6 est 180. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 19 sauf 10. La somme sur chaque ligne serait 60 et celle de chaque colonne 30.

 

On écrit les nombres de 1 à 6 sur la première ligne. On complète les colonnes avec les nombres de 7 à 13 sauf 10 sur la deuxième ligne et les nombres de 14 à 19 sur la troisième ligne.

 

1

2

3

4

5

6

12

9

13

11

7

8

17

19

14

15

18

16

 

La somme successive des différences d’une ligne à l’autre (lignes 1 et 2, puis lignes 2 et 3) est 39. Les différences entre chaque élément de la première et de la troisième ligne sont successivement 16, 17, 11, 11, 13, 10. On peut partager la somme des différences en deux groupes : 17 + 11 + 11 = 16 + 13 + 10.

 

On intervertit 2 et 19, 3 et 14, puis 4 et 15. On obtient cette configuration magique.

 

1

19

14

15

5

6

12

9

13

11

7

8

17

2

3

4

18

16

 

 

3. Rectangles magiques d’ordre 4 × n

3.1 Un rectangle magique 4 × 5

La somme des nombres de 1 à 20 est 210. La somme n’est pas divisible par 4. On ne peut pas former de configuration magique normale de cet ordre.

 

La prochaine somme divisible par 4 et par 5 est 220. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 21, sauf 11. La somme sur chaque ligne serait 55 et celle de chaque colonne 44.

 

On écrit 1, 2, 3, 4, 5 sur la première ligne. On complète les colonnes pour que la somme soit 44 en ayant soin de placer 6, 7, 8, 9, 10 sur la deuxième ligne, 12 13, 14, 15, 16 sur la troisième ligne, puis 17, 18, 19, 20, 21 sur la quatrième ligne.

 

1

2

3

4

5

9

10

7

8

6

15

14

13

12

16

19

18

21

20

17

 

La somme des différences des éléments de la première et de la deuxième ligne est 25, soit 8 + 8 + 4 + 4 + 1. Entre la deuxième et la troisième ligne, la somme des différences est 30. Entre la troisième et la quatrième ligne, la somme des différences est 25. Comme les sommes sont différentes, on ne peut pas former configuration magique avec cette disposition et selon cette méthode.

 

3.2 Un rectangle magique 4 × 6

La somme des nombres de 1 à 24 est 300. La somme des lignes est 75 et celle des colonnes est 50. Comme précédemment, on écrit les nombres dans la grille pour que chaque colonne ait la même somme.

 

1

2

3

4

5

6

10

11

12

8

9

7

18

17

16

15

14

13

21

20

19

23

22

24

 

Entre chaque ligne voisine, la somme des différences des éléments est 36. Entre la première et la quatrième ligne, les différences sont successivement 20, 18, 16, 19, 17, 18. On peut partager les différences en deux groupes : 20 + 18 + 16 = 19 + 17 + 18.

 

Entre la deuxième et la troisième ligne, les différences sont successivement 8, 6, 4, 7, 5, 6. On peut partager les différences en deux groupes : 8 + 6 + 4 = 7 + 5 + 6.

 

Dans la même colonne, on intervertit les éléments d’après les derniers résultats. On peut donc former cette configuration magique.

 

21

20

19

4

5

6

10

11

12

15

14

13

18

17

16

8

9

7

1

2

3

23

22

24

 

On note que, dans chaque colonne, les sommes de deux cases voisines sont 19 et 31.

 

 

4. Rectangles magiques d’ordre 3 × 5 à trois trous 

Le rectangle magique ci-après, appelé rectangle troué, est composé de 15 cases dont 12 sont libres. Il s’agit de placer les nombres de 1 à 12 pour que la somme soit la même dans chacune des six rangées de trois cases adjacentes : trois rangées horizontales et trois rangées verticales.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Six cases appartiennent à deux rangées : les cases marquées 2. Elles sont de degré 2. Les six autres appartiennent à seulement une rangée. Elles sont de degré 1. Voici l’illustration :

 

1

 

2

1

2

2

1

2

 

1

1

 

2

1

2

 

La somme des nombres de 1 à 12 est 78. Supposons qu’on dispose les éléments de 1 à 6 dans les cases de degré 2 et les éléments de 7 à 12 dans les cases de degré 1. On peut alors écrire : 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + (7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) = 99. C’est une somme indexée.

 

Comme il y a six rangées, on divise 99 par 6. Le quotient est 16,5. En conséquence, la plus petite somme probable par rangée est 17.

 

Supposons qu’on dispose les éléments de 1 à 6 dans les cases de degré 1 et les éléments de 7 à 12 dans les cases de degré 2. On peut alors écrire : 2(7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 135. C’est une somme indexée.

 

Comme il y a six rangées, on divise 135 par 6. Le quotient est 22,5. En conséquence, la plus grande somme probable par rangée est 22.

 

4.1 La somme par rangée est 17

Pour que la somme par rangée soit 17, il faut que la somme indexée soit 102. En effet, 17 × 6 = 102. Précédemment, la somme indexée trouvée a été de 99. Il y a donc une différence de 3. On peut permuter 4 et 7, 5 et 8 ou 6 et 9 d’un ensemble à l’autre pour obtenir 102.

 

Permutation de 4 et de 7

Les cases de degré 2 devront recevoir 1, 2, 3, 5, 6, 7. Pour les cases de degré 1, ce sera 4, 8, 9, 10, 11, 12. On peut écrire : 2(1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7) + (4 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) = 102.

 

Il n’y a pas de triplets dont la somme est 17 dans les éléments de degré 2. Donc, il n’y a pas de configuration dans ce cas.

 

Permutation de 5 et de 8

On peut écrire : 2(1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8) + (5 + 7 + 9 + 10 + 11 + 12) = 102.

 

Il y a un seul triplet (3, 6, 8) dont la somme est 17 dans les éléments de degré 2. On commence par placer ce triplet dans la deuxième colonne. Puis, on complète en ayant soin de respecter les degrés. On peut obtenir cette configuration.

 

9

 

3

12

2

1

10

6

 

11

7

 

8

5

4

 

Permutation de 6 et de 9

On peut écrire : 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 9) + (6 + 7 + 8 + 10 + 11 + 12) = 102.

 

Dans les éléments de degré 2, il y a un seul triplet (3, 5, 9) dont la somme est 17. Pour configurer la grille, on procède comme précédemment. On peut obtenir cette configuration.

 

7

 

3

10

4

2

6

9

 

12

8

 

5

11

1

 

4.2 La somme par rangée est 18

Pour que la somme par rangée soit 18, il faut que la somme indexée soit 108. En effet, 18 × 6 = 108. Une façon de répartir les nombres est : 2(1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9) + (2 + 5 + 8 + 10 + 11 + 12) = 108. On peut obtenir cette configuration.

 

2

 

3

8

7

4

5

9

 

10

12

 

6

11

1

 

4.3 La somme par rangée est 19

Pour que la somme par rangée soit 19, il faut que la somme indexée soit 114. Une façon de répartir les nombres est : 2(3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 11) + (1 + 2 + 8 + 9 + 10 + 12) = 114. On peut obtenir cette configuration.

 

1

 

3

9

7

6

2

11

 

8

12

 

5

10

4

 

4.4 La somme par rangée est 20

On prend une configuration de somme 19. De 13, on soustrait chacun des éléments. Les deux configurations sont dites complémentaires. À partir de la configuration précédente, on obtient :

 

12

 

10

4

6

7

11

2

 

5

1

 

8

3

9

 

4.5 La somme par rangée est 21, puis 22

À votre tour, de trouver un rectangle magique dont la somme par rangée est 21 ou 22.

 

 

5. Rectangles magiques d’ordre 3 × 5 à quatre trous

Le rectangle magique ci-après a 15 cases dont 11 sont libres. Il s’agit de placer les nombres de 1 à 11 pour que la somme soit la même dans chacune des cinq rangées de trois cases adjacentes : trois rangées horizontales et deux rangées verticales.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quatre cases appartiennent à deux rangées : les cases marquées 2. Elles sont de degré 2. Les sept autres appartiennent à une seule rangée. Elles sont de degré 1. Voici la répartition :

 

1

 

2

1

1

2

1

2

 

 

1

 

2

1

1

 

On suppose qu’on dispose 1, 2, 3 et 4 dans les cases de degré 2 et les autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire : 2(1 + 2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) = 76. C’est une somme indexée.

 

Comme il y a cinq rangées, on fait : 76 ÷ 5 = 15,2. La plus petite somme probable par rangée est donc 16.

 

On suppose qu’on place 8, 9, 10 et 11 dans les cases de degré 2 et les autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire : 2(8 + 9 + 10 + 11) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 104.

 

Comme il y a cinq rangées, on fait : 104 ÷ 5 = 20,8. La plus grande somme probable par rangée est donc 20.

 

Nous allons appliquer une stratégie différente des rectangles magiques à trois trous, expliquée précédemment.

 

5.1 La somme par rangée est 16

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On écrit a au milieu de la première colonne. La somme des éléments des cases de degré 2 est (16 + a). Comme la somme des 11 éléments est 66, la somme des éléments de degré 1 est (50 – a). On a : 2(16 + a) + (50 – a) = 82 + a. Comme on a cinq rangées, chacune ayant une somme de 16, on fait : 16 × 5 = 80. On peut écrire : 82 + a = 80. D’où, a = -2.

 

Il n’y a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est 16, car -2 n’appartient pas à la suite des nombres de 1 à 11. Toutefois, si on remplace a par 3, on peut obtenir cette configuration qui contient deux fois 3.

 

3

 

4

11

1

3

6

7

 

 

10

 

5

9

2

 

5.2 La somme par rangée est 17

On peut écrire :

2(17 + a) + (49 – a) = 83 + a

83 + a = 85

D’où, a = 2.

 

Voici une configuration possible lorsque la somme par rangée est 17 :

 

7

 

10

3

4

2

9

6

 

 

8

 

1

11

5

 

5.3 La somme par rangée est 18

On peut écrire :

2(18 + a) + (48 – a) = 84 + a

84 + a = 90

D’où, a = 6.

 

Voici une configuration possible lorsque la somme par rangée est 18 :

 

4

 

10

1

7

6

9

3

 

 

8

 

5

2

11

 

5.4 La somme par rangée est 19

On trouve un rectangle complémentaire quand, de 12, on soustrait des éléments d’une configuration. Comme chaque rangée contient des triplets, on multiplie 12 par 3 : ce qui donne 36. Pour trouver la somme par rangée dans le rectangle complémentaire, on soustrait 36 de 19. La différence est 17. Prenons le rectangle dont la somme par rangée est 17. De 12, soustrayons chacun des éléments. On obtient :

 

5

 

2

9

8

10

3

6

 

 

4

 

11

1

7

 

5.5 La somme par rangée est 20

Le rectangle complémentaire a une somme de 16 par rangée. Comme il n’y a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est 16, il n’y en a pas lorsque la somme est 20.

                                                   

Conclusion

Notre étude nous a permis de configurer plusieurs rectangles magiques dont certains sont normaux. On pourrait étudier les rectangles magiques d’ordre supérieur.

 

Parmi les rectangles magiques, les rectangles troués sont définis autrement puisque, en particulier, la somme par rangée est unique. On pourrait définir d’autres rectangles troués afin de poursuivre la recherche.