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Ceci est le 23e article publié par Récréomath.


Repérage sur un échiquier

Par Charles-É. Jean

 

L’échiquier est un tableau divisé en 64 cases carrées, alternativement claires et foncées, sur lequel on joue aux échecs. Ce tableau est dit d’ordre 8 car il contient huit cases horizontalement et huit cases verticalement. On peut considérer des tableaux plus petits ou plus grands. On parle alors d’échiquier réduit ou agrandi.

On peut aussi considérer des échiquiers rectangulaires. Un tel échiquier est d’ordre m ´ n s’il contient m cases horizontalement et n cases verticalement. Dans cet article, on pose que m est plus petit que n.

Un échiquier étant donné, on peut se demander combien on peut y faire coïncider de carrés ou de rectangles de tout ordre.


1. Nombre de carrés d’ordre n1 sur un échiquier carré d’ordre n

Problème. Combien peut-on compter de carrés d’ordre 3 sur un échiquier d’ordre 5 ?

Solution. Dans un carton, on découpe un carré dont la surface coïncide avec la grille 3 ´ 3 grisée ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On place le carton sur la surface grisée. Cela permet de compter un premier carré. On glisse le carton vers la droite jusqu’à la droite verticale suivante. Cela donne un deuxième carré. On le glisse à nouveau vers la droite jusqu’à la dernière droite verticale. Cela donne un troisième carré.

On replace le carton à gauche de telle manière qu’il recouvre les lignes 2, 3 et 4. En le glissant successivement vers la droite, on trouve trois autres carrés.

On replace le carré à gauche de telle manière qu’il recouvre les lignes 3, 4 et 5. En le glissant successivement vers la droite, on trouve trois autres carrés.

On a donc trois fois trois carrés, ce qui fait neuf carrés. On peut compter neuf carrés d’ordre 3 sur un échiquier d’ordre 5.


Une formule
Soit n l’ordre de l’échiquier et n1 l’ordre du carré mobile. À chaque mouvement horizontal, on trouve (n - n1 + 1) carrés. Par suite du déplacement vertical, on trouve aussi (n - n1 + 1) carrés. La formule est : (n - n1 + 1)2.


Un algorithme
Connaissant la valeur de n1 et de n, pour trouver le nombre de carrés, on procède ainsi.

1. On additionne 1 à n.

2. On soustrait n1.

3. On élève le résultat au carré.



Application

Problème. Combien peut-on compter de carrés d’ordre 5 sur un échiquier d’ordre 30 ?

Solution. On prend la formule (n - n1 + 1)2. On remplace n par 30 et n1 par 5. Le résultat est 676. On peut compter 676 carrés d’ordre 5 sur un échiquier d’ordre 30.

 

2. Nombre de carrés de tout ordre sur un échiquier carré d’ordre n

Problème. Combien peut-on compter de carrés de tout ordre sur un échiquier d’ordre 5 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution. On peut compter 25 carrés d’ordre 1, 16 d’ordre 2, 9 d’ordre 3, 4 d’ordre 4 et 1 d’ordre 5, pour un total de 55 carrés. On peut compter 55 carrés de tout ordre sur un échiquier d’ordre 5.


Une formule
On vérifie le nombre de carrés de tout ordre sur des échiquiers d’ordres 1 à 5.

Ordre

1

2

3

4

5

Carrés

1

5

14

30

55


On fait la différence successive du nombre de carrés.

1          5         14         30         55     à degré 3

      4         9           16        25           à degré 2

           5           7           9                  à degré 1

                 2            2                        à degré 0

L’expression algébrique sera du troisième degré. Elle est de la forme an3 + bn2 + cn + dn correspond à l’ordre de l’échiquier donné et où a, b, c et d sont des coefficients numériques.

Pour trouver cette formule, on a besoin des quatre premiers termes qui sont 1, 5, 14 et 30. On peut donc écrire les quatre équations suivantes où n est le rang du terme à partir de l’expression générale.

Si n = 1, on a : a + b + c + d = 1.

Si n = 2, on a : 8a + 4b + 2c + d = 5.

Si n = 3, on a : 27a + 9b + 3c + d = 14.

Si n = 4, on a : 64a + 16b + 4c + d = 30.

Ces quatre équations comportent quatre inconnues. En résolvant les équations, on trouve : a = 1/3, b = 1/2, c = 1/6 et d = 0. On introduit ces valeurs dans l’expression générale. On obtient alors : n3/3 + n2/2 + n/6, soit (2n3 + 3n2 + n)/6. On décompose l’expression en facteurs. On obtient la formule : n(n + 1)(2n + 1)/6.


Un algorithme
Connaissant la valeur n, pour trouver le nombre de carrés, on procède ainsi.

1. On double le cube de n.

2. On additionne le triple du carré de n.

3. On additionne n.

4. On divise par 6.


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de carrés de tout ordre sur un échiquier d’ordre 30 ?

Solution. On prend la formule trouvée précédemment : n(n + 1)(2n + 1)/6. On remplace n par 30. Le résultat est 9455. On peut compter 9455 carrés de tout ordre sur un échiquier d’ordre 30.

 

3. Nombre de carrés d’ordre n1 sur un échiquier rectangulaire d’ordre m ´ n

Problème. Combien peut-on compter de carrés d’ordre 2 sur un échiquier rectangulaire 4 ´ 5 ?

Solution. On découpe dans un carton un carré dont la surface coïncide avec la grille 2 ´ 2 grisée ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On place le carton sur la surface grisée et on le déplace successivement vers la droite. Cela donne quatre carrés.

On replace le carré à gauche de telle manière qu’il recouvre les lignes 2 et 3. En le glissant successivement vers la droite, on trouve quatre autres carrés.

On replace le carré à gauche de telle manière qu’il recouvre les lignes 3 et 4. En le glissant successivement vers la droite, on trouve quatre autres carrés.

On a donc trois fois quatre carrés, ce qui fait 12 carrés. On peut compter 12 carrés d’ordre 2 sur un échiquier rectangulaire 4 ´ 5.


Une formule
Soit m ´ n l’ordre de l’échiquier et n1 l’ordre du carré mobile. Par suite des déplacements horizontaux, on trouve (m - n1 + 1) carrés. Par suite des déplacements verticaux, on trouve (n - n1 + 1) carrés. La formule est : (m - n1 + 1)(n - n1 + 1).


Un algorithme
Connaissant la valeur de n1, de m et de n, pour trouver le nombre de carrés, on procède ainsi.

1. On additionne 1 à m. On y soustrait n1.

2. On additionne 1 à n. On y soustrait n1.

3. On multiplie des deux résultats précédents.


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de carrés d’ordre 5 sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40 ?

Solution. On prend la formule (m - n1 + 1)(n - n1 + 1). On remplace n1 par 5, m par 30 et n par 40. Le résultat est 936. On peut compter 936 carrés d’ordre 5 sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40.


4.
Nombre de carrés de tout ordre sur un échiquier rectangulaire m ´ n

Problème. Combien peut-on compter de carrés de tout ordre sur un échiquier 5 ´ 7 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution. On se sert de la formule trouvée précédemment pour établir le tableau suivant. La première ligne du tableau indique l’ordre n des carrés, la deuxième ligne le nombre de carrés de cet ordre, la troisième le produit de deux nombres qui correspond au nombre de carrés.

n

1

2

3

4

5

Total

Carrés

35

24

15

8

3

85

Produit

5 ´ 7

4 ´ 6

3 ´ 5

2 ´ 4

1 ´ 3

 

Il y a 85 carrés de tout ordre sur un échiquier 5 ´ 7. On remarque que le multiplicateur du produit diminue de 1 d’une colonne à l’autre et que le multiplicande diminue aussi de 1.

Si on considère un échiquier rectangulaire m ´ n, on aura :

A : mn carrés d’ordre 1

B : (m - 1)(n - 1) ou (mn - m - n + 1) carrés d’ordre 2

C : (m - 2)(n - 2) ou (mn - 2m - 2n + 4) carrés d’ordre 3

D : (m - 3)(n - 3) ou (mn - 3m - 3n + 9) carrés d’ordre 4

E : (m - 4)(n - 4) ou (mn - 4m - 4n + 16) carrés d’ordre 5


On additionne successivement les résultats précédents.

A : Le nombre de carrés est mn.

A + B : Le nombre de carrés est 2mn - m - n + 1 ou 2mn - (m + n) + 1.

A + B + C : Le nombre de carrés est 3mn - 3m - 3n + 5 ou 3mn - 3(m + n) + 5.

A + B + C + D : Le nombre de carrés est 4mn - 6m - 6n + 14 ou 4mn - 6(m + n) + 14.

A + B + C + D + E : Le nombre de carrés est 5mn - 10m - 10n + 30 ou 5mn - 10(m + n) + 30.


Une formule
D’après les sommes précédentes, la formule générale est t1mn - t2(m + n) + t3t1, t2 et t3 sont des coefficients.

Le coefficient de mn, soit t1, est égal à m. Le coefficient de (m + n), soit t2, appartient à la suite 0, 1, 3, 6, 10  dont le terme général est m(m - 1)/2. Le terme indépendant, soit t3, appartient à la suite 0, 1, 5, 14, 30 dont le terme général est m(m - 1)(2m - 1)/6.

Si on insère les trois parties dans la formule générale, on obtient : m2n - m(m - 1)(m + n)/2 + m(m - 1)(2m - 1)/6. Une fois l’expression décomposée en facteurs, la formule est : m(m + 1)(- m + 3n + 1)/6.


Un algorithme
Connaissant la valeur de m et de n, pour trouver le nombre de carrés, on procède ainsi.

1. On multiplie n par 3.

2. On soustrait m.

3. On additionne 1.

4. On multiplie par m.

5. On multiplie par (m + 1).

6. On divise par 6.


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de carrés de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40 ?

Solution. On prend la formule m(m + 1)(- m + 3n + 1)/6. On remplace m par 30 et n par 40. Le résultat est 14 105. On peut compter 14 105 carrés de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40.

 

5. Nombre de rectangles m1 ´ n1, en excluant les carrés, sur un échiquier carré d’ordre n

Problème. Combien peut-on compter de rectangles 2 ´ 3 sur un échiquier d’ordre 5 ?

Solution. On trouve le nombre de rectangles par glissement horizontal. Dans un carton, on découpe un rectangle dont la surface coïncide avec la grille 2 ´ 3 ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On place le rectangle sur cette surface. On le glisse successivement vers la droite. On obtient trois rectangles. On replace le rectangle à gauche de telle manière qu’il recouvre successivement les lignes 2 et 3, les lignes 3 et 4, puis les lignes 4 et 5. Dans chaque cas, on a trois rectangles. On a donc quatre fois trois rectangles. On compte horizontalement 12 rectangles 2 ´ 3.

On trouve le nombre de rectangles par glissement vertical. On place le rectangle de carton sur la surface qui coïncide avec la grille 2 ´ 3 ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On le glisse successivement vers le bas. On obtient trois rectangles. On replace le rectangle à droite de telle manière qu’il recouvre successivement les colonnes 2 et 3, les colonnes 3 et 4, puis les colonnes 4 et 5. Dans chaque cas, on a trois rectangles. On a donc quatre fois trois rectangles. On compte verticalement 12 rectangles 2 ´ 3.

Au total, on compte 24 rectangles 2 ´ 3.


Une formule
Soit n l’ordre de l’échiquier, m1 et n1 l’ordre du rectangle mobile. En positions horizontales, on trouve (n - m1 + 1)(n - n1 + 1) rectangles. En positions verticales, on trouve (n - n1 + 1)(n - m1 + 1) rectangles. La formule est : 2(n - m1 + 1)(n - n1 + 1).


Un algorithme
Connaissant la valeur de m1, de n1 et de n, pour trouver le nombre de rectangles, on procède ainsi.

1. On additionne 1 à n. On y soustrait m1.

2. On additionne 1 à n. On y soustrait n1.

3. On multiplie des deux résultats précédents.

4. On multiplie par 2.


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de rectangles 3 ´ 4 sur un échiquier d’ordre 30 ?

Solution. On prend la formule 2(n - m1 + 1)(n - n1 + 1). On remplace n par 30, m1 par 3 et n1 par 4. Le résultat est 1512. On peut compter 1512 rectangles 3 ´ 4 sur un échiquier d’ordre 30.

 

6. Nombre de rectangles, en excluant les carrés, de tout ordre sur un échiquier carré d’ordre n

Problème. Combien peut-on compter de rectangles de tout ordre sur un échiquier d’ordre 4 ?

Solution. On se sert de la formule trouvée au point précédent pour trouver le nombre de rectangles de tout ordre. On compte :

24 rectangles 1 ´ 2

16 rectangles 1 ´ 3

8 rectangles 1 ´ 4

12 rectangles 2 ´ 3

6 rectangles 2 ´ 4

4 rectangles 3 ´ 4

Au total, on compte 70 rectangles.


Une formule
On établit le tableau suivant pour chaque carré d’ordres 1 à 6.

Ordre du carré

1

2

3

4

5

6

Rectangles

0

4

22

70

170

350

La suite est 0, 4, 22, 70, 170, 350, ... On fait la différence successive des termes.

0          4         22         70           170          350     à degré 4

      4         18        48         100           180             à degré 3

           14        30         52           80                       à degré 2

                  16       22          28                               à degré 1

                         6           6                                      à degré 0

L’expression algébrique sera du quatrième degré. Elle est de la forme an4 + bn3 + cn2 + dn + en correspond à l’ordre du carré et où a, b, c, d et e sont des coefficients numériques.

Pour trouver cette formule, on a besoin des cinq premiers termes. On peut donc écrire les cinq équations suivantes.

Si n = 1, on a : a + b + c + d + e = 0.

Si n = 2, on a : 16a + 8b + 4c + 2d + e = 4.

Si n = 3, on a : 81a + 27b + 9c + 3d + e = 22.

Si n = 4, on a : 256a + 64b + 16c + 4d + e = 70.

Si n = 5, on a : 625a + 125b + 25c + 5d + e = 170.

Ces cinq équations comportent cinq inconnues. En résolvant les équations, on trouve : a = 1/4, b = 1/6, c = -1/4, d = -1/6 et e = 0. On introduit ces valeurs dans l’expression générale. On obtient alors : n4/4 + n3/6 - n2/4 - n/6 ou encore (3n4 + 2n3 - 3n2 - 2n)/12. Une fois décomposée en facteurs, la formule est : n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)/12.


Un algorithme
Connaissant la valeur de n, pour trouver le nombre de rectangles, on procède ainsi.

1. On soustrait n au cube de n.

2. On triple n et on additionne 2.

3. On multiple les deux premiers résultats.

4. On divise par 12


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de rectangles de tout ordre sur un échiquier d’ordre 30  ?

Solution. On prend la formule n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)/12. On remplace n par 30. Le résultat est 206 770. On peut compter 206 770 rectangles de tout ordre sur un échiquier d’ordre 30.

 

7. Nombre de rectangles m1 ´ n1, en excluant les carrés, sur un échiquier rectangulaire m ´ n

Problème. Combien peut-on compter de rectangles 2 ´ 3 sur un échiquier rectangulaire 5 ´ 8 ?

Solution. On compte six fois quatre rectangles 2 ´ 3 horizontalement et sept fois trois rectangles 2 ´ 3 verticalement. On fait (6 ´ 4) + (7 ´ 3) = 45.


Une formule
Soit un échiquier rectangulaire m ´ n. Horizontalement le nombre de rectangles m1 ´ n1 est (m - m1 + 1)(n - n1 + 1). Verticalement ce nombre est (m - n1 + 1)(n - m1 + 1). La formule est : (m - m1 + 1)(n - n1 + 1) + (m - n1 + 1)(n - m1 + 1).


Un algorithme
Connaissant la valeur de m1, de n1, de m et de n, pour trouver le nombre de rectangles, on procède ainsi.

1. On additionne 1 à m. On y soustrait m1.

2. On additionne 1 à n. On y soustrait n1.

3. On multiplie les deux résultats précédents.

3. On additionne 1 à m. On y soustrait n1.

4. On additionne 1 à n. On y soustrait m1.

5. On multiplie les deux résultats précédents.

6. On additionne les deux produits.


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de rectangles 3 ´ 5 sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40 ?

Solution. On prend la formule (m - m1 + 1)(n - n1 + 1) + (m - n1 + 1)(n - m1 + 1).On remplace m par 30, n par 40, m1 par 3 et n1 par 5. Le résultat est 1996. On peut compter 1996 rectangles 3 ´ 5 sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40.

 

8. Nombre de carrés et de rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire m ´ n

Problème. Combien peut-on compter de carrés et de rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 3 ´ 7 ?

Solution. Dans cet échiquier, m = 3 et n = 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On calcule le nombre de carrés en appliquant la formule trouvée au point 4 : m(m + 1)(- m + 3n + 1)/6. Ce nombre est 38.

On trouve le nombre de rectangles horizontalement. On établit le tableau ci-après. Dans la première colonne, on peut lire une coordonnée du rectangle et sur la première ligne l’autre coordonnée. Par exemple, il existe 10 rectangles 2 ´ 3.

 

2

3

4

5

6

7

Total

1

18

15

12

9

6

3

63

2

 

10

8

6

4

2

30

3

 

 

4

3

2

1

10

 

 

 

 

 

 

 

103

En tout, horizontalement on peut compter 103 rectangles.

On trouve le nombre de rectangles verticalement

 

2

3

Total

1

14

7

21

2

 

6

6

 

 

 

27

On peut compter 27 rectangles.

Bref, on a trouvé 38 carrés et 130 rectangles. Au total, on peut compter 168 carrés et rectangles.


Une formule
On fait la recherche sur deux autres échiquiers rectangulaires.

Sur un échiquier rectangulaire 4 ´ 5, on trouve 40 carrés et 110 rectangles. Au total, on compte 150 carrés et rectangles.

Sur un échiquier rectangulaire 5 ´ 6, on trouve 70 carrés et 245 rectangles. Au total, on compte 315 carrés et rectangles.

On fait maintenant l’analyse des résultats des trois échiquiers.

Sur un échiquier 3 ´ 7, on a 168 carrés et rectangles. On divise 168 par 3 puis par 7. On obtient 8. On divise 8 par 4 (3 + 1), puis par 8 (7 + 1). On obtient 0,25.

Sur un échiquier 4 ´ 5, on a 150 carrés et rectangles. On divise 150 par 4 puis par 5. On obtient 7,5. On divise 7,5 par 5 (4 + 1), puis par 6 (5 + 1). On obtient 0,25.

Sur un échiquier 5 ´ 6, on a 315 carrés et rectangles. On divise 315 par 5 puis par 6. On obtient 10,5. On divise 10,5 par 6 (5 + 1), puis par 7 (6 + 1). On obtient 0,25.

Pour arriver à 1, on multiplie 0,25 par 4. De cette régularité, on induit que, pour trouver le nombre de carrés et de rectangles sur un échiquier rectangulaire, on fait le produit de m, de n, de (m + 1) et de (n + 1) et on divise le résultat par 4. Bref, le nombre de carrés et de rectangles sur un échiquier rectangulaire de m ´ n est : mn(m + 1)(n + 1)/4.


Un algorithme
Voici l’algorithme correspondant :

1. On multiplie m par n.

2. On multiplie par (m + 1).

3. On multiplie par (n + 1).

4. On divise par 4.


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de carrés et de rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40 ?

Solution. On prend la formule mn(m + 1)(n + 1)/4. On remplace m par 30 et n par 40. Le résultat est 381 300. On peut compter 381 300 carrés et rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40.



9. Nombre de rectangles de tout ordre, en excluant les carrés, sur un échiquier rectangulaire m ´ n

Problème. Combien peut-on compter de rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 4 ´ 5 ?

Solution. On peut compter 65 rectangles horizontalement. Voici les détails :

Ordre

1 ´ 2

1 ´ 3

1 ´ 4

1 ´ 5

2 ´ 3

2 ´ 4

2 ´ 5

3 ´ 4

3 ´ 5

4 ´ 5

Rectangles

16

12

8

4

9

6

3

4

2

1

On peut compter 45 rectangles verticalement. Voici les détails :

Ordre

1 ´ 2

1 ´ 3

1 ´ 4

2 ´ 3

2 ´ 4

3 ´ 4

Rectangles

15

10

5

8

4

3

Au total, on compte 110 rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 4 ´ 5.


Une formule
On se sert de deux formules. On prend celle qui donne le nombre de carrés et de rectangles sur un échiquier rectangulaire m ´ n : mn(m + 1)(n + 1)/4. On prend celle qui donne le nombre de carrés de tout ordre sur un échiquier rectangulaire m ´ n : m(m + 1)(- m + 3n + 1)/6. On soustrait les deux formules. On obtient : m(m + 1)[2(m - 1) + 3n(n - 1)]/12.


Un algorithme

Voici l’algorithme correspondant :

1. On multiplie le triple de n par (n - 1).

2. On y additionne le double de (m - 1).

3. On multiplie par m.

4. On multiplie par (m + 1).

5. On divise par 12.


Une application
Problème
. Combien peut-on compter de rectangles de tout ordre, en excluant les carrés, sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40 ?

Solution. On prend la formule m(m + 1)[2(m - 1) + 3n(n - 1)]/12. On remplace m par 30 et n par 40. Le résultat est 367 195. On peut compter 367 195 rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire 30 ´ 40.

 

Conclusion
Notre recherche nous a permis d’établir neuf formules qui permettent de repérer le nombre de carrés et de rectangles sur un échiquier conventionnel, de même que sur tout échiquier réduit ou agrandi. Les voici :

1. Nombre de carrés d’ordre n1 sur un échiquier carré d’ordre : (n - n1 + 1)2

2. Nombre de carrés de tout ordre sur un échiquier carré d’ordre : n(n + 1)(2n + 1)/6

3. Nombre de carrés d’ordre n1 sur un échiquier rectangulaire m ´ n : (m - n1 + 1)(n - n1 + 1)

4. Nombre de carrés de tout ordre sur un échiquier rectangulaire m ´ n : m(m + 1)(- m + 3n + 1)/6

5. Nombre de rectangles m1 ´ n1, en excluant les carrés, sur un échiquier carré d’ordre n : 2(n - m1 + 1)(n - n1 + 1)

6. Nombre de rectangles, en excluant les carrés, de tout ordre sur un échiquier carré d’ordre n : n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)/12

7. Nombre de rectangles m1 ´ n1, en excluant les carrés, sur un échiquier rectangulaire m ´ n : (m - m1 + 1)(n - n1 + 1) + (m - n1 + 1)(n - m1 + 1)

8. Nombre de carrés et de rectangles de tout ordre sur un échiquier rectangulaire m ´ n : mn(m + 1)(n + 1)/4

9. Nombre de rectangles de tout ordre, en excluant les carrés, sur un échiquier rectangulaire m ´ n : m(m + 1)[2(m - 1) + 3n(n - 1)]/12.