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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Fibonacci ou Leonardo dit Léonard de Pise (v. 1175 - v. 1240)

° Nombre de Fibonacci. Entier naturel qui appartient à une suite dont les deux premiers termes sont 1 et dont chacun des termes successifs est égal à la somme des deux précédents. Les 29 plus petits nombres de Fibonacci sont :

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

 

1

1

2

3

5

8

13

21

34

1

55

89

144

233

377

610

987

1597

2584

4181

2

6

765

10

946

17 711

28 657

46 368

75 025

121 393

196 418

317 811

514 229

Si l’on dispose les éléments du carré arithmétique de Fermat comme dans le tableau ci-dessous et si l’on additionne les éléments de chaque colonne, on obtient les nombres de Fibonacci.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

   

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

       

1

3

6

10

15

21

28

36

           

1

4

10

20

35

56

               

1

5

15

35

                   

1

6

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

À l'exception de 1, un seul nombre de Fibonacci, soit 144, est carré : c'est le terme de rang 12. Un seul nombre est cube, soit 8. 

Voici huit propriétés des nombres de Fibonacci :

1. La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 60 chiffres.

2. Chaque nombre de rang 4n est un multiple de 3.

3. Le carré d'un nombre de Fibonacci diffère d'une unité du produit des deux nombres qui l'entourent.

4. La différence des carrés de deux nombres de rangs n et (n + 1) est égale au produit des deux nombres de rangs (n - 1) et (n + 2).

5. La somme des carrés de deux nombres de rangs n et (n + 1) est égale à un nombre de Fibonacci de rang (2n + 1).

6. Tout nombre de rang mn est divisible par le nombre de rang m. Par exemple, le nombre de rang 7n est divisible par 13.

7. À l'exception de 3, tout nombre de Fibonacci dont le rang est un nombre premier est lui-même premier.

8. La somme de 10 termes consécutifs est égale à 11 fois le septième terme.

Connaissant un nombre a de Fibonacci, on peut trouver le précédent et le suivant en remplaçant a par sa valeur dans l’équation b2 - ab - a2 = ±1. Soit a = 8, l’équation devient b2 - 8b - 64 = ±1. On tire les équations b2 - 8b - 63 = 0 et b2 - 8b - 65 = 0. Seule la deuxième équation a des racines entières qui sont 5 et 13. Le précédent de 8 est 5 et le suivant est 13. 

Si on écrit neuf nombres consécutifs de Fibonacci dans le même ordre que dans un carré magique d’ordre 3, la somme du produit des nombres des lignes est égale à la somme du produit des nombres des colonnes. À gauche, on a un carré magique normal d’ordre 3 et à droite la disposition des nombres de Fibonacci.

8

1

6

 

55

2

21

3

5

7

 

5

13

34

4

9

2

 

8

89

3

Les produits pour les lignes sont 2310, 2210 et 2136. Pour les colonnes, on a 2200, 2314, 2142. La somme des produits est 6656 autant pour les lignes que pour les colonnes.

La différence des produits de la première ligne et de la première colonne est égale à deux fois le terme qui est à l’intersection.
 
La différence des produits de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est égale à huit fois le terme qui est à l’intersection.
 
La différence des produits de la troisième ligne et de la troisième colonne est égale à deux fois le terme qui est à l’intersection. 

Les nombres de Fibonacci forment le modèle mathématique de certains phénomènes naturels. La suite des rapports de deux nombres successifs tend vers le nombre d'or. Une littérature abondante existe sur les nombres de Fibonacci. On peut représenter les nombres de Fibonacci par un rectangle qui se rapproche du rectangle d'or.

© Charles-É. Jean

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