|
Fibonacci ou
Leonardo dit Léonard de Pise (v. 1175 - v. 1240)
° Nombre de Fibonacci. –
Entier naturel qui appartient à une suite dont
les deux premiers termes sont 1 et dont chacun des termes successifs est égal
à la somme des deux précédents. Les 29 plus petits nombres de Fibonacci
sont :
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
|
1 |
55 |
89 |
144 |
233 |
377 |
610 |
987 |
1597 |
2584 |
4181 |
|
2 |
6
765 |
10
946 |
17
711 |
28
657 |
46
368 |
75
025 |
121 393 |
196 418 |
317 811 |
514 229 |
Si l’on dispose les éléments du carré arithmétique de Fermat
comme dans le tableau ci-dessous et si l’on additionne les éléments de
chaque colonne, on obtient les nombres de Fibonacci.
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
10 |
20 |
35 |
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
15 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
À l'exception de 1, un seul nombre de Fibonacci, soit 144,
est carré : c'est le terme de rang 12. Un seul nombre est cube, soit 8.
Voici
huit propriétés des nombres de Fibonacci :
1. La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 60 chiffres.
2.
Chaque nombre de rang 4n est un multiple de 3.
3.
Le carré d'un nombre de Fibonacci diffère d'une unité du produit des deux
nombres qui l'entourent.
4.
La différence des carrés de deux nombres de rangs n et (n + 1)
est égale au produit des deux nombres de rangs (n - 1) et (n +
2).
5.
La somme des carrés de deux nombres de rangs n et (n + 1) est
égale à un nombre de Fibonacci de rang (2n + 1).
6.
Tout nombre de rang mn est divisible par le nombre de rang m. Par
exemple, le nombre de rang 7n est divisible par 13.
7.
À l'exception de 3, tout nombre de Fibonacci dont le rang est un nombre premier
est lui-même premier.
8.
La somme de 10 termes consécutifs est égale à 11 fois le septième terme.
Connaissant un nombre a de Fibonacci, on peut trouver
le précédent et le suivant en remplaçant a par sa valeur dans l’équation
b2 - ab - a2 = ±1. Soit a =
8, l’équation devient b2 - 8b - 64 = ±1. On tire les
équations b2 - 8b - 63 = 0 et b2 - 8b
- 65 = 0. Seule la deuxième équation a des racines entières qui sont 5 et 13.
Le précédent de 8 est 5 et le suivant est 13.
Si on écrit neuf nombres
consécutifs de Fibonacci dans le même ordre que dans un carré magique d’ordre
3, la somme du produit des nombres des lignes est égale à la somme du produit des
nombres des colonnes. À gauche, on a un carré magique normal d’ordre 3
et à droite la disposition des nombres de Fibonacci.
|
8 |
1 |
6 |
|
55 |
2 |
21 |
|
3 |
5 |
7 |
|
5 |
13 |
34 |
|
4 |
9 |
2 |
|
8 |
89 |
3 |
Les produits pour les lignes sont 2310, 2210 et 2136. Pour
les colonnes, on a 2200, 2314, 2142. La somme des produits est 6656 autant
pour les lignes que pour les colonnes.
La différence des produits de la première ligne et de la première
colonne est égale à deux fois le terme qui est à l’intersection.
La
différence des produits de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est
égale à huit fois le terme qui est à l’intersection.
La différence des
produits de la troisième ligne et de la troisième colonne est égale à deux
fois le terme qui est à l’intersection.
Les nombres de Fibonacci forment le
modèle mathématique de certains phénomènes naturels. La suite des rapports
de deux nombres successifs tend vers le nombre d'or. Une littérature abondante
existe sur les nombres de Fibonacci. On peut représenter les nombres de
Fibonacci par un rectangle qui se rapproche du rectangle d'or.
© Charles-É. Jean
Index
: F
|
