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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Kirkman, Thomas P. (1806-1895)

° Demoiselles de Kirkman. Récréation proposée par le mathématicien anglais Kirkman en 1847 : Quinze demoiselles sortent chaque jour en promenade en cinq groupes de trois. Comment doivent-elles être disposées pour que l'une d'elles se trouve successivement une seule fois en compagnie de chacune des autres ? 

Comme chacune des filles doit se trouver avec deux de ses compagnes, il ne peut y avoir plus de sept promenades. Il s'agit alors de trouver les combinaisons possibles pendant sept jours. 

Voici une solution dans laquelle chaque demoiselle est représentée par un numéro de 1 à 15 :

Jour 1

(1, 6, 11)

(2, 7, 12)

(3, 8, 13)

(4, 9, 14)

(5, 10, 15)

Jour 2

(1, 2, 5)

(3, 4, 7)

(8, 9, 12)

(10, 11, 14)

(13, 15, 6)

Jour 3

(2, 3, 6)

(4, 5, 8)

(9, 10, 13)

(11, 12, 15)

(14, 1, 7)

Jour 4

(5, 6, 9)

(7, 8, 11)

(12, 13, 1)

(14, 15, 3)

(2, 4, 10)

Jour 5

(3, 5, 11)

(4, 6, 12)

(7, 9, 15)

(8, 10, 1)

(13, 14, 2)

Jour 6

(5, 7, 13)

(6, 8, 14)

(9, 11, 2)

(10, 12, 3)

(15 ,1, 4)

Jour 7

(11, 13, 4)

(12, 14, 5)

(15, 2, 8)

(1, 3, 9)

(6, 7, 10)

La solution de ce problème a inspiré Bose, Parker et Shrikhande dans leur démarche pour montrer qu'il existait des carrés gréco-latins d'ordre (4k + 2) où k est un entier naturel supérieur à l'unité. Cette démonstration infirmait la conjecture d'Euler. 

Le problème des demoiselles de Kirkman appartient à la classe des récréations combinatoires

© Charles-É. Jean

Index : J-K