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Pratique
° Nombre pratique. –
Un entier naturel est pratique aux deux conditions suivantes :
Il peut être représenté comme la somme de
certains de ses diviseurs distincts d’au moins une façon.
Tous les entiers qui lui sont inférieurs
correspondent à un de ses diviseurs ou sont la somme de certains de ses
diviseurs distincts d’au moins une façon.
Par exemple, 12 est un nombre pratique. Ses diviseurs sont 1,
2, 3, 4, 6, 12. Il peut être représenté notamment par 2 + 4 + 6. Aussi, 1 =
1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 6, 7 = 1 + 6, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 =
4 + 6, 11 = 4 + 6 + 1. Le tableau suivant donne les 49 plus petits nombres
pratiques.
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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0 |
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1 |
2 |
4 |
6 |
8 |
12 |
16 |
18 |
20 |
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1 |
24 |
28 |
30 |
32 |
36 |
40 |
42 |
48 |
54 |
56 |
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2 |
60 |
64 |
66 |
72 |
78 |
80 |
84 |
88 |
90 |
96 |
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3 |
100 |
104 |
108 |
112 |
120 |
126 |
128 |
132 |
140 |
144 |
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4 |
150 |
156 |
160 |
162 |
168 |
176 |
180 |
192 |
196 |
198 |
Voici quelques propriétés des nombres pratiques :
Les nombres premiers, sauf 2, ne sont pas pratiques, car leurs seuls diviseurs
sont 1 et le premier.
Tout double d’un nombre premier à partir de 10 n’est pas pratique, car 4 ne
peut pas être représenté.
Tout quadruple d’un nombre premier à partir de 44 n’est pas pratique, car
au moins 8 ne peut pas être représenté.
Tout octuple d’un nombre premier à partir de 136 n’est pas pratique, car au
moins 16 ne peut pas être représenté.
Les nombres impairs sauf 1 ne sont pas pratiques car 2 ne peut pas être
représenté.
Toutes les puissances de 2 sont des nombres pratiques. Par exemple, les
diviseurs de 32 sont 1, 2, 4, 8, 16 et 32.
Le produit de deux nombres pratiques est un nombre pratique.
© Charles-É. Jean
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