Chapitre 5. Cubes et autres puissances

5.01 De cubes à triangulaires

Problème

Imaginez certaines relations entre les cubes, les carrés et les triangulaires. Illustrez les propositions.

Démarche

Voici sept propositions :

Proposition 1

Tout cube de rang n est la différence du carré de deux triangulaires de rangs n et (n – 1).

Illustration

Soit n = 6, le cube de 6, soit 216, est égal à la différence du carré du triangulaire de rang 6 et celui de rang 5. Cela se traduit ainsi :

6³ = (6^∆)² – (5^∆)²

6³ = 21² – 15² = 216

On peut écrire :

Notons que la différence des bases des carrés est égale à la base du cube.

Proposition 2

La somme de n cubes successifs dont la base du plus petit est 1 est égale au carré du triangulaire de rang n.

Illustration

Soit n = 8. On a les huit premiers cubes. Leur somme est le carré du triangulaire de rang 8. Cela se traduit ainsi :

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ = (8 )² = 36²

On peut écrire :

Proposition 3

La somme de deux cubes de rangs n et (n + 1) est égale à la différence de deux carrés dont la base du plus grand est le triangulaire de rang (n + 1) et celle du plus petit est le triangulaire de rang (n – 1).

Illustration 

Soit n = 9. On a le cube de 9 et celui de 10. La somme de ces deux cubes est égale à la différence du carré du triangulaire de rang 10 et du carré du triangulaire de rang 8. Cela se traduit ainsi :

9³ + 10³ = (10^∆)² – (8^∆)²

9³ + 10³ = 55² – 36² = 1729

On peut écrire :

Proposition 4

La différence de deux cubes de rangs n et (n – 1) est égale à la somme du triangulaire de rang 2(n – 1) et du carré de rang n.

Illustration

Soit n = 6. On a le cube de 6 et de 5. La différence de ces deux cubes est égale à la somme du triangulaire de rang 10 et du carré de 6. Cela se traduit ainsi :

6³ – 5³ = 10  + 6²

On peut écrire :

Proposition 5

La différence de deux cubes de rangs n et (n – 1) est égale à la somme des trois triangulaires de rangs (n – 1), n et (2n – 2).

Illustration

Soit n = 6. On a le cube de 6 et de 5. La différence de ces deux cubes est égale à la somme des triangulaires de rangs 5, 6 et 10. Cela se traduit ainsi :

6³ – 5³ = 5  + 6  + 10

On peut écrire :

Proposition 6

La différence de deux cubes de rangs n et (n – 1) est égale à la somme du triangulaire de rang (2n – 1) et du carré de rang (n – 1).

Illustration

Soit n = 6. On a le cube de 6 et de 5. La différence de ces deux cubes est égale à la somme du triangulaire de rang 11 et du carré de 5. Cela se traduit ainsi :

6³ – 5³ = 11  + 5²

On peut écrire :

Proposition 7

La différence de deux carrés de rangs n et (n – 1) est égale à la différence de deux triangulaires de rang (2n – 1) et de rang 2(n – 1).

Illustration

Soit n = 6. On a le carré de 6 et de 5. La différence des deux carrés est égale à différence des triangulaires de rangs 11 et 10. Cela se traduit ainsi :

6² – 5² = 11   – 10  

On peut écrire :

Ces propositions peuvent être combinées pour en donner de nouvelles.

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5.02 Cubes et symétrie

Problème 1.

Trouvez des égalités de huit cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre cubes.

Démarche

Cas 1. On prend ce carré magique. La somme des cubes des éléments de la première ligne est égale à la somme des cubes de la quatrième ligne.

On peut écrire :

2³ + 8³ + 9³ + 15³ = 3³ + 5³ + 12³ + 14³ = 4624.

Il n’y a pas de règle fixe pour trouver de telles égalités. Toutefois, les éléments sont souvent disposés de façon symétrique. Voici, dans chacun des carrés magiques, un exemple de symétrie avec les éléments de la dernière égalité :

Cas 2. On peut soustraire même nombre à la base de chaque terme de l’égalité précédente. Par exemple, en soustrayant 1, on obtient :

1³ + 7³ + 8³ + 14³ = 2³ + 4³ + 11³ + 13³ = 3600 = 60².

La symétrie est partielle car la somme des bases est 30 au lieu de 34. Il y aurait symétrie totale si le 4 apparaissait au lieu du 12.

Cas 3. En additionnant 1 à l’égalité du cas 1, on obtient :

3³ + 9³ + 10³ + 16³ = 4³ + 6³ + 13³ + 15³ = 5852.

Voici un exemple où il y aurait pleine symétrie si le 3 apparaissait au lieu du 5 et où la somme des bases est 38 :

Problème 2

Trouvez des égalités de 12 cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de six cubes.

Démarche

Cas 1. On prend deux égalités de cubes :

2³ + 8³ + 9³ + 15³ = 3³ + 5³ + 12³ + 14³ = 4624.

1³ + 6³ + 11³ + 16³ = 2³ + 4³ + 13³ + 15³ = 5644.

On additionne membre à membre. On biffle les doublons. On obtient :

1³ + 6³ + 8³ + 9³ + 11³ + 16³ = 3³ + 4³ + 5³ + 12³ + 13³ + 14³ = 6885.

Voici un exemple de symétrie :

 Cas 2. On prend à nouveau deux égalités de cubes :

4³ + 5³ + 12³ + 13³ = 3³ + 7³ + 10³ + 14³ = 4114.

1³ + 6³ + 11³ + 16³ = 2³ + 4³ + 13³ + 15³ = 5644.

On additionne membre à membre. On biffle les doublons. On obtient :

1³ + 5³ + 6³ + 11³ + 12³ + 16³ = 2³ + 3³ + 7³ + 10³ + 14³ + 15³ = 7497.

Voici un exemple de symétrie :

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5.03 Séquences d’additions

Problème 1

Trouvez des égalités de huit cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre cubes. 

Démarche

Cas 1. On choisit un nombre. On additionne successivement les nombres de la première ligne du tableau : ce sont les bases du premier membre de l’égalité. On additionne le nombre donné à celui qui a été choisi, puis successivement les nombres de la deuxième ligne : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité. On ajoute l’exposant 3 à chaque base.

On choisit 2. L’égalité est :

2³ + 9³ + 11³ + 18³ = 3³ + 6³ + 14³ + 17³ = 7900.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 2. L’égalité est :

2³ + 7³ + 12³ + 17³ = 3³ + 5³ + 14³ + 16³ = 6992.

Problème 2

Trouvez des égalités de 10 cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq cubes. 

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 2. L’égalité est :

2³ + 8³ + 15³ + 19³ + 30³ = 5³ + 5³ + 12³ + 24³ + 28³ = 37 754.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 5. L’égalité est :

5³ + 9³ + 13³ + 21³ + 22³ = 6³ + 7³ + 15³ + 19³ + 23³ = 22 960.

Problème 3

Trouvez des égalités de 12 cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de six cubes.

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 3. L’égalité est :

3³ + 8³ + 10³ + 11³ + 13³ + 18³ = 5³ + 6³ + 7³ + 14³ + 15³ + 16³ = 10 899.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 3. L’égalité est :

3³ + 7³ + 8³ + 22³ + 23³ + 27³ = 4³ + 5³ + 9³ + 21³ + 25³ + 26³ = 43 380.

Problème 4

Trouvez des égalités de 16 cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de huit cubes. 

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 2. L’égalité est :

2³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ + 17³ + 18³ + 23³ = 3³ + 5³ + 9³ + 11³ + 14³ + 16³ + 20³ + 22³ = 27 700.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 2. L’égalité est :

2³ + 8³ + 9³ + 10³ + 15³ + 16³ + 17³ + 23³ = 3³ + 5³ + 11³ + 12³ + 13³ + 14³ + 20³ + 22³ = 26 800.

Problème 5

Une égalité est : 5³ + 10³ + 15³ + 20³ = 12 500. Trouvez quatre autres cubes dont la somme est 12 500. Solution 5.03-5

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5.04 Rectangles et cubes

Problème 1

Comment trouver des égalités dans lesquelles la somme de quatre cubes est égale à la somme de quatre autres cubes ?

Démarche

Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 4, on écrit d’abord 1, puis on additionne successivement 2, 4 et 6. Sur la deuxième ligne, on écrit d’abord 15, puis on additionne successivement 6, 4 et 2.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 13³ + 15³ + 27³ = 3³ + 7³ + 21³ + 25³ = 25 256.

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Problème 2

Comment trouver des égalités dans lesquelles la somme de six cubes est égale à la somme de six autres cubes ?

Démarche

Cas 1. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 6, on écrit les nombres de 1 à 7, sauf 4. Pour la deuxième ligne, on choisit un nombre qu’on additionne à chacun des termes précédents. Par exemple, on choisit 7.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 5³ + 6³ + 9³ + 10³ + 14³ = 2³ + 3³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ = 4815.

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 2. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 6, on écrit les nombres de 8 à 14, sauf 11. Pour la deuxième ligne, on choisit un nombre qu’on additionne à chacun des termes précédents. Par exemple, on choisit 13.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

8³ + 12³ + 13³ + 22³ + 23³ + 27³ = 9³ + 10³ + 14³ + 21³ + 25³ + 26³ = 46 935.

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Problème 3

Comment trouver des égalités dans lesquelles la somme de huit cubes est égale à la somme de huit autres cubes ?

Démarche

Cas 1. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 8, on écrit les nombres du rectangle du problème 1 dans l’ordre de lecture. Pour la deuxième ligne, on choisit un nombre qu’on additionne à chacun des termes précédents. Par exemple, on choisit 3.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 4³ + 13³ + 15³ + 16³ + 18³ + 27³ + 30³ = 3³ + 6³ + 7³ + 10³ + 21³ + 24³ + 25³ + 28³ = 62 248.

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 2. Dans un rectangle 2 × 8, on écrit les nombres de 1 à 16.

Dans chaque membre de l’égalité, on écrit les nombres d’une même couleur. On a :

1³ + 4³ + 6³ + 7³ + 10³ + 11³ + 13³ + 16³ = 2³ + 3³ + 5³ + 8³ + 9³ + 12³ + 14³ + 15³ = 9248.

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Cas 3. Sur la première ligne d’un rectangle 2 × 8, on écrit d’abord 1 puis on additionne successivement 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3. Pour la deuxième ligne, on choisit un nombre qu’on additionne à chacun des termes précédents. Par exemple, on choisit 17.

On obtient :

1³ + 8³ + 12³ + 13³ + 21³ + 22³ + 26³ + 33³ = 4³ + 5³ + 9³ + 16³ + 18³ + 25³ + 29³ + 30³ = 77 860.

On peut additionner un même nombre à chacune des bases pour obtenir une autre égalité.

Conclusion

En s’inspirant de ces modèles ou en les combinant, on peut trouver autant d’égalités de cubes que l’on veut.

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5.05 Cubes et n-uplets

Problème 1

Trouvez des égalités de huit cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre cubes. 

Démarche

Cas 1. On choisit un nombre. On l’écrit et on l’additionne à chacun des éléments du premier quadruplet donné : ce sont les bases du premier membre de l’égalité. On additionne le nombre choisi à chacun des éléments du deuxième quadruplet donné : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité. On ajoute l’exposant 3 à chaque base.

Les quadruplets de départ sont (1, 7, 8, 14) et (2, 4, 11, 13). On additionne 3. Après avoir ajouté l’exposant 3, on peut écrire :

4³ + 10³ + 11³ + 17³ = 5³ + 7³ + 14³ + 16³ = 7308.

On peut additionner n’importe lequel nombre pour trouver d’autres égalités. Par exemple, si on additionne 1 à chaque base, on obtient :

5³ + 11³ + 12³ + 18³ = 6³ + 8³ + 15³ + 17³ = 9016.

Problème 2

Trouvez des égalités de 10 cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq cubes. 

Démarche

Les quintuplets de départ sont (1, 5, 9, 17, 18) et (2, 3, 11, 15, 19). On additionne 2. On peut écrire :

3³ + 7³ + 11³ + 19³ + 20³ = 4³ + 5³ + 13³ + 17³ + 21³ = 16 560.

Par exemple, si on additionne 2 à chaque base, on obtient :

5³ + 9³ + 13³ + 21³ + 22³ = 6³ + 7³ + 15³ + 19³ + 23³ = 22 960.

Problème 3

Trouvez des égalités de 12 cubes dans lesquelles chaque membre contient la somme de six cubes. 

Démarche

Les sextuplets de départ sont (1, 6, 8, 11, 13, 18) et (2, 4, 9, 10, 15, 17). On additionne 3. On obtient :

4³ + 9³ + 11³ + 14³ + 16³ + 21³ = 5³ + 7³ + 12³ + 13³ + 18³ + 20³ = 18 225.

Par exemple, si on additionne 5 à chaque base, on obtient :

9³ + 14³ + 16³ + 19³ + 21³ + 26³ = 10³ + 12³ + 17³ + 18³ + 23³ + 25³ = 41 265.

Seize cubes

Les octuplets de départ sont (1, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 18 ) et (2, 3, 6, 9, 10, 13, 16, 17). On additionne 1. On obtient :

2³ + 5³ + 8³ + 9³ + 12³ + 13³ + 16³ + 19³ = 3³ + 4³ + 7³ + 10³ + 11³ + 14³ + 17³ + 18³ = 16 254.

Par exemple, si on additionne 2 à chaque base, on obtient :

4³ + 7³ + 10³ + 11³ + 14³ + 15³ + 18³ + 21³ = 5³ + 6³ + 9³ + 12³ + 13³ + 16³ + 19³ + 20³ = 23 950.

Problème 4

Comment trouver des égalités de cubes en combinant différentes égalités ?

Démarche

Après avoir trouvé des égalités de cubes, on peut additionner membre à membre deux égalités et, au besoin, biffer les termes qui apparaissent de part et d’autre.

Huit cubes

· Prenons les deux égalités précédentes et additionnons-les. Après avoir biffé les termes identiques, on obtient :

2³ + 8³ + 15³ + 21³ = 3³ + 6³ + 17³ + 20³ = 13 156.

· On peut prendre les deux égalités suivantes.

13³ + 35³ = 19³ + 24³ + 29³ = 45 072.

1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 13³ = 2197.                                                                                                              

Par addition, on obtient une égalité de huit cubes, cinq d’un côté et trois de l’autre.

1³ + 5³ + 7³ + 12³ + 35³ = 19³ + 24³ + 29³ = 45 072.

Onze cubes

Égalités de départ :

7³ + 17³ = 11³ + 12³ + 13³ = 5256.

13³ + 22³ + 23³ + 26³ = 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 42 588.

On obtient une égalité de 11 cubes.

7³ + 17³ + 22³ + 23³ + 26³ = 11³ + 12³ + 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 45 647.

Treize cubes

Dans la dernière égalité, on remplace 12³ par 6³ + 8³ + 10³. On obtient :

7³ + 17³ + 22³ + 23³ + 26³ = 6³ + 8³ + 10³ + 11³ + 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 45 647.

En guise de conclusion

Dans la première partie, le nombre de cubes est identique d’un membre de l’égalité à l’autre. Dans la dernière partie, ce nombre est différent.

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5.06 À la suite de Fermat

Le mathématicien Pierre Simon de Fermat (1601-1665) a écrit dans la marge d'une page d'une œuvre de Diophante : « Il est impossible de séparer un cube en deux cubes ou un bicarré en deux bicarrés ou de façon générale toute puissance supérieure à 2 en deux puissances ayant le même exposant. J'ai découvert une preuve vraiment merveilleuse, mais la marge n'est pas assez grande pour la contenir. »

Cette proposition signifie, par exemple, que pour l’équation x³ + y³ = z³, il est impossible de donner des valeurs entières aux trois variables. La proposition de Fermat est restée insoluble pendant plus de trois siècles. Des milliers de preuves ont été présentées et reconnues comme fausses jusqu’à ce qu’Andrew Wiles fasse la démonstration de cette proposition en 1993.

Problème 1

Soit x³ + y³ = az³, trouvez des valeurs entières qui satisfont l’équation.

Démarche 1

On écrit : 1³ + 3³ = 28. On multiplie l’égalité par un nombre élevé à la puissance 3. Pour connaître ce nombre, on fait : 28 ÷ (1 + 3) = 7. On multiplie l’égalité par 7³. On a :

7³ + 21³ = 28 × 7³ = 9604.

Les valeurs des variables sont : x = 7, y = 21, a = 28 et z = 7.

Prenons un autre exemple. On écrit : 2³ + 5³ = 133. On multiplie l’égalité par 19³. On a :

38³ + 95³ = 133 × 19³ = 912 247

Les valeurs des variables sont : x = 38, y = 95, a = 133 et z = 19.

On peut choisir n’importe laquelle égalité de départ de la forme x³ + y³ = a. On aura toujours une solution. Ce procédé est possible, car la somme de deux cubes peut être toujours décomposée en deux facteurs.

Démarche 2

On peut trouver des égalités à partir d’une valeur qu’on désigne comme étant p et en suivant ces règles :

x = 2n² + 6        y = x(n + 1)/2      a = x + y      z = x/2  

Quand p = 1, on obtient : 8³ + 8³ = 16 × 4³ = 1024.

Quand p = 2, on obtient : 14³ + 21³ = 35 × 7³ = 12 005.

Quand p = 3, on obtient : 24³ + 48³ = 72 × 12³ = 124 416.

Quand p = 4, on obtient : 38³ + 95³ = 133 × 19³ = 912 247.

Quand p = 5, on obtient : 56³ + 168³ = 224 × 28³ = 4 917 248.

Problème 2

Soit x³ + y³ = az⁴, trouvez des valeurs entières qui satisfont l’équation.

Démarche

La démarche précédente étant accomplie, on divise a par z. Dans le cas où l’égalité est 38³ + 95³ = 133 × 19³, on fait : 133 ÷ 19 = 7. Alors, a prend la valeur de 7 et on multiplie 19 par 19³ pour obtenir 19⁴. À la fin, on a :

38³ + 95³ = 7 × 19⁴ = 912 247.

Les valeurs des variables sont : x = 38, y = 95, a = 7 et z = 19.

Problème 3

Soit x⁵ + y⁵ = az⁵, trouvez des valeurs entières qui satisfont l’équation.

Démarche

Par exemple, on écrit : 2⁵ + 3⁵ = 275. On multiplie l’égalité par un nombre élevé à la puissance 5. Pour choisir ce nombre, on fait : 275 ÷ (2 + 3) = 55. On multiplie l’égalité par 55⁵. On a :

110⁵ + 165⁵ = 275 × 55⁵ = 138 403 203 125.

Les valeurs des variables sont : x = 110, y = 165, a = 275 et z = 55.

Problème 4

Soit x⁵ + y⁵ = az⁶, trouvez des valeurs entières qui satisfont l’équation.

Démarche

De la démarche précédente, on peut tirer une égalité dont l’un des termes est une puissance de 6. On peut écrire : 110⁵ + 165⁵ = 5 × 55⁶ = 138 403 203 125.

Conclusion

Lorsque nous avons les outils nécessaires, nous pouvons manipuler des nombres relativement grands.

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5.07 Bicarrés ou puissances 4

Problème 1

Comment trouver des égalités de bicarrés à partir d’un carré magique d’ordre 3 ?

Démarche

Construisons un carré magique d’ordre 3.

Par lignes

La somme des puissances 4 de la première ligne est : 13⁴ + 1⁴ + 10⁴ = 38 562.

La somme des puissances 4 de la troisième ligne est : 6⁴ + 15⁴ + 3⁴ = 52 002.

La différence des sommes est 13 440.

Posons m le médian (8) du carré magique, p le produit de la raison des deux diagonales (5 × 2) et d la différence des éléments extrêmes de la deuxième colonne (14). On a : mpd = 8 × 5 × 2 × 14 = 1120. En multipliant par 12, on obtient 13 440 : ce qui est la différence des sommes. La valeur ajoutée (ou retranchée) est : 12mpd = 12 × 8 × 10 × 14 = 13 440.

On peut écrire : 13⁴ + 1⁴ + 10⁴ + 12mpd = 6⁴ + 15⁴ + 3⁴ = 52 002.

On voit par-là que la différence de la somme des nombres à la puissance 4 de la première ligne et de la troisième ligne est égale à 12mpd.

La formule générale est : a⁴ + b⁴ + c⁴ + 12mpd = x⁴ + y⁴ + z⁴.

Par colonnes

On s’intéresse à la première et à la troisième colonne. La formule est la même. Toutefois, la différence d des éléments extrêmes de la deuxième ligne est 6 au lieu de 14. La différence des deux trios de puissances 4 est 12mpd = 12 × 8 × 10 × 6 = 5760.

On peut écrire : 10⁴ + 11⁴ + 3⁴ + 12mpd = 13⁴ + 5⁴ + 6⁴ = 30 482.

Addition de nombres

Additionnons 5 à chacun des termes du carré magique précédent. On a :

Au lieu d’être 8, le médian est 13. La raison de chaque diagonale ne change pas. D’où, p ne change pas. La différence des éléments extrêmes de la deuxième colonne ne change pas. D’où, d ne change pas. On peut donc écrire par lignes :

18⁴ + 6⁴ + 15⁴ + 12mpd = 11⁴ + 20⁴ + 8⁴ = 178 737 où mpd = 13 × 10 × 14 = 1820.

Si on additionne un même nombre à chaque terme affecté de la puissance 4 dans le cas précédent, l’égalité demeure. Toutefois, le médian augmente du nombre choisi. Les autres variables p et d ne changent pas. En additionnant 2, on peut écrire :

20⁴ + 8⁴ + 17⁴ + 12mpd = 13⁴ + 22⁴ + 10⁴ = 272 817 où mpd = 15 × 10 × 14 = 2100.

Problème 2

Comment trouver des égalités de bicarrés à partir de deux carrés magiques d’ordre 3 ?

Démarche

Construisons un premier carré magique, celui de gauche. Additionnons 14 à chacun des éléments de ce carré. On obtient un second carré magique.

Soit A1 la somme des bicarrés de la première ligne du premier carré, A3 la somme des bicarrés de la troisième ligne du premier carré, B1 la somme des bicarrés de la première ligne du deuxième carré, B3 la somme des bicarrés de la troisième ligne du deuxième carré.

Premier carré

A1 = 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ = 79 202.

A3 = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ = 108 002.

La différence des sommes est 28 800.

15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 12mpd = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ = 108 002 où mpd = 10 × 15 × 16 = 2400.

Deuxième carré

B1 = 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ = 1 304 258.

B3 = 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 373 378.

La différence des sommes est 69 120.

29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12mpd = 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 373 378 où mpd = 24 × 15 × 16 = 5760.

Comparons les sommes des premières lignes et des premières colonnes :

A1 + B1 = 1 383 460.

A3 + B3 = 1 481 380.

La différence est 97 920.

97 920 = 28 800 + 69 120 = 12(m₁ + m₂)pd = 12 × 34 × 15 × 16.

On peut écrire : 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12(m₁ + m₂)pd = 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ + 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 481 380.

Bref, A1 + B1 augmenté de 12(m₁ + m₂)pd est égale à A3 + B3.

Comparons les sommes croisées

A1 + B3 = 1 452 580.

A3 + B1 = 1 412 260.

La différence des sommes est 40 320.

40 320 = 69 120 – 28 800 = 12m₂pd – 12m₁pd = 12(m₂ – m₁)pd = 12 × 14 × 15 × 16 .

On peut écrire : 7⁴ + 18⁴ + 5⁴ + 29⁴ + 16⁴ + 27⁴ + 12(m₂ – m₁)pd = 15⁴ + 2⁴ + 13⁴ + 21⁴ + 32⁴ + 19⁴ = 1 452 580.

Bref, A3 + B1, augmenté de 12(m₂ – m₁)pd, est égale à A1 + B3.

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5.08 Puissances remarquables

Il est étonnant de réaliser qu’on peut obtenir plusieurs égalités de puissances qui contiennent les mêmes bases.

Problème 1

Comment trouver des égalités de puissances qui contiennent les mêmes bases et dont les exposants varient de 1 à 5 ?

Démarche

On choisit un nombre de départ, par exemple 5. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle. On fait : 5 + 5 = 10, 10 + 1 = 11, 11 + 10 = 21, 21 + 1 = 22, 22 + 5 = 27 : les sommes sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement à partir de 1 les nombres de la deuxième ligne du rectangle : ce sont les autres nombres du deuxième membre.

On peut écrire :

Puissance 1 : 5 + 10 + 11 + 21 + 22 + 27 = 6 + 7 + 15 + 17 + 25 + 26 = 96.

Puissance 2 : 5² + 10² + 11² + 21² + 22² + 27² = 6² + 7² + 15² + 17² + 25² + 26² = 1900.

Puissance 3 : 5³ + 10³ + 11³ + 21³ + 22³ + 27³ = 6³ + 7³ + 15³ + 17³ + 25³ + 26³ = 42 048.

Puissance 4 : 5⁴ + 10⁴ + 11⁴ + 21⁴ + 22⁴ + 27⁴ = 6⁴ + 7⁴ + 15⁴ + 17⁴ + 25⁴ + 26⁴ = 985 444.

Puissance 5 : 5⁵ + 10⁵ + 11⁵ + 21⁵ + 22⁵ + 27⁵ = 6⁵ + 7⁵ + 15⁵ + 17⁵ + 25⁵ + 26⁵ = 23 850 816.

Problème 2

Comment trouver des égalités de puissances qui contiennent les mêmes bases et dont les exposants varient de 1 à 6 ?

Démarche

On choisit un nombre de départ, par exemple 1. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne, successivement à partir de 12, les nombres de la deuxième ligne du rectangle: ce sont les autres nombres du deuxième membre.

On peut écrire :

Puissance 1 : 1 + 19 + 28 + 59 + 65 + 90 + 102 = 2 + 14 + 39 + 45 + 76 + 85 + 103 = 364.

Puissance 2 : 1² + 19² + 28² + 59² + 65² + 90² + 102² = 2² + 14² + 39² + 45² + 76² + 85² + 103² = 27 356.

Puissance 3 : 1³ + 19³ + 28³ + 59³ + 65³ + 90³ + 102³ = 2³ + 14³ + 39³ + 45³ + 76³ + 85³ + 103³ = 2 299 024.

Puissance 4 : 1⁴ + 19⁴ + 28⁴ + 59⁴ + 65⁴ + 90⁴ + 102⁴ = 2⁴ + 14⁴ + 39⁴ + 45⁴ + 76⁴ + 85⁴ + 103⁴ = 204 566 180.

Puissance 5 : 1⁵ + 19⁵ + 28⁵ + 59⁵ + 65⁵ + 90⁵ + 102⁵ = 2⁵ + 14⁵ + 39⁵ + 45⁵ + 76⁵ + 85⁵ + 103⁵ = 18 840 609 424.

Puissance 6 : 1⁶ + 19⁶ + 28⁶ + 59⁶ + 65⁶ + 90⁶ + 102⁶ = 2⁶ + 14⁶ + 39⁶ + 45⁶ + 76⁶ + 85⁶ + 103⁶ = 1,7757318 × 10¹².

Problème 3

Comment trouver des égalités de puissances qui contiennent les mêmes bases et dont les exposants varient de 1 à 7 ?

Démarche

On choisit un nombre, par exemple 5 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement à partir de 1 les nombres de la deuxième ligne du rectangle : ce sont les autres nombres du deuxième membre.

On peut écrire :

Puissance 1 : 5 + 9 + 14 + 28 + 32 + 46 + 51 + 55 = 6 + 7 + 16 + 25 + 35 + 44 + 53 + 54 = 240.

Puissance 2 : 5² + 9² + 14² + 28² + 32² + 46² + 51² + 55² = 6² + 7² + 16² + 25² + 35² + 44² + 53² + 54² = 9852.

Puissance 3 : 5³ + 9³ + 14³ + 28³ + 32³ + 46³ + 51³ + 55³ = 6³ + 7³ + 16³ + 25³ + 35³ + 44³ + 53³ + 54³ = 454 680.

Puissance 4 : 5⁴ + 9⁴ + 14⁴ + 28⁴ + 32⁴ + 46⁴ + 51⁴ + 55⁴ = 6⁴ + 7⁴ + 16⁴ + 25⁴ + 35⁴ + 44⁴ + 53⁴ + 54⁴ = 22 102 116.

Puissance 5 : 5⁵ + 9⁵ + 14⁵ + 28⁵ + 32⁵ + 46⁵ + 51⁵ + 55⁵ = 6⁵ + 7⁵ + 16⁵ + 25⁵ + 35⁵ + 44⁵ + 53⁵ + 54⁵ = 1 105 637 400.

Puissance 6 : 5⁶ + 9⁶ + 14⁶ + 28⁶ + 32⁶ + 46⁶ + 51⁶ + 55⁶ = 6⁶ + 7⁶ + 16⁶ + 25⁶ + 35⁶ + 44⁶ + 56⁶ + 54⁶ = 56 314 934 052.

Puissance 7 : 5⁷ + 9⁷ + 14⁷ + 28⁷ + 32⁷ + 46⁷ + 51⁷ + 55⁷ = 6⁷ + 7⁷ + 16⁷ + 25⁷ + 35⁷ + 44⁷ + 53⁷ + 54⁷ = 2,9036265 × 10¹².

Problème 4

Comment trouver des égalités de puissances qui contiennent les mêmes bases et dont les exposants varient de 1 à 8 ?

Démarche

On choisit un nombre, par exemple 1 qu’on retient. On additionne successivement les nombres de la première ligne du rectangle : ce sont les nombres du premier membre de l’égalité. On additionne 1 au nombre choisi : c’est le premier nombre du deuxième membre de l’égalité. On additionne successivement à partir de 16 les nombres de la deuxième ligne du rectangle: ce sont les autres nombres du deuxième membre.

On peut écrire :

Puissance 1 : 1 + 25 + 31 + 84 + 87 + 134 + 158 + 182 + 198 = 2 + 18 + 42 + 66 + 113 + 116 + 169 + 175 + 199 = 900.

Puissance 2 : 1² + 25² + 31² + 84² + 87² + 134² + 158² + 182² + 198² = 2² + 18² + 42² + 66² + 113² + 116² + 169² + 175² + 199² = 131 460.

Puissance 3 : 1³ + 25³ + 31³ + 84³ + 87³ + 134³ + 158³ + 182³ + 198³ = 2³ + 18³ + 42³ + 66³ + 113³ + 116³ + 169³ + 175³ + 199³ = 21 438 000.

Puissance 4 : 1⁴ + 25⁴ + 31⁴ + 84⁴ + 87⁴ + 134⁴ + 158⁴ + 182⁴ + 198⁴ = 2⁴ + 18⁴ + 42⁴ + 66⁴ + 113⁴ + 116⁴ + 169⁴ + 175⁴ + 199⁴ = 3 688 163 268.

Puissance 5 : 1⁵ + 25⁵ + 31⁵ + 84⁵ + 87⁵ + 134⁵ + 158⁵ + 182⁵ + 198⁵ = 2⁵ + 18⁵ + 42⁵ + 66⁵ + 113⁵ + 116⁵ + 169⁵ + 175⁵ + 199⁵ = 654 881 634 000.

Puissance 6 : 1⁶ + 25⁶ + 31⁶ + 84⁶ + 87⁶ + 134⁶ + 158⁶ + 182⁶ + 198⁶ = 2⁶ + 18⁶ + 42⁶ + 66⁶ + 113⁶ + 116⁶ + 169⁶ + 175⁶ + 199⁶ = 1,1873135 × 10¹⁴.

Puissance 7 : 1⁷ + 25⁷ + 31⁷ + 84⁷ + 87⁷ + 134⁷ + 158⁷ + 182⁷ + 198⁷ = 2⁷ + 18⁷ + 42⁷ + 66⁷ + 113⁷ + 116⁷ + 169⁷ + 175⁷ + 199⁷ = 2,1846117 × 10¹⁶.

Puissance 8 : 1⁸ + 25⁸ + 31⁸ + 84⁸ + 87⁸ + 134⁸ + 158⁸ + 182⁸ + 198⁸ = 2⁸ + 18⁸ + 42⁸ + 66⁸ + 113⁸ + 116⁸ + 169⁸ + 175⁸ + 199⁸ = 4,064168 × 10¹⁸.

Conclusion

On peut additionner ou soustraire tout nombre à chacune des termes de toutes ces égalités pour obtenir d’autres égalités vraies.

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