Chapitre 8. Outils mathématiques

8.01 Expériences en résolution

En l’an 2000, j’ai mis en ligne le site de mathématiques récréatives Récréomath. De temps à autre, j’ai reçu des messages dans lesquels des enseignants de mathématiques me faisaient part d’expériences qu’ils ont menées en résolution de problèmes. Voici six témoignages :

1. Table d’addition

« J’enseigne en sixième au primaire. J’ai dit aux élèves qu’ils allaient construire une table d’addition. Je les ai invités à préparer une grille 10 × 10, puis d’écrire les nombres de 1 à 9 en abscisse et les mêmes nombres en ordonnée, puis de faire les additions. Quand cela a été fait, je leur ai demandé de trouver des régularités dans la table. Quelques élèves ont trouvé tout de suite des régularités. Je leur ai demandé de trouver d’autres régularités et leur ai dit qu’on en ferait au cours suivant. »

2. Poignées de mains

« J’ai énoncé verbalement à mes élèves le problème suivant : Cinq enfants se rencontrent. Ils donnent chacun à chacun une poignée de mains. Combien de poignées de mains seront données. Je leur ai donné trois minutes pour s’approprier le problème.

Ensuite, j’ai dit aux élèves qu’on ferait une représentation visuelle de la résolution du problème. Je leur ai dit de bien remarquer ce qui se passait, parce que je leur demanderais de décrire sur papier ce qu’ils ont vu. J’ai alors invité cinq élèves à venir former une rangée devant la classe. Je leur ai dit de donner à chacun une poignée. Comme cette représentation se faisait dans le désordre, je leur ai demandé de procéder de façon mieux organisée en leur donnant certains conseils.

Après cela, les élèves ont décrit le procédé utilisé par écrit. J’ai demandé à un élève de venir expliquer ce procédé. J’ai alors proposé aux élèves de résoudre le même problème avec 10 enfants. Un élève s’est exclamé : Cela donnera le double de poignées de mains. Je leur ai demandé s’ils étaient d’accord avec cela et leur ai dit de proposer une solution. »

3. Cartes de problèmes

« J’ai préparé des cartes de problèmes adaptés à mes élèves. À un moment donné pendant la semaine, je place les élèves en équipes de trois ou de quatre. Je remets à chaque équipe le même problème. Après un certain temps, une équipe est invitée à venir expliquer aux autres leur compréhension du problème, où ils en sont rendus et ce qu’ils ont découvert. Par la suite, les élèves continuent à résoudre le problème. Si le temps manque, la tâche se poursuit au cours suivant. »

4. Problème du jour

« Je suis actuellement enseignant en CE2 et je mets en place dans ma classe « le problème du jour ». Je donne un problème à un élève la veille. Il cherche la solution à la maison (avec ou sans aide) et le lendemain, après vérification de la réponse, il présente lui-même le problème à ses camarades qui, à leur tour, essaient de le résoudre. On liste ensuite nos points de réussite, nos difficultés et nos stratégies.

Le but de cette activité est d’entraîner quotidiennement les élèves à résoudre des problèmes et à entretenir les stratégies mises en place. »

5. La valeur de p

« J’ai demandé aux élèves d’estimer la valeur de p. Je leur ai proposé de tracer un grand cercle avec un compas, puis de mesurer le diamètre. Je leur ai dit de prendre une corde et de mesurer la circonférence. Je leur ai dit de diviser le résultat obtenu pour la circonférence par le diamètre et de venir inscrire le quotient au tableau avec quatre décimales. Je leur ai rappelé la valeur de p. Chacun a alors calculé sa marge d’erreur.

Dans un groupe, l’un des élèves a alors dit que pour mesurer la circonférence, il avait tracé deux diamètres perpendiculaires et qu’il avait d’abord mesuré le quart de la circonférence pour multiplier ensuite par 4. Dans un autre groupe, je leur ai demandé de choisir cinq résultats au hasard et de prendre la moyenne. »

6. Angles d’un triangle

« Je leur enseignais que la somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180 degrés. J’ai demandé aux élèves de vérifier la mesure de chaque angle avec un rapporteur d’angle et d’en faire la somme. Après cette première expérience, j’ai demandé aux élèves de tracer un triangle quelconque et de noircir les angles. Je leur ai dit de découper les angles et de les placer pour que les trois zones noircies soient adjacentes. »

Conclusion

J’ai envie de conclure en disant : « Il n’y a pas de petits problèmes ; ils sont tous grands. » En effet, le but visé est, avant tout, d’habituer l’élève à résoudre des problèmes. Tant mieux, si de nouvelles connaissances sont associées à cette démarche. Mais, elles doivent arriver principalement comme des compléments. En effet, avec la technologie contemporaine, il est plus facile d’acquérir des connaissances que des habiletés.

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8.02 Des petits exercices

Problème

Un père m’a posé la question suivante : « Que proposez-vous comme exercice pour un enfant de 8 ans en 2^e année ? »

Réponse

Je ne connais pas le niveau de capacité en mathématiques chez votre enfant de deuxième année. Je vous fais des suggestions que vous pourrez adapter à son état de connaissances. Il faudrait insister sur le calcul mental en présentant des situations ludiques. L’apprentissage de la table d’addition et celle de multiplication devrait être la priorité.

Situation 1

 Avec votre enfant, découpez des jetons que vous numérotez de 1 à 10. Il serait préférable de constituer deux de ces ensembles. Marquez des jetons avec les signes +, – et = selon vos besoins.

Demandez à votre enfant de placer un jeton numéroté sur la table. Ajoutez un signe + ou –. Demandez à votre enfant de placer un autre jeton numéroté. Posez le signe =. Demandez à votre enfant de trouver le résultat ou encore d’écrire la réponse sur un jeton non numéroté.

Situation 2

Adaptez la situation 1 avec la multiplication et la division.

Situation 3

Inventez des petites histoires où l’enfant devra résoudre le problème.

Exemple 1. Grand-papa a 5 carottes. Pendant la nuit, un lapin s’empare de 2 carottes. Combien reste-t-il de carottes à grand-papa ?

Exemple 2. Le Petit Chaperon Rouge apporte 4 pommes à sa grand-maman. En chemin, une dame lui donne 3 pommes. Combien de pommes le Petit Chaperon Rouge pourra-t-il donner à sa grand-maman ?

Mettez à profit le vécu de l’enfant et le vôtre pour rendre les histoires crédibles aux yeux de l’enfant.

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8.03 La table de multiplication

Problème

Un jour, une dame m’a écrit pour me demander comment montrer les tables de multiplication à son petit-fils qui était en 3^e année.

Démarches

1. Utiliser des jetons. Les faire placer sur la table en groupes, par exemple en groupes de trois. Former des rectangles, des carrés.

2. Compter les jetons dans chaque figure d'abord un par un, puis par rangée. S'il a fait trois rangées de 4 jetons, il peut compter 4, 8, 12, etc.

3. Lui faire apprendre par cœur le comptage par bonds :

• 2, 4, 6, 8, 10, etc.

• 3, 6, 9, 12, 15, etc.

• 4, 8, 12, 16, 20, etc.

4. Lui apprendre à retrouver la réponse dans le comptage par bonds. Par exemple, pour trouver la réponse de 3 fois 7, faire 1 fois 7 = 7, 2 fois 7 = 14, 3 fois 7 = 21.

5. Se rapprocher lentement du par cœur en lui faisant abandonner graduellement les bonds.

À l'intérieur de chaque étape, vous pouvez le faire chanter, le faire écrire, le faire mimer, montrer la réponse avec ses doigts. Vous pouvez aussi produire des cartons sur lesquels on voit une multiplication à compléter, jouer un jeu qu'il aime et où les dés sont remplacés par des multiplications. Bref, il doit s'amuser et vous aussi.

Si l’enfant est visuel, vous pouvez insister beaucoup sur la manipulation et sur le fait de voir ensemble les nombres multipliés et le résultat. L’enfant visuel va conserver en mémoire, par exemple, 7 fois 8 = 56. S'il est auditif, vous pouvez insister sur la compréhension : le lien entre les bonds et la table.

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8.04 Petites démonstrations

Il est rarement facile de faire une démonstration en mathématiques. Il faut connaître les propriétés des objets mathématiques concernés et être capable de les appliquer à bon escient. Voici trois exemples de problèmes de démonstration :

Problème 1. Un carré magique

Démontrez qu’il est impossible, lorsque le 1 est dans la position indiquée, de construire un carré magique d’ordre 3 avec les nombres de 1 à 9. La somme de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale doit être égale à 15.

Démonstration

De par sa position dans le carré, le 1 appartient à trois rangées : une ligne, une diagonale et une colonne. Or, avec 1, il n’existe que deux combinaisons dont la somme est 15 : (1, 8, 6) et (1, 5, 9). D’où, il est impossible de construire un carré magique d’ordre 3 selon ces conditions.

Problème 2. Un cryptarithme

Dans ce genre de problème, il s’agit d’attribuer un chiffre différent à chaque lettre. Par exemple, si j’écris MA + MA = SA, une réponse est M = 1, A = 0 et S = 2.

Démontrez qu’il est impossible d’obtenir une réponse pour le cryptarithme suivant :

MARC + LISE = RUTH

Démonstration

Le cryptarithme contient 11 lettres différentes. Or, il n’y a que 10 chiffres. D’où, il est impossible d’obtenir une réponse.

Problème 3. Le jour de la semaine

Andrée a obtenu son permis de conduire le lundi 15 juillet 2013. Son frère Cédric l’a obtenu 300 jours plus tard.

Démontrez que, pour le frère, ce n’était pas un lundi.

Démonstration

On pourrait être tenté de trouver le jour de la semaine. En faisant cela, on aurait montré, et non démontré, que ce n’était pas un lundi. Pour démontrer, on fait 300 ÷ 7 = 42, reste 6. Traduit dans la réalité, ce résultat indique qu’il y a un écart de 42 semaines et 6 jours entre les deux événements. Pour que ce soit le même jour de la semaine, il faudrait que le reste soit 0. D’où, ce n’était pas un lundi quand Cédric a obtenu son permis.

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8.05 Trucs de calcul mental

On ne le dira jamais assez. Le calcul mental est d’une importance capitale. Ce n’est pas nécessairement un exercice de rapidité. Tout comme on montre à l’enfant à nouer ses lacets, on doit favoriser le calcul mental. Voici trois exemples où l’enfant peut pratiquer le calcul mental sous un aspect récréatif :

Problème 1

On présente à un enfant cette grille de nombres. Celui-ci doit repérer les groupes de deux nombres dont la somme est 15. En cours de route, il colorie les cases ou biffe deux nombres appropriés.

À la fin, il additionne les nombres qui restent. Quelle est cette somme ?

Démarche

L’enfant repère un premier nombre et vérifie si son complément existe pour 15. Par exemple, il choisit 1. Il fait 15 – 1 = 14 et vérifie si 14 est dans la grille. Si oui, il biffe les deux nombres. Il choisit un autre nombre non biffé et répète les mêmes opérations. Les nombres qui restent sont 6 et 7. Leur somme est 13.

Problème 2

L’enfant doit compléter la grille pour que la somme soit 17 dans chaque ligne et dans chaque colonne.

Démarche

L’enfant repère une rangée où deux cases contiennent chacun un nombre. Il fait les calculs. Par exemple, il fait : 3 + 6 = 9 et 17 – 9 = 8. Il continue ainsi. La grille remplie est :

Problème 3

Dans la grille, l’enfant doit trouver combien de couples de nombres voisins horizontalement et verticalement ont une somme de 15.

Démarche

L’enfant commence par la première ligne. Il fait : 7 + 8 = 15, 8 + 4 = 12, 4 + 11 = 15. Il passe de ligne en ligne, puis s’attaque aux colonnes. Au fur et à mesure qu’il trouve une somme de 15, il le note. On trouve sept couples. Horizontalement, on a : (7, 8), (4, 11), (5, 10), (6, 9). Verticalement, on a : (3, 12), (9, 6), (1, 14).

Par surcroit, ce dernier exercice apprend à l’enfant à procéder de façon systématique.

Conclusion

L’introduction d’un aspect ludique dans ces exercices peut procurer à l’enfant un certain intérêt, beaucoup plus que s’il devait faire une série d’additions sur une feuille.

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8.06 Trucs pour poser des équations

Il arrive que certains élèves aient peu de succès en algèbre. Quand arrive le temps de résoudre des problèmes qui doivent être traduits en équations, ils sont perdus. Ils ne savent pas comment s’y prendre.

Je vous donne un truc qui permet de poser des équations. Il s’agit de supposer une réponse possible et par la suite de traduire le tout en une équation en remplaçant la réponse hypothétique par x.

Problème 1

Érika et Fernande ont le même avoir. Érika dépense 30 $ et Fernande 75 $. Alors, le montant d’argent qui reste à Érika est le double de celui de Fernande. Combien chacune avait-elle ?

Démarche

On suppose que chacune avait 100 $. On peut écrire :

100 – 30 = 70 (Érika)

100 – 75 = 25 (Fernande)

On devrait avoir : (100 – 75) × 2 = (100 – 30).

Soit x l’avoir de chacune. On remplace 100 par x dans la dernière égalité. On aura :

(x – 75) × 2 = x – 30.

Une fois l’équation résolue, on trouve que x = 120. Chacune avait 120 $.

Problème 2

Une somme de 76 $ est composée de pièces de 2 $ et de pièces de 5 $. Le nombre de pièces est 20. Combien y en a-t-il de chaque espèce ?

Démarche

On suppose qu’il y a 9 pièces de 2 $. On peut écrire :

9 × 2 = 18

(20 – 9) × 5 = 55

On devrait avoir : 9 × 2 + (20 – 9) × 5 = 76.

Soit x le nombre de pièces de 2 $. On remplace 9 par x. On aura :

x × 2 + (20 – x) × 5 = 76

Une fois l’équation résolue, on trouve que x = 8. Il y a 8 pièces de 2 $ et 12 pièces de 5 $.

Problème 3

Un jour, on a demandé à un berger le nombre de ses moutons.

Il répondit : « Si ce nombre était augmenté d’un quart

auquel on soustrait 60,

j’en aurais 100. »

Posez une équation qui permet de trouver le nombre de moutons. Solution 8.06-3

Problème 4

Pour un travail, Érika a reçu 51 écus. Le tout est réparti en 21 pièces d’une part de 2 écus et d’autre part de 3 écus.

Posez deux équations qui permettent de trouver le nombre de pièces de 2 écus et de pièces de 3 écus. Solution 8.06-4

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8.07 Bœuf ou renard

Certains problèmes exigent des stratégies diverses. L’objectif est toujours de choisir une façon de procéder qui exige le moins d’opérations et qui devrait produire le moins d’erreurs.

Problème 1

Additionnez les nombres de cette grille.

Démarche 1

On additionne pas à pas dans l’ordre habituel de lecture : 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21, 21 + 2 = 23, 23 + 3 = 26, etc. Cela exige 35 opérations. Il y a de fortes chances qu’on fasse des erreurs de calcul. On pourrait appeler cette façon de procéder « méthode du bœuf ».

Démarche 2

On additionne pas à pas mais ligne par ligne. Les résultats successifs par ligne sont 21, 27, 33, 39, 45, 51. On additionne pas à pas les nouveaux résultats. Cela exige aussi 35 opérations.

Démarche 3

On additionne d’abord les nombres extrêmes des lignes 1 et 6 : 1 + 11 = 12, 2 + 10 = 12, 3 + 9 = 12, etc. La somme des nombres des deux lignes est 12 × 6 = 72. On fait de même avec les lignes 2 et 5, puis 3 et 4. Dans chaque rangée de deux lignes, la somme est aussi 72. On fait : 72 × 3 = 216. Cela exige 20 opérations. Il y a beaucoup moins d’opérations. Elles sont simples et le risque d’erreur est plus faible.

Démarche 4

La somme des nombres extrêmes sur les lignes (1, 6), (2, 5) et (3, 4) est 12. Il y a 6 sommes par rangée de deux lignes. On fait : 6 × 3 = 18, ce qui donne le nombre de cas où la somme est 12. On fait : 18 × 12 = 216. Cela exige 8 opérations.

Démarche 5

Il y a 36 cases. La somme des nombres extrêmes des lignes extrêmes est 12. On fait 12 ÷ 2 = 6. La moyenne par case est 6 On fait : 36 × 6 = 216. On pourrait appeler cette façon de procéder « méthode du renard ». Cela exige le survol de la grille et 4 opérations. Le danger ici c’est de faire un mauvais raisonnement.

On aura compris que la somme est 216 qui est égal à 6³.

Problème 2

Lorsque le nombre de lignes (ou de colonnes) de la grille carrée est impair, il faut adapter certains procédés donnés. Voici une grille 7 × 7 :

Pourriez-vous trouver la somme des nombres de cette grille 7 × 7 ? Solution 8.07-2

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8.08 Le triangle de Pascal

Le triangle dit de Pascal est un triangle arithmétique qui est connu depuis des siècles. Si on lui a attribué le nom du mathématicien et philosophe Blaise Pascal (1623-1662), c’est que ce dernier en a fait une étude exhaustive. Après avoir présenté le triangle lui-même, nous expliciterons une application pour développer un binôme à une puissance donnée.

Les deux côtés du triangle sont formés de 1. Chaque autre nombre du triangle provient de la somme des deux nombres adjacents supérieurs.

Par exemple, au-dessous de 10, on trouve 4 et 6. La somme des lignes est successivement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Problème 1

Soit le binôme (a + 1) à la puissance 6. Développez le binôme sous forme d’un polynôme en se basant sur le triangle de Pascal.

Démarche

Pour réussir son développement, on prend les coefficients de la septième ligne. Cela donne : a⁶ + 6a⁵ + 15a⁴ + 20a³ + 15a² + 6a + 1.

Pour vérifier si le polynôme est exact, donnons la valeur 1 à a. On a (1 + 1)⁶ = 64. Par ailleurs, la somme des coefficients du polynôme est 64 : ce qui concorde.

Problème 2

En se basant sur le triangle de Pascal, pourrait-on élever (a + 2) à la puissance 6 ?

Démarche

Pour ce faire, conservons les 1 du premier côté. Dans la diagonale suivante, remplaçons la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 en multipliant chacun des nombres par 2 de la même diagonale du triangle précédent. Dans la diagonale suivante, multiplions les nombres par 4. Dans les diagonales suivantes, multiplions successivement par 8, 16, 32 et 64, toujours à partir de la même diagonale du triangle précédent. On obtient ce nouveau triangle.

De la septième ligne, on peut tirer : (a + 2)⁶ = a⁶ + 12a⁵ + 60a⁴ + 160a³ + 240a² + 192a + 64.

Si a = 1, (a + 2)⁶ = 3⁶ = 729. Or, la somme des coefficients est bien 729.

On aura noté que la somme des nombres de chaque ligne dans le triangle est 3 aux puissances successives de 0 à 6, soit 1, 3, 9, 27, 81, 243 et 729.

Problème 3

Sauriez-vous développer (a + 3)⁶ ? Solution 8.08-3

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8.09 Suites arithmétiques de degré 2

Une suite arithmétique de degré 1 est une suite de nombres dont chaque terme diffère du précédent d’une quantité fixe appelée raison. Ainsi, l’ensemble des nombres entiers consécutifs forme une suite arithmétique de degré 1 dont la raison est 1. Par ailleurs, 2, 5, 8, 11, 14, … est aussi une suite arithmétique de degré 1 mais dont la raison est 3. Le terme général d’une telle suite est (an + b) où n est le rang du terme.

La raison d’une suite arithmétique de degré supérieur à l’unité n’est pas une constante, mais les termes successifs d’une suite du degré inférieur. Pour construire une suite arithmétique de degré 2, il faut un premier terme et une suite arithmétique de degré 1. Par exemple, en partant avec 4 et en utilisant la suite 2, 5, 8, 11, 14, ... comme raison, on obtient la suite de degré 2 suivante : 4, 6, 11, 19, 30, 44, ...

Le terme général d’une suite arithmétique de degré 2 est an² + bn + c où n est le rang du terme. Pour trouver ce terme, il faut notamment connaître les trois premiers termes.

Problème 1

Comment trouver le n^e terme d’une suite arithmétique de degré 2 ?

Démarche

Soit les trois premiers termes 5, 7, 13. On écrit :

a + b + c = 5

4a + 2b + c = 7

9a + 3b + c = 13

En soustrayant la première équation de la deuxième, on obtient : 3a + b = 2. En soustrayant la deuxième équation de la troisième, on obtient : 5a + b = 6. En soustrayant ces deux dernières équations, on obtient : 2a = 4. D’où, a = 2. On remplace a par 2 dans une des dernières équations. On obtient : b = –4. On remplace a et b par leur valeur respective dans l’équation du début. On obtient : c = 7.

Le terme général de cette suite est 2n² – 4n + 7.

On peut vérifier si le terme général est exact.

Si n = 1, on a : 2 – 4 + 7 = 5.

Si n = 2, on a : 8 – 8 + 7 = 7.

Si n = 3, on a : 18 – 12 + 7 = 13.

Ces trois résultats sont bien les trois premiers termes de la suite.

Pour connaître le 10^e terme, on remplace n par 10 dans le terme général. Cela donne : 200 – 40 + 7 = 167. Le 10^e terme est 167.

Pour trouver les valeurs de a, b et c, on peut appliquer une technique :

a = [(3^e terme – 2^e terme) – (2^e terme – 1^er terme)]/2

b = (2^e terme – 1^er terme) – 3a

c = (1^e terme) – a – b

Problème 2

Trouvez le 50^e terme de la suite 1, 3, 6, 10, 15, … qui est de degré 2. Solution 8.09-2

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8.10 Le calendrier

Le calendrier peut être l’objet de recherches mathématiques. Disons d’abord qu’il existe 14 calendriers différents : 7 pour les années où février a 28 jours et 7 où février a 29 jours. Dans ce dernier cas, on parle d’année bissextile. Un jour est ajouté en février pour corriger le fait que l’année tropique a 365,2425 jours, soit près de 365 jours et un quart. Une autre correction a été apportée si bien que les années finissant par 00 sont bissextiles seulement s’ils sont divisibles par 400. Par exemple, 2100 ne sera pas bissextile, car non divisible par 400.

Si vous avez un calendrier de 2014, vous pouvez le conserver. Il sera le même en 2025, 2031, 2042, 2053 et 2059, pour ne nommer que les plus proches.

Problème 1

Comment se traduit le décalage d’une année à l’autre dans les jours de la semaine ?

Explications

D’une année à l’autre, il y a un décalage d’un ou de deux jours dans les jours de la semaine, puisque 365 jours équivalent à 52 semaines et un jour et que 366 jours équivalent à 52 semaines et deux jours. Comme le 1^er janvier 2014 est un mercredi, le premier janvier 2015 est un jeudi, un jour plus tard, le 1^er janvier 2016 est un vendredi, un jour plus tard, et le 1^er janvier 2017 est un dimanche, deux jours plus tard. Dans ce dernier cas, c’est dû au fait que 2016 est une année bissextile.

Si le nombre de jours d’une année était divisible par 7 et s’il n’y avait pas d’année bissextile à tous les quatre ans, les jours de la semaine seraient identiques d’une année à l’autre et il y aurait un seul calendrier au lieu de 14. C’est pourquoi, dans l’état actuel, les divisions par 7 et par 4 sont importantes quand on recherche le jour de la semaine d’une date donnée.

Problème 2

Comment se traduit le décalage d’un mois à l’autre dans les jours de la semaine ?

Explications

D’un mois à l’autre, le décalage est de 0, 1, 2 ou 3 jours. Par exemple, janvier ayant 31 jours, le décalage est de 3 jours. On y arrive en faisant 28 + 3 = 31 ou en divisant 31 par 7 : ce qui donne comme résultat 4, reste 3. Le nombre 4 qui détermine les semaines n’est pas important pour déterminer le jour de la semaine. Un mois comporterait 10 semaines et 3 jours. Ce serait le même décalage.

Bref, le décalage est de 0 jour quand un mois a 28 jours, 1 jour pour un mois de 29 jours, 2 jours pour un mois de 30 jours et 3 jours pour un mois de 31 jours.

Problème 3

À partir de cette feuille de calendrier, énoncez des propriétés mathématiques.

Propriétés mathématiques

• Le reste de la division par 7 de tout élément est indiqué sur la première ligne en haut de sa colonne.

• Tous les multiples de 3, sauf 27 qui est le cube de 3, apparaissent dans deux diagonales.

• Un cavalier peut atteindre successivement les cases dont les nombres sont des multiples de 5 et revenir au point de départ : 5, 10, 15, 30, 25, 20, 5.

• Tous les multiples de 6 sont sur une même diagonale.

• La somme des éléments sur chaque ligne comportant 7 éléments est égale à 7 fois l’élément central.

• La somme des éléments dans chaque colonne comportant 5 éléments est égale à 5 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments extrêmes de chaque diagonale est égale à 2 fois le terme central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments des quatre coins est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments du contour est égale à 8 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments centraux des lignes et des colonnes autres qu’au milieu est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 5, la somme des éléments centraux (en gris) des lignes et des colonnes est égale à 4 fois l’élément central. Il en est ainsi pour les autres couleurs.

• Dans un carré 4 × 4, la somme des éléments extrêmes d’une diagonale est égale à la somme des deux éléments de l’autre diagonale.

• À partir des éléments d’un carré 3 × 3, (carré de gauche), on peut composer un carré magique 3 × 3 (carré de droite).

L’élément central est le même dans les deux cas.

• À partir des éléments d’un carré 4 × 4, (carré de gauche), on peut composer un carré magique 4 × 4 (carré de droite) en intervertissant les éléments des deux diagonales.

Problème 4

Le 1^er mars d’une année est un jeudi. Quel sera le jour de la semaine du 15 juin de la même année ? Solution 8.10-4

Problème 5

Le 1^er mars 2023 est un mercredi. Quel sera le jour de la semaine du 30 novembre 2025 ? Solution 8.10-5

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8.11 Le pourcentage

Problème 1

Dans une annonce publicitaire à la télévision, on offre un rabais de 100 % de 25 %. Que comprend le consommateur moyen de cette offre ?

Explications

Pourquoi avoir introduit 100 % en appuyant sur cette donnée si ce n’est que pour confondre les consommateurs et leur faire miroiter un rabais supérieur à 25 % ? En réalité, 100 % de 25 %, c’est 25 %. On fait le calcul ainsi : 100 % = 1 et 1 × 25 % = 25 %.

Problème 2

Que signifie une perte dans un pourcentage donné ?

Explications

Quand on dit qu’une perte est de 100 %, c’est qu’on a tout perdu. On ne peut pas avoir perdu plus que son avoir.

Si la perte est de 50 %, on a perdu la moitié. Vous avez acheté un bien au coût de 300 $. Si la perte de la revente est de 50 %, ce qui équivaut à 1/2, vous avez perdu 150 $. Vous recevrez donc 150 $.

Si la perte est de 25 %, ce qui équivaut à 1/4, vous avez perdu 75 $. Vous recevrez donc 225 $. Une perte ne peut jamais être supérieure à 100 %. Une perte de 200 %, par exemple, ça n’existe pas.

Problème 3

Que signifie un gain dans un pourcentage donné ?

Explications

Quand on dit que le gain est de 100 %, il correspond à un montant équivalent à celui payé. Vous avez acheté un bien au coût de 300 $. Si le gain de la revente est de 100 %, vous avez gagné 300 $. Vous avez vendu le bien 600 $, soit le double du prix payé.

Si le gain est de 50 % sur un bien de 300 $, vous avez gagné 150 $. Vous avez vendu le bien 450 $, soit une fois et demie le prix payé.

Si le gain est de 200 %, vous avez gagné 600 $. Vous avez vendu le bien 900 $, soit trois fois le prix payé.

Pour les gains, on peut dépasser 100 %. Toutefois, il faut se souvenir que 100 % correspond au double, 200 % au triple, 300 % au quadruple et ainsi de suite.

Problème 4

Que signifie un pourcentage donné d’implication au travail ?

Explications

On entend parfois dire : « Mon employé se donne à 100 % au travail. ». C’est que l’employé donne tout ce qu’il a et ne perd jamais de temps. En réalité, il ne peut pas faire plus. Dans ce contexte, se donner à 110 % ou à 200 % est plutôt une figure de style pour montrer la grande implication d’une personne.

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En guise de conclusion

Terminons par un article plutôt léger et amusant.

Fête des mathématiques

Le 14 mars a été décrété journée mondiale de pi et Journée internationale des mathématiques. Cette date a été choisie pour faire un clin d’œil à la constante π qui se lit pi et qui vaut 3,14159 26535 89793 23846 … Pi est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre. Le 3 désigne le mois et 14 le quantième. Le premier jour de pi s’est tenu à San Francisco en 1988. En 2009, le congrès américain a reconnu le 14 mars comme le jour de Pi.

Voici quelques suggestions d’activités en ce jour pour faire honneur à pi :

• Piaffer : Piaffez de joie si vous avez gagné un bon lot à la loterie.

• Piailler : Comptez le nombre d’oiseaux qui piaillent dans votre cour.

• Piano : Conduisez prudemment, car qui va piano va lontano.

• Piastre : Comptez vos piastres pour vous acheter le dernier gadget électronique.

• Piaule : Mettez de l’ordre dans votre chambre, si on la qualifie de piaule.

• Pie : Si vous parlez anglais, n’hésitez pas à vous empiffrer de tartes.

• Pied : Ne mettez pas vos deux pieds dans la même bottine.

• Piège : Ne tombez pas dans le piège que les mathématiques sont pour les gars.

• Pierre : Favorisez ce prénom pour un garçon né en ce jour. Il est célèbre en géométrie. En effet, la demi-circonférence d’un cercle est égale à πR, où R est le rayon.

• Piéton : Demandez à certains piétons quelle est la valeur de pi.

• Pige : Essayez d’arrondir vos fins de mois en travaillant à la pige.

• Pigeon : Pour une fois, nourrissez les pigeons dans le parc près de chez-vous.

• Pile : Sortez vos sous de la tirelire pour les placer en piles.

• Pilule : Faites le ménage dans vos pilules pour vérifier leur date d’expiration.

• Piment : Commandez une ou deux pizzas aux piments.

• Pion : Jouez aux échecs et protégez vos huit pions.

• Pipe : Fumez une pipe en tentant de composer des chiffres avec les volutes de fumée.

• Pique : Jouez à la Dame de pique en vous méfiant de cette carte qui vaut 13 points et qui peut vous faire perdre si vous devez l’acquérir.

• Pique-nique : Faites un pique-nique dans un parc où il y a autant d’oiseaux que d’arbres.

• Piquet : Ne faites pas le pitre à l’école, sinon on vous fera subir le supplice du piquet.

• Piqure : Résolvez quelques problèmes récréatifs dans ce blogue ou ailleurs. Vous aurez peut-être la piqure.

• Pirate : Faites un tour de bateau en espérant ne pas rencontrer de pirates.

• Pirouette : Faites plusieurs tours entiers sur vous-même pour que la pirouette soit élégante.

• Pivoine : Calculez vos sous pour offrir un bouquet de pivoines à la personne qui est, pour vous, la plus chère au monde.

• Pixel : Améliorez la qualité de vos images en raffinant les pixels.

Pi, c’est tout.