Binaire

± Numération binaire. - Système qui comprend deux chiffres : 0 et 1. Tous les nombres sont formés par ces chiffres. Voici la liste des 20 plus petits nombres du système binaire avec leur équivalent dans notre système, le système décimal :

Voici les tables d'addition et de multiplication en base 2 :

Pour convertir un nombre du système décimal au système binaire et inversement, il faut connaître les puissances de 2, soit qu’on les mémorise, qu’on les calcule ou qu’on consulte le tableau suivant.

v Pour convertir dans le système décimal un nombre écrit en binaire, on compte d’abord le nombre de chiffres. Si le nombre en binaire a n chiffres, la puissance qui correspond au premier chiffre est 2^{(n - 1)}, la suivante 2^{(n - 2)}, la suivante 2^{(n - 3)}, jusqu’à 2⁰. Le chiffre 1 du nombre binaire indique la présence d’une puissance de 2 et, le chiffre 0 l’absence d’une telle puissance. Le nombre dans le système décimal est la somme des puissances de 2 qui sont présentes. Ainsi, 11 101 011_deux = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2¹ + 2⁰ = 235_dix.

v Pour convertir en binaire un nombre écrit dans le système décimal, on décompose le nombre en la somme de puissances de 2. On identifie la plus grande puissance de 2 qui est inférieure au nombre à convertir. On soustrait le nombre correspondant à cette puissance. On refait la même opération jusqu’à ce que la somme des puissances soit égale au nombre donné. 

Soit 235_dix à convertir en binaire. La plus grande puissance inférieure à 235 est 2⁷ = 128. Il reste 235 - 128 = 107. La plus grande puissance inférieure à 107 est 2⁶ = 64. Il reste 107 - 64 = 43. La plus grande puissance inférieure à 43 est 2⁵ = 32. Il reste 43 - 32 = 11. La plus grande puissance inférieure à 11 est 2³ = 8. Il reste 11 - 8 = 3 qui est égal à 2¹ + 2⁰. Bref, 235 = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2¹ + 2⁰. 

Le nombre en binaire aura huit chiffres, soit la quantité possible de puissances de 2 qui composent ce nombre. Le chiffre 1 correspond à la présence d’une puissance de 2 et, 0 à l’absence d’une telle puissance. De gauche à droite, les trois premiers chiffres sont 1 (puissances 7, 6 et 5) ; le quatrième est 0 (absence de la puissance 4) ; le cinquième est 1 (puissance 3) ; le sixième est 0 (absence de la puissance 2) ; les deux derniers sont 1 (puissances 1 et 0). Bref, 235_dix = 11 101 011_deux.

v Une autre façon de convertir en binaire un nombre écrit dans le système décimal s’appuie sur la théorie des restes. Soit 235_dix à convertir en binaire. On divise 235 par 2 ; le quotient est 117 et le reste est 1. Comme le tableau l’illustre, on continue à diviser successivement chacun des quotients par 2 et on note le reste. On forme le nombre binaire correspondant avec les restes lus de droite à gauche.

Aussi, 235_dix = 11 101 011_deux.

© Charles-É. Jean

Voir aussi Numération binaire dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives.