Suite

Ensemble de nombres qui se succèdent dans un ordre déterminé et qui se déduisent généralement les uns des autres selon des règles précises. Les nombres qui forment une suite sont appelés termes. 

Un terme qui apparaît immédiatement après un autre est dit le successeur. Celui qui apparaît immédiatement avant est dit le prédécesseur. 

Une suite est dite finie si le nombre de termes est déterminé. Par exemple, 3, 7, 11, 15, 19 est une suite finie de cinq termes. 

Elle est infinie si aucune limite n’est fixée. Par exemple, 1, 4, 7, 10, ... est une suite qui se continue indéfiniment.

Suite arithmétique
Suite de nombres tels que chacun est égal au prédécesseur augmenté d’un nombre constant. Par exemple, les multiples de 3 en ordre numérique forment une suite arithmétique. Une suite arithmétique est parfois appelée progression arithmétique.

Raison d’une suite arithmétique
Le nombre constant qu’on additionne est appelé raison. Ce nombre est la différence entre un terme quelconque et son prédécesseur. 

Si la raison est positive, la suite est dite croissante. Par exemple, 1, 3, 5, 7, ... est une suite arithmétique croissante dont la raison est 2. 

Si la raison est négative, la suite est dite décroissante. Par exemple, 30, 27, 24, 21, ... est une suite arithmétique décroissante dont la raison est -3.

Règle d’une suite arithmétique
Expression algébrique en n qui détermine une suite en attribuant successivement à n les valeurs 1, 2, 3, 4, etc. Soit à établir la règle de la suite 1, 3, 5, 7, 9, ... dont n est le rang du terme,

1^er On trouve la raison de la suite. On fait, par exemple, 3 - 1 = 2.

2^e On multiplie la raison et n. On a 2n.

3^e On prend le premier terme de la suite et on y soustrait la raison. On fait 1 - 2 = -1.

4^e On additionne les deux derniers résultats. La règle est donc (2n - 1).

En remplaçant n successivement par 1, 2, 3, 4, 5, ... dans (2n - 1), on trouve les termes de la suite donnée.

Terme de rang donné d’une suite arithmétique
n On peut déterminer un terme de rang donné sans connaître tous les prédécesseurs. Soit à trouver le 20^e terme de la suite : 2, 7, 12, 17, 22, ...

1^er On trouve la raison de la suite. On fait, par exemple, 7 - 2 = 5.

2^e On multiplie la raison par le rang du terme diminué de 1. On fait 5 × (20 - 1) = 95.

3^e On additionne le dernier résultat et le premier terme. On fait 95 + 2 = 97. Le 20^e terme est 97.

n On peut aussi trouver la règle de la suite qui est (5n - 3) et remplacer n par 20.

De façon générale, un terme de rang donné est égal au premier terme augmenté d’autant de fois la raison qu’il y a de termes après lui.

Formation d’une suite arithmétique
Connaissant deux nombres, on peut insérer entre les deux autant de termes que l’on veut. Soit à insérer cinq termes entre 1 et 4,

1^er On soustrait les deux termes connus. On fait 4 - 1 = 3.

2^e On divise le résultat par le nombre de termes intermédiaires plus un. On fait 3 ÷ (5 + 1) = ½. La raison de la suite est ½.

Les termes intermédiaires sont 1½, 2, 2½, 3, 3½. Ces termes intermédiaires sont appelés moyens arithmétiques.

Somme des termes d’une suite arithmétique
n Soit à additionner des termes comme ceux de la suite des entiers naturels. On dispose d'abord les termes de telle manière que le premier est associé au dernier, le deuxième à l'avant-dernier, le troisième au prédécesseur de l'avant-dernier et ainsi de suite. On peut écrire :

La somme des termes de chaque colonne est 13. Comme il y a six colonnes, alors la somme est 13 × 6 = 78. 

De façon générale, dans une suite arithmétique, la somme de deux termes également distants des extrêmes est constante et est égale à la somme des extrêmes. Par exemple, dans la suite 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, les termes 11 et 27 sont à deux termes des extrêmes, leur somme est 38, comme pour les extrêmes. 

On peut donc dire que la somme des termes d’une suite arithmétique est égale à la demi-somme des extrêmes multipliée par le nombre de termes.

n Pour trouver la somme des 13 termes d’une suite dont le premier terme est 3 et le dernier 51,

1^er On additionne le premier terme et le dernier. On fait 3 + 51 = 54.

2^e On multiplie la somme par le nombre de termes et on divise par 2. On fait 54 × 13 ÷ 2 = 351. La somme est 351.

n Pour trouver la somme des 20 termes d’une suite dont le premier terme est 4 et dont la raison est 9,

1^er On trouve la règle de la suite. On a (9n - 5).

2^e On trouve le dernier terme. On a 9 × 20 - 5 = 175.

3^e On additionne le premier et le dernier terme. On a 4 + 175 = 179.

4^e On multiplie la somme par le nombre de termes et on divise par 2. On fait 179 × 20 ÷ 2 = 1790.

n Soit S la somme des termes, n le nombre de termes, a le premier terme et z le dernier terme, on peut trouver la somme des termes en appliquant la formule suivante : S = n(a + z)/2. Exemple : Trouvez la somme des termes de la suite : 3, 7, 11, 15, ... , 43, 47, 51. Cette suite a 13 termes. Le premier terme est 3, le dernier 51. On écrira : S = 13(3 + 51)/2 = 351. Lorsque le dernier terme n'est pas connu, il faut d'abord le trouver.

Si la suite arithmétique est décroissante, on peut considérer le plus petit terme comme le premier et le plus grand comme le dernier.

Suite géométrique
Suite de nombres tels que chacun est égal au prédécesseur multiplié par un nombre constant. Par exemple, 3, 6, 12, 24, 48, ... forment une suite géométrique dont le nombre constant est 2. Une suite géométrique est parfois appelée progression géométrique.

Raison d’une suite géométrique
Le nombre constant qu’on multiplie est appelé raison. Si la raison est supérieure à 1, la suite est dite croissante. Par exemple, 2, 6, 18, 54, 162, ... est une suite géométrique croissante dont la raison est 3. 

Si la raison est inférieure à 1, la suite est dite décroissante. Par exemple, 160, 80, 40, 20, ... est une suite géométrique décroissante dont la raison est ½.

Règle d’une suite géométrique
Soit à établir la règle de la suite 2, 6, 18, 54, 162, ... dont n est le rang du terme,

1^er On trouve la raison de la suite. On fait, par exemple, 6 ÷ 2 = 3.

2^e On élève la raison à la puissance (n - 1). On a 3^n-1.

3^e On multiplie l’expression précédente par le premier terme. La règle est 2 × 3^n-1.

En remplaçant n successivement par 1, 2, 3, 4, 5, ... dans 2 × 3^n-1, on trouve les termes de la suite donnée.

Terme de rang donné d’une suite géométrique
Pour trouver un terme de rang donné, on trouve la règle de la suite et on remplace n par le rang du terme. Par exemple, si la règle d’une suite est 2 × 4^n-1, le quatrième terme est 2 × 4³ = 128.

Formation d’une suite géométrique
Connaissant deux nombres, on peut insérer entre les deux autant de termes que l’on veut. Soit à insérer quatre termes entre 3 et 3072,

1^er On divise les deux termes donnés. On fait 3072 ÷ 3 = 1024.

2^e On trouve la raison de la suite en extrayant la racine dont l’indice du radical est égal au nombre de termes intermédiaires plus un. On extrait la racine cinquième de 1024 qui est 4.

La raison de la suite est 4 et les termes intermédiaires sont 12, 48, 192, 768. Ces termes intermédiaires sont appelés moyens géométriques.

Somme des termes d’une suite géométrique

n Soit une suite géométrique dont le premier terme est 2, la raison 3 et le dernier terme 486, pour trouver la somme des termes,
1^er On multiplie le dernier terme par la raison. On fait 486 × 3 = 1458.

2^e On y soustrait le premier terme. On fait 1458 - 2 = 1456.

3^e On prend la raison et on y soustrait 1. On fait 3 - 1 = 2.

4^e On divise les deux derniers résultats. On fait 1456 ÷ 2 = 728. La somme est 728.

n Soit une suite de cinq termes dont le premier est 4 et dont la raison est 3, pour trouver la somme des termes,

1^er On élève la raison à une puissance égale au nombre de termes. On a 3⁵.

2^e On soustrait 1 au dernier résultat. On fait 3⁵ - 1 = 242.

3^e On multiplie le dernier résultat par le premier terme. On fait 242 × 4 = 968.

4^e On divise le dernier résultat par la raison diminuée de 1. On fait 968 ÷ 2 = 484. La somme est 484.

Si la suite géométrique est décroissante, on peut considérer le plus petit terme comme le premier et le plus grand comme le dernier.

Autres suites
Il existe des suites de nombres autres que les suites arithmétiques ou géométriques. Pour celles-ci, il peut y avoir plusieurs nombres constants qui reviennent plus ou moins périodiquement. Voici quelques exemples :

n Une même opération avec deux opérateurs ou plus comme dans la suite, 4, 8, 24, 48, 144, .... où on fait successivement × 2 et × 3.

n Plus d’une opération comme dans la suite 1, 4, 8, 4, 7, 14, 10, 13, ... où on fait successivement + 3, × 2, - 4.

n Répétition d’un ou plusieurs nombres comme dans la suite, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ... où on a des entiers consécutifs écrits deux fois.

n Insertion d’un nombre de façon périodique comme dans la suite, 3, 6, 10, 9, 12, 10, 15, ... où le 10 apparaît à tous les trois termes dans la suite arithmétique 3, 6, 9, 12, 15, ...

n Insertion d’une suite de façon périodique dans une autre suite comme dans la suite 3, 4, 6, 7, 12, 10, 24, 13, ...où on a la suite géométrique 3, 6, 12, 24, ... et la suite arithmétique 4, 7, 10, 13, ... qui s’intercalent de deux en deux.

n Répétition d’un chiffre selon le nombre qu’il représente comme dans la suite 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ...

Voir Suite dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives.

Quelques problèmes
Vous trouverez ci-dessous 10 problèmes concernant ce sujet. Les solutions sont données à la fin.

Problème 1. Ils sont 20 enfants dans une classe. Le premier met une bille dans un sac, le deuxième trois billes dans le même sac, le troisième cinq billes et ainsi de suite jusqu’au 20^e enfant en augmentant toujours de deux billes. À la fin, combien y aura-t-il de billes dans le sac ?

Problème 2. Cinq amis sont placés en ligne droite. Le premier à gauche a cinq livres et le dernier à droite 17 livres. Entre chaque ami, il y a un même nombre de livres. Combien les cinq amis ont-ils de livres ensemble ?

Problème 3. Benjamine vend des roses à cinq groupes de personnes. Chaque groupe en achète deux fois moins que le précédent. Le groupe de Michel en a acheté 160 : ce qui est le plus gros achat. Combien Benjamine a-t-elle vendu de roses ?

Problème 4. Paul prend 12 jetons numérotés 1 à 12. Combien peut-il faire de suites arithmétiques dont la raison est 3 et qui ont au moins trois termes ?

Problème 5. Marc a rêvé qu’il vendait des chevaux. On lui donnait 20 sous pour le premier, 27 sous pour le deuxième, 34 sous pour le troisième, 41 sous pour le quatrième cheval et ainsi de suite. Marc a récolté un peu plus de 1000 sous. Combien Marc a-t-il vendu de chevaux ?

Problème 6. Chaque jour, Christiane plante des fleurs. Le premier jour, elle en plante 3, le deuxième 7, le troisième 11 et ainsi de suite en augmentant de quatre fleurs par jour. Combien plantera-t-elle de fleurs le 20^e jour ?

Problème 7. Un puits contient entre 900 et 1000 litres d’eau. Chaque jour, Denis le vide de moitié. Après combien de jours restera-t-il moins de 10 litres d’eau ?

Problème 8. Mélanie place deux billes en une première rangée, cinq billes en une deuxième rangée et ainsi de suite en augmentant de trois billes par rangée. Dans quelle rangée apparaîtra la 200^e bille placée par Mélanie ?

Problème 9. Émilie a produit ces quatre figures avec des sous noirs en suivant une certaine règle.

Combien de sous noirs y aura-t-il de plus dans la rangée inférieure de la 20^e figure que dans la rangée supérieure ?

Problème 10. Dans une école, on place les élèves en rangées. Sur la première rangée, il y a 12 élèves, sur la deuxième 14 élèves, sur la troisième 16 élèves et ainsi de suite en augmentant de deux élèves par rangée. Combien peut-on former de rangées s’il y a entre 200 et 220 élèves ?

Solutions
Solution 1. La suite est 1, 3, 5, 7, ... En faisant la somme des deux premiers, on obtient 4 ; puis 9 pour les trois premiers ; puis 16 pour les quatre premiers. La somme est toujours un carré qui est celui du rang du terme. La somme totale est 20². À la fin, il y aura 400 billes dans le sac.

© Charles-É. Jean

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