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"Dans la Rome
antique, l’empereur a fait construire une écurie comprenant 25 stalles
agencées comme ci-après. En parcourant la campagne, il a déniché cinq fiers
chevaux qu’il a expropriés. Il les a nommés : Albinus, Boulinus,
Camerius, Dominus et Equinus. Le chevalier Magnus a logé les chevaux selon l’édit
de l’empereur. Le 1er
mois, il les a placés en ordre selon leur initiale dans la première rangée de
stalles. Le 2e
mois, il a repris le même ordre, en commençant par la 2e
stalle et en ramenant E à la 1ère
stalle. Il a fait de même les trois autres mois de façon circulaire en
commençant par une stalle suivante. Voici la disposition des chevaux pendant
les cinq premiers mois :
Dans chaque rangée
horizontale et dans chaque rangée verticale, le même cheval a occupé une
stalle une seule fois. Magnus a ainsi formé un carré latin. Après cette
première configuration, Magnus a disposé autrement ses chevaux en respectant
deux règles.
1. La disposition est
toujours la même dans la première rangée horizontale.
2. Les chevaux sont toujours dans un même ordre circulaire.
Le roi a promis au chevalier Magnus qu’il conserverait son titre tant que les configurations
différentes n’auront pas toutes été réalisées. Combien de temps Magnus
pourra-t-il conserver son titre ?"
Analyse et extension du problème
Le problème revient à trouver le nombre de
carrés latins qui peuvent être formés lorsque la première rangée
horizontale ne change pas et que les chevaux sont toujours dans le même ordre
circulaire. Dans la configuration donnée, le cheval A occupe successivement les
colonnes [1, 2, 3, 4, 5]. Dans les configurations suivantes, le cheval A pourra
occuper les colonnes [1, 2, 3, 5, 4], [1, 2, 4, 3, 5], [1, 2, 4, 5, 3], [1, 2,
5, 3, 4] et [1, 2, 5, 4, 3]. D’où, il y a six configurations possibles
lorsque les chevaux sont placés en ordre alphabétique, A étant dans la case
supérieure gauche.
|
A |
B |
C |
D |
E |
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A |
B |
C |
D |
E |
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A |
B |
C |
D |
E |
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A |
B |
C |
D |
E |
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A |
B |
C |
D |
E |
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E |
A |
B |
C |
D |
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E |
A |
B |
C |
D |
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E |
A |
B |
C |
D |
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E |
A |
B |
C |
D |
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E |
A |
B |
C |
D |
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D |
E |
A |
B |
C |
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C |
D |
E |
A |
B |
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C |
D |
E |
A |
B |
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B |
C |
D |
E |
A |
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B |
C |
D |
E |
A |
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B |
C |
D |
E |
A |
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D |
E |
A |
B |
C |
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B |
C |
D |
E |
A |
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D |
E |
A |
B |
C |
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C |
D |
E |
A |
B |
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C |
D |
E |
A |
B |
|
B |
C |
D |
E |
A |
|
D |
E |
A |
B |
C |
|
C |
D |
E |
A |
B |
|
D |
E |
A |
B |
C |
Outre la première ligne, on compte
quatre permutations. Aussi, on fait : 6 ´
4 = 24. Il y a 24 configurations possibles. Comme chaque
carré latin prend cinq mois à se réaliser, Magnus pourra conserver son poste
pendant 10 ans.
On peut modifier la règle 1 en faisant
varier la disposition sur la première rangée horizontale. Par exemple, il
existe 24 permutations quand la première lettre est A. Les voici :
|
A B C D E |
A C B D E |
A D B C E |
A E B C D |
|
A B C E D |
A C B E D |
A D B E C |
A E B D C |
|
A B D C E |
A C D B E |
A D C B E |
A E C B D |
|
A B D E C |
A C D E B |
A D C E B |
A E C D B |
|
A B E C D |
A C E B D |
A D E B C |
A E D B C |
|
A B E D C |
A C E D B |
A D E C B |
A E D C B |
Comme il y a cinq lettres, on fait 5 ´
24 = 120. L’arrangement de ces cinq lettres se fait en 120 permutations. Dans
la solution du problème, on a trouvé 24 carrés latins. Comme on a modifié la
règle 1, on fait 120 ´
24 = 2880. On aura donc 2880 carrés latins. Dans ce cas, Magnus pourrait
conserver son poste pendant 1200 ans.
1.0 Carrés latins remarquables
Les seules exigences pour avoir un carré latin
d’ordre n sont que les n éléments doivent être différents
dans chaque rangée horizontale et verticale. L’intérêt de cette classe de
carrés réside dans le fait qu’on peut enrichir ces règles de formation ou
en ajouter de nouvelles.
1.
Si chacune des deux diagonales est composée d’éléments différents, le
carré est dit diagonal.
2.
Si chaque diagonale contient un seul élément, le carré est dit antidiagonal.
3.
Si les diagonales brisées, partagées en deux parties égales, d’un carré
latin diagonal contiennent des éléments différents, ce carré est dit
pandiagonal.
4.
Si chaque paire d’éléments conjugués sur une diagonale est identique, le
carré est dit symétrique.
5.
Si les éléments de la première ligne et de la première colonne sont en ordre
naturel, le carré est dit normalisé.
6.
Si on peut superposer deux carrés latins pour donner un carré gréco-latin,
ces carrés sont dits orthogonaux ; si les deux carrés ne donnent pas un
carré gréco-latin, ils sont dits inextensibles.
7.
Si deux carrés latins ou plus sont formés selon une même règle, ils sont
dits réguliers.
1.1 Carrés latins diagonaux
Les carrés latins sont diagonaux quand les
éléments sont différents sur chacune des deux diagonales. Ces carrés peuvent
être associés aux carrés magiques car, comme pour ceux-ci, leurs propriétés
s’appliquent autant aux rangées horizontales, verticales et diagonales. Les
deux carrés latins diagonaux suivants sont aussi magiques.
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
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3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
Carrés latins diagonaux d’ordre 3
Il existe 12 carrés latins d’ordre 3 mais aucun n’est
diagonal. Dans chacun des trois carrés suivants, une diagonale reçoit le
triplet (1, 2, 3), mais le triplet de l’autre est formé successivement de 1,
de 2 et de 3 :
|
1 |
3 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
|
3 |
1 |
2 |
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2 |
1 |
3 |
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3 |
2 |
1 |
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2 |
3 |
1 |
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3 |
2 |
1 |
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1 |
3 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
Carrés latins diagonaux d’ordre 4
Il existe six carrés latins diagonaux d'ordre 4. Les
voici :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
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1 |
2 |
4 |
3 |
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1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
3 |
4 |
2 |
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1 |
4 |
3 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
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4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
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4 |
2 |
1 |
3 |
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3 |
2 |
1 |
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4 |
3 |
2 |
1 |
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2 |
1 |
4 |
3 |
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2 |
1 |
3 |
4 |
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3 |
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2 |
1 |
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2 |
4 |
3 |
1 |
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2 |
3 |
4 |
1 |
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2 |
1 |
4 |
3 |
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3 |
4 |
1 |
2 |
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4 |
3 |
1 |
2 |
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2 |
1 |
3 |
4 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
Chacun des quatre carrés 2 ´
2 des coins et le carré 2 ´
2 du centre sont formés de quadruplets (1, 2, 3, 4).
Carrés latins
diagonaux d’ordre 5
Voici comment on peut produire
des carrés latins diagonaux d’ordre 5 :
s
De préférence, on complète deux grilles à la fois (A1 et A2) qu’on appelle
jumelles.
s
On choisit un quintuplet qu’on écrit sur la première ligne des deux grilles.
Par exemple, (1, 2, 3, 4, 5).
s
Dans chacune des deux grilles, on place le chiffre du milieu du quintuplet (3)
dans un coin inférieur et l’un des deux chiffres restants, par exemple 4,
dans l’autre coin.
s
On place au centre de la grille le chiffre qui n’apparaît pas dans les coins,
soit 2.
s
On identifie les deux cases de la deuxième ligne qui peuvent recevoir le
médian de la grille, soit 2. On écrit ce chiffre dans chacune des deux grilles
dans une des positions trouvées. On place les 2 en zigzags symétriques comme
il est illustré.
s
On complète une diagonale dans les deux grilles B1 et B2.
s
On recherche une ou des cases qu’on peut compléter sans faire d’hypothèses.
s
On complète une grille.
s
On peut compléter l’autre grille en s’appuyant sur l’une ou l’autre des
propriétés suivantes :
-
Dans les deux grilles jumelles, le quintuplet de la cinquième ligne est le
même.
-
Dans les deux grilles jumelles, le quintuplet de la troisième colonne est le
même.
-
La croix du centre de toute grille (C) contient tous les chiffres différents,
de même que le X de toute grille (D).
Voici les huit carrés latins quand la
première ligne est formée de 1, 2, 3, 4, 5 dans cet ordre :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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2 |
5 |
4 |
1 |
3 |
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5 |
3 |
4 |
1 |
2 |
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2 |
4 |
5 |
3 |
1 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
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4 |
3 |
2 |
5 |
1 |
|
4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
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5 |
3 |
2 |
1 |
4 |
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5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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5 |
4 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
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3 |
1 |
4 |
5 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
D |
.
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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4 |
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1 |
2 |
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|
5 |
3 |
1 |
2 |
4 |
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3 |
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2 |
1 |
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|
4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
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2 |
3 |
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1 |
|
2 |
5 |
4 |
3 |
1 |
|
5 |
1 |
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3 |
2 |
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5 |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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4 |
1 |
2 |
5 |
3 |
|
4 |
3 |
5 |
2 |
1 |
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3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
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3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
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3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
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2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
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2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
| E |
|
F |
|
G |
|
H |
Les grilles (A, B), (C, D), (E, F), (G,
H) sont jumelles. Elles ont dans le même ordre leurs éléments sur la
cinquième ligne et dans la troisième colonne. Comme il y a 120 quintuplets
possibles avec les chiffres de 1 à 5, cela donne 960 carrés latins diagonaux.
À partir d’un carré latin diagonal tel A, on peut obtenir trois autres
carrés latins diagonaux par rotation (B, C et D) et quatre autres par symétrie
orthogonale (E, F, G, H).
|
1 |
2 |
4 |
3 |
5 |
|
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
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4 |
2 |
1 |
5 |
3 |
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5 |
1 |
3 |
2 |
4 |
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2 |
3 |
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1 |
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1 |
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2 |
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3 |
1 |
4 |
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3 |
4 |
1 |
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5 |
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2 |
1 |
3 |
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1 |
3 |
2 |
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3 |
1 |
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4 |
5 |
2 |
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1 |
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1 |
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2 |
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2 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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3 |
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1 |
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4 |
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3 |
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1 |
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1 |
2 |
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4 |
3 |
| A |
|
B |
|
C |
|
D |
.
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3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
|
5 |
3 |
4 |
2 |
1 |
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1 |
2 |
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3 |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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4 |
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2 |
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1 |
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1 |
3 |
2 |
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4 |
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2 |
3 |
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1 |
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2 |
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3 |
1 |
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3 |
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1 |
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1 |
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2 |
1 |
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3 |
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1 |
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3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
| E |
|
F |
|
G |
|
H |
En E, l’axe de symétrie est la
troisième ligne ; en F, c’est la deuxième colonne ; en G c’est
la première diagonale ; en H, c’est la diagonale de droite, toujours par
rapport à A. Ces huit carrés sont dits équivalents. Il existe donc 120
carrés latins diagonaux différents d’ordre 5.
Carrés latins diagonaux d’ordre 6
Dans les trois carrés latins diagonaux d’ordre 6
ci-après, les éléments 1, 2 et 3 sont dans les mêmes positions.
|
1 |
2 |
3 |
5 |
4 |
6 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
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2 |
3 |
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1 |
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3 |
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1 |
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5 |
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2 |
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1 |
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2 |
3 |
1 |
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5 |
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2 |
3 |
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6 |
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1 |
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2 |
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5 |
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1 |
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2 |
3 |
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4 |
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1 |
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2 |
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3 |
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5 |
2 |
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1 |
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3 |
6 |
4 |
2 |
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1 |
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3 |
6 |
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2 |
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1 |
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2 |
1 |
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3 |
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2 |
1 |
6 |
5 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
6 |
4 |
3 |
5 |
Carrés latins diagonaux d’ordre 7
Dans les deux carrés latins diagonaux d’ordre 7
ci-après, chaque ligne est formée par la suite des entiers de 1 à 7 en ordre
croissant et circulaire. La première ligne ne change pas. Les autres lignes
proviennent de la symétrie orthogonale par rapport à la droite qui sépare les
lignes 4 et 5.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
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3 |
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6 |
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1 |
2 |
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6 |
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1 |
2 |
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4 |
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4 |
5 |
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1 |
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7 |
1 |
2 |
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4 |
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2 |
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4 |
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6 |
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2 |
3 |
4 |
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7 |
1 |
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7 |
1 |
2 |
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5 |
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4 |
5 |
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2 |
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6 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
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6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
1.2 Carrés latins pandiagonaux
Dans les carrés latins diagonaux, les
éléments sont différents autant orthogonalement que dans les deux diagonales.
Les carrés pandiagonaux ont une propriété additionnelle. Chaque diagonale
brisée contient des éléments différents. Il n'existe pas de carré latin
pandiagonal d'ordre inférieur à 5. Dans des carrés d’ordre 5, on compte
quatre diagonales brisées (1 case, 4 cases) et quatre diagonales brisées (2
cases, 3 cases). Une diagonale brisée est illustrée dans chacun de ces quatre
carrés latins pandiagonaux d’ordre 5.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
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2 |
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1 |
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2 |
3 |
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1 |
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4 |
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1 |
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1 |
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3 |
4 |
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4 |
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1 |
2 |
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5 |
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3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
Chaque ligne est composée du quintuplet
(1, 2, 3, 4, 5) dans l’ordre cyclique. On utilise cinq permutations par ligne
et cinq autres permutations par colonne.
h
On peut former des carrés latins pandiagonaux en
procédant ainsi :
1.
On choisit un quintuplet qu’on écrit dans l’ordre sur la première ligne.
2.
Pour la deuxième ligne, on commence l’écriture du quintuplet à la
troisième case en respectant l’ordre cyclique.
3.
Pour chaque autre ligne, on commence l’écriture du quintuplet successivement
à la cinquième, deuxième et quatrième case.
Voici deux carrés formés ainsi :
|
1 |
3 |
2 |
4 |
5 |
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1 |
4 |
2 |
5 |
3 |
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4 |
5 |
1 |
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2 |
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5 |
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3 |
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1 |
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4 |
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1 |
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1 |
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5 |
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2 |
4 |
5 |
1 |
3 |
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2 |
5 |
3 |
1 |
4 |
h On peut aussi procéder en considérant les
diagonales brisées
1.
On choisit un quintuplet qu’on écrit dans l’ordre sur une diagonale brisée
ou sur la diagonale principale.
2.
On écrit quatre autres fois le même quintuplet en ordre cyclique sur les
diagonales (brisées ou principales) parallèles aux premières.
Le quintuplet (2, 3, 4, 5, 1) est choisi
pour le premier carré et (1, 2, 5, 3, 4) pour le second carré.
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1 |
3 |
5 |
2 |
4 |
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1 |
3 |
2 |
4 |
5 |
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5 |
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1 |
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4 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
3 |
5 |
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2 |
4 |
5 |
1 |
3 |
1.3 Carrés latins antidiagonaux
Les carrés latins diagonaux ont des éléments différents dans
chacune des deux diagonales. Les diagonales des carrés latins antidiagonaux
sont composées d’éléments identiques. Seuls les carrés latins d’ordre
pair peuvent être antidiagonaux car leurs diagonales n’ont pas d’éléments
communs. En choisissant une paire de nombres pour les
diagonales d’un carré d’ordre 4, on peut former trois carrés antidiagonaux
différents. Voici les trois carrés antidiagonaux quand les diagonales
reçoivent respectivement quatre 1 et quatre 2 :
|
1 |
3 |
4 |
2 |
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1 |
3 |
4 |
2 |
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1 |
4 |
3 |
2 |
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3 |
1 |
2 |
4 |
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4 |
1 |
2 |
3 |
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4 |
1 |
2 |
3 |
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4 |
2 |
1 |
3 |
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3 |
2 |
1 |
4 |
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3 |
2 |
1 |
4 |
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2 |
4 |
3 |
1 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
On peut choisir cinq autres
paires : (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) et (3, 4). Il existe donc 18
carrés latins antidiagonaux d'ordre 4.
Les deux carrés antidiagonaux d’ordre
6 suivants reçoivent sur leurs diagonales la paire (1, 2) pour le premier
et la paire (1, 6) pour le second. Le dernier carré est normalisé.
|
1 |
5 |
6 |
3 |
4 |
2 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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6 |
1 |
5 |
4 |
2 |
3 |
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2 |
1 |
4 |
5 |
6 |
3 |
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5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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3 |
4 |
1 |
6 |
2 |
5 |
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3 |
4 |
2 |
1 |
6 |
5 |
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4 |
5 |
6 |
1 |
3 |
2 |
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4 |
2 |
3 |
5 |
1 |
6 |
|
5 |
6 |
2 |
3 |
1 |
4 |
|
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
1 |
|
6 |
3 |
5 |
2 |
4 |
1 |
Un carré latin antidiagonal peut avoir
des propriétés additionnelles. Voici deux exemples :
1. Chacune des deux diagonales brisées,
partagées en deux parties égales, a des éléments identiques.
|
3 |
1 |
2 |
4 |
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4 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
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1 |
3 |
4 |
2 |
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1 |
4 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
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2 |
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3 |
1 |
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3 |
2 |
4 |
1 |
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4 |
3 |
2 |
1 |
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4 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
Les diagonales sont formées
successivement des paires (1, 2), (1, 3) et (1, 4).
2. Chacune des deux diagonales brisées,
partagées en deux parties égales, est constituée des mêmes éléments mais
différents.
|
3 |
1 |
2 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
3 |
2 |
4 |
1 |
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4 |
3 |
2 |
1 |
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1 |
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3 |
2 |
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1 |
4 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
4 |
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4 |
2 |
1 |
3 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
Les diagonales sont formées
successivement des paires (1, 2), (1, 3) et (1, 4). Un carré latin antidiagonal
n’est généralement pas un carré magique.
1.4 Carrés latins symétriques
Toute paire d’éléments situés à égale
distance du centre ou d'un axe central d'une grille carrée est appelée
conjuguée ou symétrique. Un carré latin est dit symétrique lorsque, dans
chaque diagonale, les paires d’éléments conjugués sont formés d’éléments
identiques. Trois cas peuvent se présenter.
1. Chaque diagonale a deux paires d’éléments.
Dans le premier carré, chaque diagonale contient une paire 1 et une paire 3.
|
1 |
2 |
4 |
3 |
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1 |
2 |
4 |
3 |
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1 |
2 |
4 |
3 |
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1 |
2 |
4 |
3 |
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2 |
3 |
1 |
4 |
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3 |
4 |
2 |
1 |
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4 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
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4 |
1 |
3 |
2 |
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4 |
3 |
1 |
2 |
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2 |
1 |
3 |
4 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
2. Une diagonale a deux paires d’éléments ;
les quatre éléments de l’autre sont identiques. Dans le premier carré, la
première diagonale contient quatre 1 ; la seconde diagonale contient une
paire 3 et une paire 4.
|
1 |
2 |
4 |
3 |
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1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
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1 |
2 |
4 |
3 |
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2 |
1 |
3 |
4 |
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2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
3. Chacune des deux diagonales a des
éléments identiques. Dans le premier carré, la première diagonale contient
quatre 1 ; la seconde diagonale contient quatre 3.
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
Ces deux derniers carrés sont
antidiagonaux.
1.5 Carrés latins normalisés
Un carré latin est normalisé si la première
ligne et la première colonne contiennent n lettres ou n entiers
dans l'ordre naturel : A, B, C, ... , 1, 2, 3, ... Un carré latin normalisé ne
peut pas être diagonal. Voici les quatre carrés latins normalisés d'ordre 4 :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
Les deux premiers carrés sont
antidiagonaux. Il existe 56 carrés latins normalisés d’ordre 5. En voici
trois :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
2 |
3 |
5 |
1 |
4 |
|
2 |
1 |
4 |
5 |
3 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
5 |
1 |
|
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
3 |
5 |
1 |
2 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
1 |
4 |
3 |
2 |
|
5 |
4 |
2 |
3 |
1 |
Il existe 9408 carrés latins
normalisés d’ordre 6. En voici trois :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
2 |
1 |
4 |
5 |
6 |
3 |
|
2 |
3 |
6 |
1 |
4 |
5 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
|
3 |
6 |
1 |
2 |
4 |
5 |
|
3 |
6 |
5 |
2 |
1 |
4 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
1 |
3 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
5 |
6 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
|
5 |
3 |
2 |
6 |
1 |
4 |
|
5 |
4 |
1 |
6 |
3 |
2 |
|
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
6 |
4 |
5 |
3 |
2 |
1 |
|
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Il existe 16 942 080 carrés latins
normalisés d’ordre 7. En voici deux :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
2 |
1 |
7 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
|
3 |
6 |
1 |
2 |
7 |
4 |
5 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
|
4 |
7 |
5 |
1 |
6 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
|
5 |
3 |
4 |
6 |
1 |
7 |
2 |
|
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
6 |
5 |
2 |
7 |
3 |
1 |
4 |
|
6 |
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
7 |
4 |
6 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|
7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Connaissant le nombre de carrés latins
normalisés d’un ordre donné, on peut déterminer le nombre de carrés latins
de cet ordre en appliquant la formule suivante. Soit q le nombre de
carrés latins normalisés d’ordre n, le nombre total de carrés latins
est : q × n! × (n - 1)!. Par exemple, comme il y a 56
carrés latins normalisés d’ordre 5, on compte 56 × 5! × 4! = 161 280
carrés latins d’ordre 5.
1.6 Carrés latins orthogonaux
Un carré latin d'ordre n est orthogonal
à un autre de même ordre si la superposition des éléments correspondants
donne un arrangement carré des n2 paires ordonnées qui
apparaissent une seule fois. En d’autres mots, deux carrés latins sont
orthogonaux quand leur superposition produit un carré gréco-latin.
1. Il existe 36 paires de
carrés latins orthogonaux d’ordre 3. En voici une paire :
|
A |
B |
C |
|
A |
C |
B |
|
AA |
BC |
CB |
|
B |
C |
A |
|
B |
A |
C |
|
BB |
CA |
AC |
|
C |
A |
B |
|
C |
B |
A |
|
CC |
AB |
BA |
Le carré de droite est un carré gréco-latin.
2. Il existe 3456 paires de carrés latins orthogonaux d’ordre
4. En voici une paire :
|
B |
A |
D |
C |
|
G |
H |
E |
F |
|
BG |
AH |
DE |
CF |
|
D |
C |
B |
A |
|
F |
E |
H |
G |
|
DF |
CE |
BH |
AG |
|
C |
D |
A |
B |
|
H |
G |
F |
E |
|
CH |
DG |
AF |
BE |
|
A |
B |
C |
D |
|
E |
F |
G |
H |
|
AE |
BF |
CG |
DH |
Le carré de droite est un carré gréco-latin. Il n'existe
pas de paires de carrés latins orthogonaux d’ordre 6.
1.7 Carrés latins réguliers
Des carrés latins sont dits réguliers lorsqu’ils
appartiennent à un ensemble formé selon une même règle. Voici quatre classes
de carrés latins réguliers :
1. Il existe 12 carrés latins
réguliers d'ordre 4 dans lesquels les éléments sont dans le même ordre
cyclique sur chaque ligne. En voici quatre où, sur chaque ligne, l’on trouve
1, 2, 3 et 4 dans l'ordre cyclique :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2. Les six carrés latins suivants
reçoivent les quatre éléments différents dans chacun des quatre carrés 2 ´
2 des coins et dans le carré 2 ´
2 central.
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
3. Dans les quatre carrés latins
ci-dessous, la première ligne et la première colonne sont respectivement
identiques d'un carré à l'autre.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
4. Les deux carrés latins suivants d’ordre
6 sont composés de six rectangles, chacun contenant les nombres de 1 à 6.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
|
3 |
1 |
2 |
6 |
4 |
5 |
|
5 |
4 |
6 |
2 |
1 |
3 |
|
6 |
4 |
5 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
2 |
6 |
4 |
5 |
|
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
|
4 |
6 |
5 |
1 |
3 |
2 |
|
5 |
6 |
4 |
2 |
3 |
1 |
Le sudoku appartient à cette classe.
2.0 Formation de carrés magiques
Philippe de La Hire (1640-1718) a montré
comment on peut former des carrés magiques normaux
en additionnant les éléments correspondants de deux carrés latins. Voici
trois exemples :
1. On forme deux carrés latins, de
préférence diagonaux, le premier avec les nombres de 1 à 4, le deuxième avec
les nombres 0, 4, 8 et 12. On fait la somme des éléments correspondants, ce
qui donne un carré magique normal.
|
2 |
3 |
4 |
1 |
+
|
4 |
8 |
0 |
12 |
=
|
6 |
11 |
4 |
13 |
|
1 |
4 |
3 |
2 |
0 |
12 |
4 |
8 |
1 |
16 |
7 |
10 |
|
3 |
2 |
1 |
4 |
12 |
0 |
8 |
4 |
15 |
2 |
9 |
8 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
8 |
4 |
12 |
0 |
12 |
5 |
14 |
3 |
2. Chaque ligne du premier carré est formée des entiers de 1 à 5 dans l’ordre
naturel, le 1 étant décalé de deux cases d’une ligne à l’autre comme
pour le saut du cavalier. Chaque ligne du deuxième carré est formée de 0, 5,
20, 10, 15 dans cet ordre, le 0 étant décalé de trois cases d’une ligne à
l’autre. On fait la somme des éléments correspondants, ce qui donne un
carré magique normal.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
+
|
0 |
5 |
20 |
10 |
15 |
=
|
1 |
7 |
23 |
14 |
20 |
|
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
20 |
10 |
15 |
0 |
5 |
24 |
15 |
16 |
2 |
8 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
15 |
0 |
5 |
20 |
10 |
17 |
3 |
9 |
25 |
11 |
|
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
20 |
10 |
15 |
0 |
10 |
21 |
12 |
18 |
4 |
|
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
10 |
15 |
0 |
5 |
20 |
13 |
19 |
5 |
6 |
22 |
3. Bernard Violle en 1837 a appliqué ce
procédé aux carrés d’ordre 7. Voici ce qu’il a produit :
|
3 |
7 |
2 |
5 |
6 |
1 |
4 |
+
|
14 |
42 |
0 |
21 |
7 |
28 |
35 |
=
|
17 |
49 |
2 |
26 |
13 |
29 |
39 |
|
6 |
1 |
4 |
3 |
7 |
2 |
5 |
0 |
21 |
7 |
28 |
35 |
14 |
42 |
6 |
22 |
11 |
31 |
42 |
16 |
47 |
|
7 |
2 |
5 |
6 |
1 |
4 |
3 |
7 |
28 |
35 |
14 |
42 |
0 |
21 |
14 |
30 |
40 |
20 |
43 |
4 |
24 |
|
1 |
4 |
3 |
7 |
2 |
5 |
6 |
35 |
14 |
42 |
0 |
21 |
7 |
28 |
36 |
18 |
45 |
7 |
23 |
12 |
34 |
|
2 |
5 |
6 |
1 |
4 |
3 |
7 |
42 |
0 |
21 |
7 |
28 |
35 |
14 |
44 |
5 |
27 |
8 |
32 |
38 |
21 |
|
4 |
3 |
7 |
2 |
5 |
6 |
1 |
21 |
7 |
28 |
35 |
14 |
42 |
0 |
25 |
10 |
35 |
37 |
19 |
48 |
1 |
|
5 |
6 |
1 |
4 |
3 |
7 |
2 |
28 |
35 |
14 |
42 |
0 |
21 |
7 |
33 |
41 |
15 |
46 |
3 |
28 |
9 |
3.0 Autres classes de carrés latins
On peut définir d’autres classes de carrés latins. En voici
cinq :
1. Ceux dont les permutations sont identiques horizontalement
et verticalement. Ces quatre carrés d’ordre 4 reçoivent le quadruplet (1, 2,
4, 3) dans la première rangée horizontale et dans la première rangée
verticale.
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
On compte 96 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.
2. Ceux dont les éléments conjugués sont complémentaires
sur chaque ligne et dans chaque colonne. La somme des éléments conjugués est
5 : (1, 4) et (2, 3).
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
3 |
2 |
4 |
|
1 |
3 |
2 |
4 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
On compte 48 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.
3. Ceux dont les permutations sont circulaires autant pour
les lignes que pour les colonnes comme si le carré était un cylindre. Dans le
premier carré, on a 1, 2, 3, 4 ; dans le second, on a 1, 2, 4, 3.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
1 |
2 |
4 |
On compte 24 carrés latins de cette classe.
4. Ceux qui peuvent être partagés en compartiments tels que
les nombres de 1 à n apparaissent dans chacun d’eux. Voici
six carrés d’ordre 4 partagés chacun en quatre compartiments :
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
Le graphe de chaque compartiment est donné de 1 à 4.
On compte 288 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.
5. Ceux qui peuvent être partagés en compartiments tels que
les nombres de 1 à n apparaissent dans chacun d’eux et en plus dans le
carré 2 ´ 2 du centre. Voici six carrés d’ordre
4 partagés chacun en quatre compartiments :
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
4 |
1 |
3 |
2 |
Le graphe de chaque compartiment est donné de 1 à 4.
On compte 288 carrés latins d’ordre 4 de cette classe.
Conclusion
Dans son troisième mémoire intitulé Recherches sur une nouvelle
espèce de quarrés magiques, et publié en 1782 dans les Comptes rendus
de la Société des Sciences de Flessingue, Euler introduit son sujet
ainsi : "Une question fort curieuse, qui a exercé pendant quelque
temps la sagacité de bien du monde, m’a engagé à faire les recherches
suivantes, qui semblent avoir une nouvelle carrière dans l'analyse, et en
particulier dans la doctrine des combinaisons. Cette question roulait sur une
assemblée de trente-six officiers de six différents grades et tirés de six
régiments différents qu'il s'agissait de ranger dans un carré, de manière
que sur chaque ligne, tant horizontale que verticale, il se trouvât six
officiers tant de différents caractères que de régiments différents. Or,
après toutes les peines qu'on s'est données pour résoudre ce problème, on a
été obligé de reconnaître qu'un tel arrangement est absolument impossible,
quoiqu'on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse."
En langage mathématique, le problème des officiers consiste
à se demander s’il existe un carré gréco-latin d’ordre 6. Ce problème a
ouvert la porte à des recherches sur la formation de carrés magiques, mais
aussi de carrés latins. ç
|
