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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Normal
° Carré magique normal. – Carré magique d'ordre n dont les éléments sont les entiers consécutifs de 1 à n2. Il existe un carré magique normal d'ordre 3, 880 d'ordre 4 et 275 305 224 d'ordre 5, sans tenir compte des carrés obtenus par rotation et par symétrie. C'est Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) qui fut le premier à déterminer le nombre de carrés magiques normaux d'ordre 4. Le nombre de carrés magiques normaux d'ordre 5 est attribué à Richard Schroeppel qui l’a établi en 1973. On ne connaît pas le nombre de carrés magiques normaux pour chaque ordre supérieur à 5.

Il n'existe pas de procédé qui permettrait de former tous les carrés magiques normaux de n'importe quel ordre. Toutefois, on connaît des procédés, d'une part pour les ordres pairs, d'autre part pour les ordres impairs. Dans un carré magique normal d'ordre n, la densité est égale à n(n2 + 1)/2. La densité de tout carré magique normal d'ordres 3 à 12 est donnée ci-dessous.

 Ordre

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 Densité

15

34

65

111

175

260

369

505

671

870

La suite des nombres correspondant à la densité est formée par le troisième nombre hexagonal, le quatrième nombre heptagonal, le cinquième nombre octogonal, le sixième nombre ennéagonal, le septième nombre décagonal et ainsi de suite.

Voici un carré magique normal pour chaque ordre de 3 à 9 :

8

1

6

3

5

7

4

9

2

C’est l’unique carré magique d’ordre 3. Lorsqu’on déplace ses éléments par rotation autour du centre ou par symétrie par rapport à un axe, on peut construire sept autres carrés magiques. Ceux-ci sont dits équivalents.

* * * * *

1

4

14

15

13

16

2

3

8

5

11

10

12

9

7

6

C’est l’un des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4. Il est classé II - 21 dans l’index de Frénicle. Il est semi-diabolique. Le nombre de carrés magiques de cet ordre a été trouvé par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bussy en 1693.

* * * * *

19

7

25

11

3

12

5

16

8

24

10

21

13

4

17

1

18

9

22

15

23

14

2

20

6

C’est l’un des 275 305 224 carrés magiques normaux d’ordre 5. 

* * * * *

8

35

28

1

6

33

17

26

10

19

15

24

30

3

5

32

34

7

12

21

14

23

16

25

31

4

36

9

29

2

13

22

18

27

11

20

On ne connaît pas le nombre de carrés magiques normaux d’ordre 6.

* * * * *

30

39

48

1

10

19

28

38

47

7

9

18

27

29

46

6

8

17

26

35

37

5

14

16

25

34

36

45

13

15

24

33

42

44

4

21

23

32

41

43

3

12

22

31

40

49

2

11

20

Dans ce carré magique normal d’ordre 7, les paires de nombres dont la somme est 50 sont disposées de façon symétrique par rapport au médian qui est la case centrale.

* * * * *

29

14

51

36

17

2

63

48

35

52

13

30

47

64

1

18

34

49

16

31

46

61

4

19

32

15

50

33

20

3

62

45

21

6

59

44

25

10

55

40

43

60

5

22

39

56

9

26

42

57

8

23

38

53

12

27

24

7

58

41

28

11

54

37

Dans chaque colonne de ce carré magique normal d’ordre 8, la somme de chaque paire d’éléments voisins est successivement (64, 66, 64, 66) et (66, 64, 66, 64) en alternance. Si on partage ce carré en quatre carrés 4 ´ 4, ces carrés sont magiques et non normaux. Leur densité est 130, soit la moitié de celle du grand carré. Ce sont des carrés magiques à compartiments.

* * * * *

1

65

48

15

76

32

26

63

43

35

18

79

37

20

57

51

4

68

60

40

23

71

54

7

73

29

12

70

53

9

75

28

11

59

42

22

14

78

31

25

62

45

3

64

47

39

19

56

50

6

67

34

17

81

49

5

69

36

16

80

38

21

55

74

30

10

58

41

24

72

52

8

27

61

44

2

66

46

13

77

33

Ce carré magique normal d’ordre 9 est bimagique. Sa densité au deuxième degré est 20 049. Ce carré est dû au mathématicien français Pierre Tougne en 1981 qui a donné un procédé pour construire des carrés bimagiques.

© Charles-É. Jean

Index : N

Pour en savoir plus, consultez les articles suivants de l'auteur : 

Carrés magiques à compartiments

Carrés magiques d'ordre 3

Carrés magiques d'ordre 4

Carrés magiques d'ordre 5

Carrés magiques d'ordre 6

Une nouvelle approche pour la construction de carrés magiques d’ordre 5 

Les treillis magiques

 

Consultez aussi les livres

Initiation aux carrés magiques

Secrets des carrés magiques d'ordre 3