Normal
° Carré
magique normal. – Carré magique
d'ordre n dont les éléments sont les entiers
consécutifs de 1 à n2. Il existe un carré magique normal d'ordre
3, 880 d'ordre 4 et 275 305 224 d'ordre 5, sans tenir compte des carrés obtenus
par rotation et par symétrie.
C'est Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) qui fut le premier à déterminer
le nombre de carrés magiques normaux d'ordre 4. Le nombre de carrés magiques
normaux d'ordre 5 est attribué à Richard Schroeppel qui l’a établi en 1973.
On ne connaît pas le nombre de carrés magiques normaux pour chaque ordre
supérieur à 5.
Il n'existe pas
de procédé qui permettrait de former tous les carrés magiques normaux de
n'importe quel ordre. Toutefois, on connaît des procédés, d'une part pour les
ordres pairs, d'autre part pour les ordres impairs. Dans un carré magique
normal d'ordre n, la densité est égale à
n(n2
+ 1)/2. La densité de tout carré magique normal d'ordres 3 à 12 est donnée
ci-dessous.
|
Ordre |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Densité |
15 |
34 |
65 |
111 |
175 |
260 |
369 |
505 |
671 |
870 |
La suite des nombres
correspondant à la densité est formée par le troisième nombre hexagonal,
le quatrième nombre heptagonal, le
cinquième nombre octogonal, le sixième
nombre ennéagonal, le septième nombre décagonal
et ainsi de suite.
Voici un carré magique normal
pour chaque ordre de 3 à 9 :
C’est l’unique carré
magique d’ordre 3. Lorsqu’on déplace ses éléments par rotation autour du
centre ou par symétrie par rapport à un axe, on peut construire sept autres
carrés magiques. Ceux-ci sont dits équivalents.
* * * * *
|
1 |
4 |
14 |
15 |
|
13 |
16 |
2 |
3 |
|
8 |
5 |
11 |
10 |
|
12 |
9 |
7 |
6 |
C’est l’un des 880 carrés
magiques normaux d’ordre 4. Il est classé II - 21 dans l’index
de Frénicle. Il est
semi-diabolique. Le nombre de carrés
magiques de cet ordre a été trouvé par le mathématicien français Bernard
Frénicle de Bussy en 1693.
* * * * *
|
19 |
7 |
25 |
11 |
3 |
|
12 |
5 |
16 |
8 |
24 |
|
10 |
21 |
13 |
4 |
17 |
|
1 |
18 |
9 |
22 |
15 |
|
23 |
14 |
2 |
20 |
6 |
C’est l’un des 275 305 224
carrés magiques normaux d’ordre 5.
* * * * *
|
8 |
35 |
28 |
1 |
6 |
33 |
|
17 |
26 |
10 |
19 |
15 |
24 |
|
30 |
3 |
5 |
32 |
34 |
7 |
|
12 |
21 |
14 |
23 |
16 |
25 |
|
31 |
4 |
36 |
9 |
29 |
2 |
|
13 |
22 |
18 |
27 |
11 |
20 |
On ne connaît pas le nombre de carrés
magiques normaux d’ordre 6.
* * * * *
|
30 |
39 |
48 |
1 |
10 |
19 |
28 |
|
38 |
47 |
7 |
9 |
18 |
27 |
29 |
|
46 |
6 |
8 |
17 |
26 |
35 |
37 |
|
5 |
14 |
16 |
25 |
34 |
36 |
45 |
|
13 |
15 |
24 |
33 |
42 |
44 |
4 |
|
21 |
23 |
32 |
41 |
43 |
3 |
12 |
|
22 |
31 |
40 |
49 |
2 |
11 |
20 |
Dans ce carré magique normal d’ordre
7, les paires de nombres dont la somme est 50 sont disposées de façon
symétrique par rapport au médian qui est la case centrale.
* * * * *
|
29 |
14 |
51 |
36 |
17 |
2 |
63 |
48 |
|
35 |
52 |
13 |
30 |
47 |
64 |
1 |
18 |
|
34 |
49 |
16 |
31 |
46 |
61 |
4 |
19 |
|
32 |
15 |
50 |
33 |
20 |
3 |
62 |
45 |
|
21 |
6 |
59 |
44 |
25 |
10 |
55 |
40 |
|
43 |
60 |
5 |
22 |
39 |
56 |
9 |
26 |
|
42 |
57 |
8 |
23 |
38 |
53 |
12 |
27 |
|
24 |
7 |
58 |
41 |
28 |
11 |
54 |
37 |
Dans chaque colonne de ce carré magique
normal d’ordre 8, la somme de chaque paire d’éléments voisins est
successivement (64, 66, 64, 66) et (66, 64, 66, 64) en alternance. Si on partage
ce carré en quatre carrés 4 ´ 4, ces carrés sont magiques et non normaux.
Leur densité est 130, soit la moitié de celle du grand carré. Ce sont des
carrés magiques à compartiments.
* * * * *
|
1 |
65 |
48 |
15 |
76 |
32 |
26 |
63 |
43 |
|
35 |
18 |
79 |
37 |
20 |
57 |
51 |
4 |
68 |
|
60 |
40 |
23 |
71 |
54 |
7 |
73 |
29 |
12 |
|
70 |
53 |
9 |
75 |
28 |
11 |
59 |
42 |
22 |
|
14 |
78 |
31 |
25 |
62 |
45 |
3 |
64 |
47 |
|
39 |
19 |
56 |
50 |
6 |
67 |
34 |
17 |
81 |
|
49 |
5 |
69 |
36 |
16 |
80 |
38 |
21 |
55 |
|
74 |
30 |
10 |
58 |
41 |
24 |
72 |
52 |
8 |
|
27 |
61 |
44 |
2 |
66 |
46 |
13 |
77 |
33 |
Ce carré magique normal d’ordre 9 est bimagique.
Sa densité au deuxième degré est 20 049. Ce carré est dû au mathématicien
français Pierre Tougne en 1981 qui a donné un procédé pour construire des
carrés bimagiques.
© Charles-É. Jean
Index
: N
