Depuis des millénaires, les carrés magiques ont fait l’objet de recherches ; ils ont fasciné et mystifié bien des gens à cause de leur richesse interne et de leur structure dont la propriété principale est la régularité. Le qualificatif magique est là pour rappeler cette mystérieuse harmonie des nombres.

Développés autant par les mages que par les mathématiciens, les carrés magiques enrichissent les mathématiques récréatives et peuvent constituer un support important à l’enseignement de cette science. Ils peuvent aider à la pratique du calcul, permettre l’initiation à des algorithmes simples, servir d’application à des transformations géométriques et au repérage, permettre de s’approprier les rudiments de l’analyse combinatoire, exiger l’utilisation de l’algèbre élémentaire. De plus, ils peuvent amener l’élève à exercer sa créativité par de courtes recherches et à développer des concepts et des habiletés, le tout dans un contexte de récréation et d’enrichissement.

Définition du carré magique
Un carré magique d’ordre n est une figure carrée subdivisée en n² petits carrés égaux, appelés cellules, dans lesquels n² nombres réels sont inscrits de sorte que la somme des nombres de chaque rangée horizontale, de chaque rangée verticale et de chacune des deux rangées diagonales soit constante. Cette somme est appelée densité du carré magique. Un carré magique est normal si les n² nombres sont des entiers consécutifs de 1 à n. La densité du carré est alors égale à ½(1 + n²)n.

Il existe une grande quantité de méthodes permettant la construction de carrés magiques de différents ordres. Nous explicitons une méthode particulière de production de carrés magiques normaux d’ordre 5 à partir de carrés de base, la densité de tout carré magique normal d’ordre 5 étant 65.

1. Déplacement dans le carré
Pour identifier le lieu d’une cellule, nous allons adopter un mode de repérage à deux coordonnées. Numérotons les lignes de 0 à 4 en ordonnée et les colonnes de 0 à 4 en abscisse. Chaque cellule est alors représentée par deux coordonnées dont la première représente le rang de la colonne et la seconde, le rang de la ligne. Pour désigner la cellule placée à l’intersection de la colonne 2 et de la ligne 3, nous écrirons c(2, 3).

Nous pouvons passer d’une cellule à une autre selon un mouvement qui sera également défini par deux coordonnées. La première coordonnée constitue un déplacement sur la même ligne vers la droite. Un virage à angle droit s’opère alors de telle sorte que la seconde coordonnée indique un déplacement sur la même colonne vers le haut. Les coordonnées varient de 0 à 4.

Pour passer de c(0, 1), marquée A, à c(2, 4), marquée B, le mouvement est (2, 3), que nous désignerons m(2, 3). En voici l’illustration :

Figure 1

La bordure périphérique n’arrête pas le mouvement. En effet, nous supposons que le carré est un double cylindre. Lorsque nous débordons le carré au-delà de la cinquième colonne, nous revenons à une cellule de rang correspondant sur la même ligne, comme si le carré était un cylindre vertical. La sixième colonne nous ramène à la première ; la septième à la deuxième et ainsi de suite.

De même, lorsque nous dépassons la cinquième ligne, nous revenons à une cellule de rang correspondant sur la même colonne, comme si le carré était un cylindre horizontal. Voici un exemple d’application des effets du double cylindre en passant de A à B selon le mouvement m(4, 3) :

Figure 2

2. Circuits parallèles
Partons de c(3, 0) et appliquons le mouvement (1, 2). Nous atteignons successivement A1, A2, A3, A4, A5, A1, A2, etc. Les cinq cellules composent le circuit A. Le mouvement qui engendre ce circuit est dit interne. Si nous partons de l’une ou l’autre des cellules de ce dernier circuit avec le même mouvement, nous déterminons toujours le même circuit.

Choisissons une autre cellule dans le carré, soit c(1, 4), et appliquons le même mouvement interne. Nous obtenons le circuit B.

Figure 3

Pour passer de A1 à B1, le mouvement est (3, 4). C’est également le même mouvement pour passer de A2 à B2, de A3 à B3, de A4 à B4, de A5 à B5. Le mouvement est dit séparateur. Il engendre un deuxième circuit que nous appelons parallèle au premier. Deux circuits parallèles sont définis par un mouvement interne m et par un mouvement séparateur M.

3. Mouvements parents
Il arrive que des mouvements différents engendrent un même circuit. Partons de c(1, 2) et effectuons m(1, 3). Nous atteignons les cellules A1, A2, A3, A4, A5. En partant de la même cellule et en appliquant m(2, 1), nous obtenons A1, A3, A5, A2, A4. Il s’agit donc du même circuit.

Figure 4

Les mouvements différents qui engendrent un même circuit sont dits parents. Pour identifier les parents d’un mouvement, nous prenons un mouvement, de préférence ayant 1 en abscisse, et « multiplions » successivement ses coordonnées par 2, 3 et 4, tout en demeurant dans l’intervalle [0, 4] .

m(1, 2) × 2 = m(2, 4)
m(1, 2) × 3 = m(3, 6) = m(3, 1)
m(1, 2) × 4 = m(4, 8) = m(4, 3).

Les parents de m(1, 2) sont m(2, 4), m(3, 1) et m(4, 3). L’ensemble des mouvements parents forme une famille. Voici les six familles qui contiennent chacune quatre mouvements :

4. Remplissage du carré
Nous pouvons atteindre toutes les cellules d’un carré en appliquant deux mouvements de familles différentes : l’un interne et l’autre séparateur. Pour désigner les différents circuits, nous utiliserons A, B, C, D et E que nous appellerons dizaines. Le rang à l’intérieur de chaque circuit sera marqué par a, b, c, d et e, appelés unités.

De façon pratique, pour déterminer la première cellule du deuxième circuit et des circuits suivants, nous pouvons

· soit partir de la première cellule du circuit précédent et appliquer le mouvement séparateur.

· soit partir de la dernière cellule du circuit précédent et appliquer un mouvement qui est la « somme » des deux mouvements.

Le carré suivant est rempli, à partir de c (0, 0) selon les mouvements m(1, 2) et M(2, 2).

Figure 5

Donnons aux unités les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5. Les dizaines seront égales à 0, 5, 10, 15 et 20. De cette façon, nous pouvons écrire tous les nombres consécutifs de 1 à 25. Dans la figure 5, attribuons les valeurs suivantes : A = 0, B = 5, C = 10, D = 15, E = 20, a = 5, b = 4, c = 3, d = 2, e = 1. Nous aurons :

Figure 6

5. Ordre des mouvements
Il existe deux façons d’ordonner les deux mouvements interne et séparateur. Le carré suivant est obtenu en permutant les mouvements qui ont rempli le carré de la figure 5. Le déplacement, à partir de c(0, 1), se fait donc selon m(2, 2) et M(1, 2).

Figure 7

Comparons le carré de la figure 5 et celui de la figure 7. Nous notons que le fait de permuter les mouvements nous fait permuter les dizaines et les unités. En conséquence, au lieu de composer à nouveau un carré de base, il suffit de permuter les valeurs des dizaines et des unités. Les dizaines prennent alors les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5. Les unités ont les valeurs 0, 5, 10, 15 et 20.

En donnant tour à tour les deux ensembles de valeurs aux dizaines et aux unités dans un même carré de base, nous tenons donc compte de l’ordre des mouvements.

6. Conditions pour avoir un carré magique
Dans le carré de base, nous devons vérifier les douze rangées: cinq lignes, cinq colonnes et deux diagonales.

Si les lignes (ou colonnes) contiennent chacune un circuit, il n’y a pas de carré magique. En effet, la somme des éléments d’une ligne (ou colonne) sera égale à 65 seulement dans la rangée où la dizaine est égale à 10 ou à 3.

Si les lignes (ou colonnes) contiennent chacune un élément de chaque circuit de même rang, il n’y a également pas de carré magique. La somme des éléments d’une ligne (ou colonne) sera égale à 65 dans la rangée où l’unité est égale à 3 ou à 10.

Si les lignes et colonnes sont régulières, en ce sens qu’elles contiennent un élément de chaque circuit (dizaines) de rangs différents (unités), nous pourrons former des carrés magiques dans les cas suivants :

· Chaque diagonale est régulière. Dans ce cas, les dizaines prennent un ensemble de valeurs et les unités, l’autre.

· Une diagonale est régulière tandis que l’autre contient les cinq dizaines et une seule unité ou encore les cinq unités et une seule dizaine. Alors, la dizaine (ou l’unité) doit être égale à 3 ou à 10.

· Les deux diagonales ne sont pas régulières. L’une contient cinq dizaines et une seule unité ; l’autre reçoit cinq unités et une seule dizaine. La dizaine doit être égale à 10 et l’unité, à 3 ou inversement.

La combinaison de tout mouvement interne d’une famille et de tout mouvement séparateur d’une autre famille produit un seul carré de base. Tout autre carré est formé par une permutation des dizaines et des unités.

7. Combinaisons de mouvements
Nous allons maintenant examiner chaque cas où la production de circuits parallèles permet de remplir un carré. Nous le ferons en combinant à tour de rôle les mouvements de deux familles. Dans chacun des cas, nous tenterons d’identifier le nombre exact de carrés magiques obtenus sans tenir compte des déplacements des éléments par rotation ou par réflexion.

Premier cas : Un mouvement est de la famille F1 et l’autre de la famille F2, F3, F4, F5 ou F6.
Lorsque le mouvement interne est de la famille F1, dans chaque colonne, nous identifions un même circuit, soit les mêmes dizaines. Il n’y a donc pas de carré magique. Voici un exemple où le départ se fait en c(1, 0) et dont les mouvements sont m(0, 1) et M(2, 4) :

 Figure 8

Lorsque le mouvement séparateur est de la famille F1, dans chaque colonne, il y a un circuit différent. Toutefois, les unités sont identiques. il n’y a donc pas de carré magique.


Deuxième cas : Un mouvement est de la famille F2 et l’autre de la famille F3, F4, F5 ou F6.
Aucune ligne n’est régulière. Selon l’ordre des mouvements, une seule dizaine ou une seule unité y apparaît. Il n’y a donc pas de carré magique.

Troisième cas : Un mouvement est de la famille F3 et l’autre, de la famille F4.
Lorsque le mouvement interne est de la famille F3, chaque ligne, chaque colonne et la diagonale de gauche sont régulières. La diagonale de droite voit apparaître une seule dizaine. Le carré sera magique si la dizaine est égale à 10. Voici un exemple dans lequel le départ est c(0, 0) et les deux mouvements sont m(1, l) et M(1, 2) :

Figure 9

Posons A = 10, B = 0, C = 5, D = 15, E = 20, a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5. Nous aurons :

Figure 10

Comme une dizaine a une valeur constante, les quatre autres peuvent former 24 combinaisons. Les unités engendrent 120 combinaisons. Nous pouvons donc former 24 × 120 = 2880 carrés magiques.

Lorsque le mouvement interne est de la famille F4, nous n’avons qu’à permuter les valeurs des dizaines et des unités. La dizaine constante sera égale à 3. Nous pouvons former ainsi 2880 autres carrés magiques.

Prenons le carré de la figure 9 et posons : A = 3, B = 1, C = 5, D = 2, E = 4, a = 20, b = 15, c = 10, d = 5, e = 0. Nous aurons :

Figure 11

Quatrième cas: Un mouvement est de la famille F3 et l’autre, de la famille F5.
Les rangées ont les mêmes propriétés que dans le cas précédent. Toutefois, comme le carré de base est différent, cela permet de construire 5760 autres carrés magiques.

Cinquième cas: Un mouvement est de la famille F3 et l’autre, de la famille F6.
Lorsque le mouvement interne est de la famille F3, chaque ligne et chaque colonne sont régulières. La diagonale de gauche contient cinq dizaines et une seule unité ; la diagonale de droite, cinq unités et une seule dizaine. Voici un carré où le départ se fait en c(0, 0) et le déplacement selon m(1, 1) et M(1, 4) :

Figure 12

Comme une dizaine doit être égale à 10, les quatre autres dizaines peuvent être disposées de 24 façons. Les unités donnent également 24 combinaisons, puisqu’une unité doit être égale à 3. Nous pouvons donc former 24 × 24 = 576 carrés magiques.

Lorsque le mouvement interne est de la famille F6, c’est encore 576 carrés magiques qui pourront être formés puisqu’une dizaine aura une valeur constante soit 3 et une unité sera égale à 10.

Sixième cas : Un mouvement est de la famille F4 et l’autre, de la famille F5.
Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale sont régulières. Voici un carré de base où le départ est dans c(0, 0) et dont les mouvements sont m(1, 2) et M(1, 3) :

Figure 13

Les valeurs des unités peuvent être combinées de 120 façons, tout comme les valeurs des dizaines. Nous pouvons donc former 120 ×120 = 14 400 carrés magiques. En permutant les valeurs des unités et des dizaines, pour tenir compte de l’ordre des mouvements, ce sont 14 400 autres carrés magiques possibles : d’où un total de 28 800 carrés magiques.

Septième cas : Un mouvement est de la famille F4 et l’autre, de la famille F6.
Toutes les rangées, sauf la diagonale de gauche, sont régulières. Lorsque le mouvement interne est F4, la diagonale de gauche contient cinq dizaines et une seule unité. En attribuant 3 à l’unité, nous formons 2880 carrés magiques. En lui donnant la valeur 10, ce sont 2880 autres carrés magiques qui sont possibles.

Voici un carré de base dont les mouvements sont m(1, 2) et M(1, 4) :

Figure 14

Huitième cas : Un mouvement est de la famille F5 et l’autre de la famille F6.
Comme dans le cas précédent, seule la diagonale de gauche n’est pas régulière. Nous obtenons 2 880 carrés magiques si le mouvement interne est de la famille F5 et 2 880 autres dans l’ordre inverse.

8. Nombre de carrés magiques
Nous donnons un tableau des résultats pour chaque cas où nous avons obtenu des carrés magiques.

Cette méthode permet donc de construire 52 992 carrés magiques dont les éléments sont placés dans des positions différentes. Toutefois, compte tenu des rotations et des symétries, 6 624 carrés magiques différents peuvent être formés. Par exemple, la combinaison des mouvements F4 et F5 engendre 3 600 carrés magiques différents. Ces carrés sont d’ailleurs appelés diaboliques ou panmagiques en ce sens que même les diagonales brisées contiennent des éléments dont la somme est égale à la densité, soit 65.

Cette méthode permet la construction d’une infime partie des carrés magiques d’ordre 5 puisqu’il existe au total 275 305 224 carrés magiques différents de cet ordre. Cependant, elle peut s’appliquer à tous les carrés magiques d’ordre impair avec des adaptations lorsque n n’est pas premier. Lorsque n est égal à 7, elle permet d’identifier six carrés de base en vue de la formation de carrés diaboliques. Comme chaque carré de base engendre 6 350 400 carrés diaboliques différents, au total il est possible de construire 38 102 400 carrés diaboliques d’ordre 7. Û
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Article publié dans le Bulletin AMQ, revue de l’Association mathématique du Québec, décembre 1988, p. 14 à 18.