| Amiables
° Nombres amiables.
– Se dit d'entiers naturels formant une paire, tels que chacun d'eux est égal
à la somme des diviseurs propres de l'autre. Ainsi, 220 et 284 sont des nombres
amiables. La somme des diviseurs propres de 220 est 284 et celle de 284 est 220.
Euler (1707-1783) donna une liste de 61 paires de nombres amiables.
On
connaît aujourd'hui plus de 13 000 paires de nombres amiables. En voici 15 :
1184 et 1210 (Nicolo Paganini)
2620 et 2924
5020 et 5564
6232 et 6368
10 744 et 10 856
12 285 et 14 595
17 296 et 18 416 (Fermat)
63 020 et 76 084
66 928 et 66 992
67 095 et 71 145
69 615 et 87 633
79 750 et 88 730
122 265 et 139 815
141 664 et 153 176
142 310 et 168 730
171 856 et 176 336
176 272 et 180 848
196 724 et 202 444
308 620 et 389 924
437 456 et 455 344
503 056 et 514 736
522 405 et 525 915
609 928 et 686 072
1 175 265 et 1 438 983
1 280 565 et 1 340 235
1 358 595 et 1 486 845
9 363 584 et 9 437 056 (Descartes)
111 448 537 712 et 118 853 793 424
35 · 72 · 13 · 19 · 53 · 6959 et 35 · 72
· 13 · 19
· 179 · 2087 (Euler)
Aucune paire de nombres amiables, formée par un pair et un impair, n'est
connue. On ne connaît pas de règle générale qui permettrait de trouver tous
les nombres amiables.
Thabit ibn Qurra (836-901) a indiqué une formule pour trouver
certains nombres
amiables. Si a = 3 × 2n - 1, b
= 3 × 2n-1 - 1 et c = 9 × 22n-1
- 1 sont premiers lorsque n est un entier naturel plus grand que
l'unité, alors 2n × a × b et 2n
× c sont amiables. Par exemple, si n = 2, alors a = 11, b
= 5 et c = 71. Les trois nombres sont premiers. Les deux nombres amiables
sont 22 × 11 × 5 = 220 et 22
× 71 = 284.
On a découvert que cette formule vaut seulement pour n
égal à 2, à 4 et à 7 en considérant les valeurs de n inférieures à
20 000.
© Charles-É. Jean
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