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Associés
° Nombres associés.
– Se dit de deux nombres ou plus, pas nécessairement entiers, dont l’addition et la
multiplication donnent le même résultat. Il existe des algorithmes
pour trouver des sous-ensembles de nombres associés.
Pour trouver deux nombres
associés a et b, on choisit pour a une valeur
arbitraire autre que 1. On fait b = a/(a - 1). Par
exemple, si a = 1,4, alors b = 3,5. On peut écrire : 1,4 +
3,5 = 4,9 et 1,4 ´ 3,5 = 4,9. Voici les différents
couples lorsque m varie de 2 à 9 :
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2 + 2 = 2 ´ 2 = 4 |
3 + 1,5 = 3 ´ 1,5
= 4,5 |
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4 + 1 1/3 =
4 ´ 1 1/3
= 5 1/3 |
5 + 1,25 = 5 ´ 1,25 =
6,25 |
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6 + 1,2 = 6 ´ 1,2 = 7,2 |
7 + 1 1/6 =
7 ´ 1 1/6
= 8 1/6 |
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8 + 1 1/7 =
9 ´ 1 1/7
= 9 1/7 |
9 + 1 1/8 =
9 ´ 1 1/8
= 10 1/8 |
Le résultat est donné par la formule a2/(a -
1).
Pour trouver trois nombres associés a, b et c, on
choisit une valeur arbitraire pour a et b. On
fait c = (a + b)/(ab - 1). Par exemple, si a
= 3 et b = 4, alors c = 7/11. On peut écrire : 3 + 4 + 7/11
= 7 7/11 et 3 ´ 4
´
7/11 = 7 7/11. Le résultat est donné par la formule ab(a
+ b)/(ab - 1). Le seul triplet formé d’entiers est (1, 2,
3).
Pour trouver quatre nombres associés a, b, c et d,
on choisit une valeur arbitraire pour a, b et c. On
fait d = (a + b + c)/(abc - 1). Par exemple, si a
= 1, b = 2 et c = 3, alors d = 1,2. On peut écrire :
1 + 2 + 3 + 1,2 = 7,2 et 1 ´ 2
´
3 ´ 1,2 = 7,2. Le résultat est donné par la
formule abc(a + b + c)/(abc - 1). Aucun quadruplet
de nombres associés n’est formé de quatre entiers.
De façon générale, pour trouver n nombres associés, on choisit (n
- 1) nombres. Pour calculer le énième, on fait la somme des (n - 1)
nombres connus et on divise le résultat par le produit de ces nombres connus
auquel on soustrait 1. Pour calculer le résultat, on multiplie le produit et la
somme des (n - 1) nombres connus et on divise ce dernier produit par le
produit des nombres connus auquel on soustrait 1.
© Charles-É. Jean
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