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Bachet de Méziriac, Claude-Gaspard (1581-1638)
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Poids de Bachet. –
Récréation
de pesées proposée par Bachet en 1624 : Déterminez le nombre minimum
de poids de masses différentes, qu'il faut utiliser pour peser tout objet
allant de 1 à 40 livres inclusivement, tous les poids ayant une masse en
valeurs entières.
Bachet a donné deux solutions. En plaçant les poids sur
un seul plateau, six poids de 1, 2, 4, 8, 16 et 32 livres suffisent. Avec n
poids différents, on peut peser tout objet dont la masse s'élève jusqu'à (2n
- 1) livres. En plaçant les poids sur les deux plateaux, quatre poids de 1, 3,
9 et 27 livres sont suffisants pour tous les objets de 1 à 40 livres si l’on
place les poids de façon appropriée.
Avec n poids différents, on peut
peser tout objet dont la masse s'élève jusqu'à (3n
- 1)/2 livres. Par exemple, un objet de 14 livres peut être pesé avec des poids de 2,
4 et 8 livres sur un seul plateau, tel qu’illustré à gauche. Le même objet
sera accompagné des poids de 1, 3 et 9 livres sur un plateau et le poids de 27
livres sur l'autre plateau viendra contrebalancer, tel qu’illustré à droite.
La récréation des poids de Bachet en est une de partition
des nombres.
Dans la première solution, on considère uniquement l'addition ;
dans la seconde solution, l’on utilise aussi la soustraction.
Voici les
entiers naturels de 1 à 40 exprimés comme étant l'addition ou la soustraction
des puissances de 3 :
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1 = 1
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2 = 3 - 1
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3 = 3
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4 = 3 + 1
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5 = 9 - 3 - 1
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6 = 9 - 3
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7 = 9 - 3 + 1
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8 = 9 - 1
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9 = 9
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10 = 9 + 1
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11 = 9 + 3 - 1
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12 = 9 + 3
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13 = 9 + 3 + 1
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14 = 27 - 9 - 3 - 1
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15 = 27 - 9 - 3
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16 = 27 - 9 - 3 + 1
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17 = 27 - 9 - 1
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18 = 27 - 9
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19 = 27 - 9 + 1
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20 = 27 - 9 + 3 - 1
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21 = 27 - 9 + 3
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22 = 27 - 9 + 3 + 1
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23 = 27 - 3 - 1
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24 = 27 - 3
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25 = 27 - 3 + 1
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26 = 27 - 1
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27 = 27
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28 = 27 + 1
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29 = 27 + 3 - 1
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30 = 27 + 3
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31 = 27 + 3 + 1
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32 = 27 + 9 - 3 - 1
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33 = 27 + 9 - 3
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34 = 27 + 9 - 3 + 1
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35 = 27 + 9 - 1
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36 = 27 + 9
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37 = 27 + 9 + 1
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38 = 27 + 9 + 3 - 1
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39 = 27 + 9 + 3
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40 = 27 + 9 + 3 + 1
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Les poids de Bachet sont associés aux récréations numériques.
© Charles-É. Jean
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: B
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