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Nombre
° Partition d'un nombre. –
1e Représentation d'un nombre en une somme d'entiers non nuls sans
égard à leur ordre. Ainsi, les cinq partitions de 4 sont : 4, 3 + 1, 2 + 2, 2
+ 1 + 1 et 1 + 1 + 1 + 1. Chacun des termes d'une partition s'appelle sommant
ou part de la partition.
Le nombre de partitions de
n, noté p(n), peut être trouvé par la formule p(n)
= p(n - 1) + p(n - 2) - p(n - 5) - p(n - 7) +
p(n - 12) + ... dans laquelle les constantes utilisées sont les nombres
d'Euler et où p(0) = 1. Voici le
nombre de partitions p(n) lorsque n varie de 1 à 10 :
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n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
p(n) |
1 |
2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
15 |
22 |
30 |
42 |
Par extension, toute représentation d’un nombre qui
utilise des opérations comme l'addition, la soustraction, la multiplication, la
division, l’extraction de la racine carrée et l’élévation à une
puissance. Les chiffres peuvent être réunis pour former des nombres de plus d’un
chiffre.
Par exemple, on peut représenter 100 en utilisant huit fois le chiffre
3 d’au moins huit façons. Les voici :
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(33 + 3/3) × 3 - (3 + 3)/3 |
33 + 33 + 33 + 3/3 |
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33 × 3 + 3 - 3/3 - 3/3 |
(3 + 3 + 3) × 33/3 + 3/3 |
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(33 + 3) × 3 - (3 × 3) + 3/3 |
(33 - 3) × 3 + (3 × 3) + 3/3 |
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(333 - 33)/3 + 3 - 3 |
(3 × 3 + 3/3) × (3 × 3 + 3/3) |
2e Représentation d'un nombre en une somme de
carrés, de cubes ou de toute puissance supérieure à 3. Ainsi, une partition
de 14 est 12 + 22
+ 32. Le plus grand entier qui ne peut pas
être représenté par une somme de carrés différents est 128. Pour une somme
de cubes différents, le plus grand entier est 12 758. Pour une somme de
quatrièmes puissances, c'est 5 134 240, et pour la cinquième puissance, c'est
67 898 771.
Les problèmes de partition d'un nombre appartiennent à la classe
des récréations numériques.
© Charles-É. Jean
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