Dictionnaire de mathématiques récréatives Doigts

Doigts

Dans les temps anciens, l’être humain a appris à opérer sur les nombres grâce à ses dix doigts. La main a été pendant très longtemps une véritable machine à calculer. Les doigts peuvent servir au dénombrement en pointant des objets un par un. Par exemple, si à une pile de sept jetons on ajoute quatre jetons, on peut compter 8, 9, 10, 11. Le dernier jeton est le 11^e. On a alors 11 jetons.

On peut aussi se servir des doigts d’une main pour déterminer un nombre d’objets en touchant aux doigts de l’autre main. Dans ce cas, on peut compter de 5 en 5, si bien que le mode de calcul est une application de la numération en base 5. En effet, si le résultat est trois mains et quatre doigts, cela s’écrira 34 en base 5. Traduit dans le système décimal, cela fait 3 ´ 5 + 4 = 19.

D’autres procédés élémentaires consistent à attribuer une valeur entière à chaque doigt. Par exemple, à partir des doigts étendus, on replie sur lui-même chacun des doigts indiqués dans le tableau. On illustre ainsi les nombres de 1 à 10 avec l’une ou l’autre main.

	l’auriculaire	l’annulaire	le majeur	l’index	le pouce
main gauche	1	2	3	4	5
main droite	10	9	8	7	6

Par exemple, le repli du majeur de la main droite illustre 8. Un autre procédé se fait à partir des doigts repliés. On lève 1, 2, 3, 4 ou 5 doigts de l’une ou de l’autre main.

	le pouce	+ l’index	+ le majeur	+ annulaire	tous
main gauche	1	2	3	4	5
main droite	6	7	8	9	10

Par exemple, le lever simultané du pouce, de l’index et du majeur de la main gauche illustre 3. Un autre procédé permet de représenter les nombres de 1 à 9999 avec les dix doigts. Il a été présenté par Édouard Lucas (1842-1891) comme étant l’arithmétique des sourds-muets. Chaque main est partagée en deux parties, une main indiquant l’unité et la dizaine ; tandis que l’autre indique la centaine et l’unité de mille.

Unité. On la représente avec trois doigts de la main gauche. De 1 à 6, les doigts sont repliés sur eux-mêmes. De 7 à 9, les doigts sont repliés sur la paume de la main.

1 : Auriculaire	2 : Auriculaire et annulaire	3 : Auriculaire, annulaire et majeur
4 : Majeur et annulaire	5 : Majeur	6 : Annulaire
7 : Auriculaire	8 : Auriculaire et annulaire	9 : Auriculaire, annulaire et majeur

Dizaine. On la représente avec les deux autres doigts de la main gauche.

10 : Extrémité de l’index sur le pli intérieur du pouce allongé en cercle	20 : Pouce et index allongés et rapprochés	30 : Pouce et index réunis par les extrémités en cercle
40 : Pouce courbé sur l’ongle de l’index	50 : Pouce courbé à la base de l’index replié	60 : Index courbé sur le pouce replié
70 : Index appuyé sur l’ongle du pouce allongé	80 : Index appuyé sur le milieu extérieur du pouce allongé	90 : Index replié à côté du pouce allongé

Centaine. On la représente avec les mêmes doigts que les unités, mais avec la main droite. Aussi, l’auriculaire replié sur lui-même illustre 100 ; l’auriculaire et l’annulaire repliés sur la paume de la main, c’est 800.

Unité de mille. On la représente avec les mêmes doigts que les dizaines, mais avec la main droite. Aussi, le pouce et l’index allongés et rapprochés illustrent 2000 ; l’index replié à côté du pouce allongé, c’est 9000.

Voici une façon de représenter 4527 :

4	5	2	7
main droite	main droite	main gauche	main gauche
pouce courbé sur l’ongle de l’index	majeur replié sur lui-même	pouce et index allongés et rapprochés	auriculaire replié sur la paume de la main

La main étendue, les doigts allongés et écartés signifient 0 autant pour la main droite que pour la gauche. En ajoutant les mains de d’autres personnes et en appliquant le principe de la multiplication par 100, on peut théoriquement représenter tous les nombres.

On peut, avec les doigts, faire différents calculs. Un procédé pour la multiplication a été indiqué par le mathématicien français Nicolas Chuquet (1445-1488) dans Triparty en la science des nombres et par l’astronome syrien Beha-Eddin (1547-1622) dans Essence de l’art du calcul. Si on connaît le résultat de la multiplication des nombres jusqu’à 5 ´ 5, on peut trouver à l'aide des doigts les produits de deux nombres choisis parmi 6, 7, 8 et 9. Soit à trouver le produit de 7 et de 9.

1^e Comme 7 = 5 + 2, on lève deux doigts d’une main.

2^e Comme 9 = 5 + 4, on lève quatre doigts de l’autre main.

3^e Le nombre de doigts levés est la dizaine du produit, soit 2 + 4 = 6.

4^e Dans la première main, trois doigts sont demeurés baissés et dans la seconde un doigt. L’unité est le produit du nombre de doigts baissés, soit 3 ´ 1 = 3.

D’où, le produit de 7 et de 9 est 63.

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