° Nombre multipotent. – Entier naturel n dont le produit des diviseurs est égal à une puissance de n. Le nombre 405 est multipotent car 1 × 3 × 5 × 9 × 15 × 27 × 45 × 81 × 135 × 405 = 405⁵. Seuls les nombres premiers et les nombres élevés à une puissance paire ne sont pas dans cette classe. 

L’appellation des nombres multipotents est faite en fonction de la puissance de n.

Le tableau suivant donne, pour chaque nombre multipotent inférieur à 100, le nombre de diviseurs, le produit des diviseurs et la classe.

Dans l’intervalle des entiers inférieurs à 100, il y a 32 bipotents, 16 tripotents, 10 tétrapotents, deux pentapotents et cinq hexapotents. Pour établir la classe d’un nombre multipotent, on trouve la quantité de diviseurs de ce nombre et on divise par 2. Par exemple, 99 a six diviseurs ; c’est un tripotent. 

On peut aussi compter le nombre de diviseurs inférieurs à la racine carrée du nombre. On peut aussi décomposer le nombre en facteurs premiers, additionner 1 à chaque puissance, multiplier les puissances augmentées et diviser par 2. Par exemple, 84 = 2² × 3 × 7. Les puissances sont successivement 2, 1 et 1. On fait 3 × 2 × 2 = 12 ; on divise par 2. Aussi, 84 est un hexapotent.

Voici des propriétés de quelques classes de nombres multipotents :
Ö Les bipotents sont formés en multipliant deux nombres premiers différents, comme 95 = 5 × 19 ou par les cubes d’un nombre premier, comme 8 = 2³.

Ö Les tripotents sont formés en multipliant le carré d’un nombre premier et un autre premier, comme 99 = 3² × 11 ou en élevant un nombre premier à la puissance 5, comme 3⁵ = 243.

Ö Les tétrapotents sont formés en multipliant trois nombres premiers différents, comme 2 × 3 × 5 = 30, en multipliant le cube d’un nombre premier par un autre premier, comme 2³ × 3 = 24 ou en élevant un nombre premier à la puissance 7, comme 3⁷ = 2187.

Ö Les pentapotents sont formés en multipliant la quatrième puissance d’un nombre premier par un autre premier, comme 2⁴ × 3 = 48 ou en élevant un nombre premier à la puissance 9, comme 2⁹ = 512.

Ö Les hexapotents sont formés en multipliant le carré d’un nombre premier par deux autres premiers, comme 2² × 3 × 5 = 60, en multipliant le carré d’un nombre premier par le cube d’un autre premier, comme 2³ × 3² = 72, en multipliant la cinquième puissance d’un nombre premier par un autre premier, comme 2⁵ × 3 = 96 ou en élevant un nombre premier à la puissance 11, comme 2¹¹ = 2048.

Le tableau suivant contient les 85 multipotents de 2001 à 2100.

On a défini une classe de nombres pour lesquels on fait la somme des diviseurs du nombre au lieu du produit ; ce sont les nombres multiparfaits.

© Charles-É. Jean

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