Pâques

° Date de Pâques. – La fête chrétienne de Pâques est célébrée le premier dimanche suivant la pleine lune, soit celle qui arrive après l’équinoxe du printemps. Cet équinoxe a été fixé au 21 mars. Voici, à titre d’exemples, la date des pleines lunes de mars et d’avril et celle de Pâques de 2010 à 2015 :

Voici la date de Pâques pour les années 2001 à 2099 :

Au plus tôt, la fête de Pâques arrive le 22 mars et au plus tard, le 25 avril. Elle s’étale sur une période de 35 jours. Les six dates extrêmes arrivent moins souvent que les autres. De 1583 à 2400, cette fête arrive 

• six fois le 22 mars : 1598, 1693, 1761, 1818, 2285, 2353

• 10 fois le 23 mars : 1636, 1704, 1788, 1845, 1856, 1913, 2008, 2160, 2228, 2380 

• trois fois le 24 mars : 1799, 1940, 2391

• huit fois le 23 avril : 1628, 1848, 1905, 1916, 2000, 2079, 2152, 2220

• neuf fois le 24 avril : 1639, 1707, 1791, 1859, 2011, 2095, 2163, 2231, 2383

• huit fois le 25 avril : 1666, 1734, 1886, 1943, 2038, 2190, 2258, 2326

C’est le 24 mars où Pâques arrive le moins souvent. Pour chaque jour, les années du 20^e et du 21^e siècle sont données. 

On note qu’il existe parfois cinq ans entre deux fêtes comme pour le 13 avril, parfois six ans comme pour le 20 avril et plus souvent 11 ans comme pour le 12 avril. Les années bissextiles ont un rôle à jouer dans la variation de ces séquences. Voici trois façons de trouver la date de Pâques :

1. Formule de Gauss
Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a imaginé une formule permettant de trouver la date à laquelle est célébrée la fête de Pâques pour une année donnée. Soit m l'année, p et q deux variables données dans le tableau suivant en fonction du siècle, pour trouver la date de Pâques dans le calendrier grégorien, on calcule successivement.

1. le reste de m/19 : c’est la valeur de a.

2. le reste de m/4 : c’est la valeur de b.

3. le reste de m/7 : c’est la valeur de c.

4. le reste de (19a + p)/30 : c’est la valeur de d.

5. le reste de (2b + 4c + 6d + q)/7 : c’est la valeur de e.

Les valeurs de p et de q varient de 100 ans en 100 ans. Voici les données :

La date de Pâques est le (22 + d + e) mars ou le (d + e - 9) avril. Voici deux exemples : 

En 1996, on trouve : a = 1, b = 0,  c = 1,  d = 13,  e = 3. Pâques eut lieu le (13 + 3 - 9) = 7 avril. 
En 2020, on trouve : a = 6,  b = 0,  c = 4, d = 18,  e = 3. Pâques aura lieu le (18 + 3 - 9) = 12 avril.

Lorsque la formule donne le 25 avril. Si d = 28, e = 6 et a > 10, on remplace par le 18 avril. Lorsque la formule donne le 26 avril, on remplace par le 19 avril.

Pour trouver la date de Pâques dans le calendrier julien, on remplace p par 15 à l’étape 4 et q par 6 à l’étape 5.

2. Formule de O'Beirne
Le mathématicien écossais T. H. O’Beirne, en s’inspirant des travaux de Gauss, a donné cette formule qui s'applique aux années 1900 à 2099.

Soit m l’année, on fait les calculs suivants.

1. On soustrait 1900 de m : c’est la valeur de n.

2. On divise n par 19 : le reste est la valeur de a.

3. On divise (7a + 1) par 19 : la partie entière du quotient est b.

4. On divise (11a - b + 4) par 29 : le reste est c.

5. On divise n par 4 : la partie entière du quotient est d.

6. On divise (n - c + d + 31) par 7 : le reste est e.

La date de Pâques est le (25 - c - e) avril si le résultat est positif. S’il est négatif, le mois est mars. Le quantième est la somme de 31 et du résultat. Par exemple, si le résultat est -7, le quantième est 31 + -7 = 24. Voici deux exemples :

En 1954, on trouve : n = 54, a = 16, b = 5, c = 1, d = 13, e = 6. Pâques eut lieu le (25 - 1 - 6) = 18 avril.

En 1989, on trouve : n = 89, a = 13, b = 4, c = 27, d = 22, e = 3. Pâques eut lieu le (25 - 27 - 3) = -5. C’est donc le 26 mars.

3. Tableaux de Bakst
Dans Mathematical Puzzles and Pastimes, Aaron Bakst présente trois tableaux qui permettent de trouver la date de Pâques de 1800 à 2199. Dans le premier tableau, on recherche la case qui est à l’intersection des deux premiers et des deux derniers chiffres de l’année. Par exemple, pour l’année 2015, on trouve b à l’intersection de 20 et de 15.

Tableau 3.1

Dans le deuxième tableau, on recherche de nouveau la case qui est à l’intersection des deux premiers et des deux derniers chiffres de l’année. Par exemple, pour l’année 2015, on trouve 23 à l’intersection de 20 et de 15.

Tableau 3.2

On va maintenant utiliser les résultats des deux premiers tableaux. Dans le troisième tableau,  on recherche la case qui est à l’intersection de la lettre b trouvée à partir du tableau 1 et du nombre 23 trouvé à partir du tableau 2. La case d'intersection contient 5. Les nombres des cellules vertes dans ce tableau correspondent au mois de mars et, les autres au mois d’avril. D’où, en 2015, Pâques sera le 5 avril.

Tableau 3.3

Dans le tableau 3.3 en 27c, on pouvait lire 18. Claude Paulet nous a signalé qu’il faudrait remplacer 18 par 25. La date de Pâques est associée à des récréations numériques.

 Pour la recherche
[Deutsch : Ostern] [English : Easter] [Español  : Pascua] [Français : Pâques] [Italiano : Pasqua] [Português : Páscoa]

© Charles-É. Jean

Index : P

Consultez l'article
Le temps des récréations