Récréation 8. Le cadran d’une horloge est marqué par des chiffres romains. Partagez le cadran en quatre parties pour que la somme soit 20 dans chacune des parties. (Problème formulé autrement et provenant de Boris Kordiemsky (1907-1999) dans Sur le sentier des mathématiques, tome 1, Dunod, 1963, p. 19) Voir solutions

1.5 La montre
Les premières montres avaient plutôt un aspect décoratif et étaient destinées aux femmes. Du temps de Pascal (1623-1662), la montre se portait déjà au poignet. Toutefois, le premier brevet relatif à la montre-bracelet a été déposé en 1889. Une grande partie des problèmes récréatifs qui concernent l’horloge peuvent être appliqués à la montre, selon qu’elle est à aiguilles ou à affichage numérique.

Récréation 9. Présentez une montre à la personne à qui vous voulez indiquer l’heure de son lever et priez-la de tourner les aiguilles de façon à marquer une heure quelconque (cette heure étant représentée par un nombre entier). Ajoutez mentalement 12 à l’heure indiquée et dites à la personne de compter les heures une à une jusqu’à la somme que vous avez obtenue, en prenant pour point de départ l’heure qu’elle a marquée, en se déplaçant en sens inverse du mouvement, et en commençant à compter à partir du chiffre indiquant l’heure à laquelle elle désire se lever. La division sur laquelle elle s’arrêtera est forcément l’heure à laquelle elle désire se lever. (Problème posé par Bachet de Méziriac (1581-1638) et mentionné par Gaston Boucheny (1865-1935) dans Curiosités et récréations mathématiques, Larousse, 1939, p. 85)

Voici un exemple dans lequel on écrit les heures en chiffres romains : La personne désire se lever à VIII (8) heures et elle marque V (5) heures sur le cadran. Vous faites 5 + 12 = 17. Sans mentionner l’opération faite, vous dites à la personne de toucher à V (5) sur le cadran et de compter les heures jusqu'à 17 dans l’ordre inverse du mouvement des aiguilles. Elle commence à compter comme si elle était au rang 8, VIII étant l’heure de son lever. Elle compte 8 (V), 9 (IV), 10 (III), 11 (II), 12 (I), 13(XII), 14 (XI), 15 (X), 16 (IX), 17 (VIII). Au rang 17, on trouve VIII. La personne désire se lever à 8 heures.

Dans un tour de magie, on peut additionner mentalement un autre nombre que 12. Dans ce cas, lors de l’arrêt, on corrigera mentalement l’opération de comptage et on dira à la personne : " Non, ce n’est pas ton heure de lever, c’est plutôt ... ". On peut remplacer les aiguilles par des objets numérotés comme des cartes ou encore on peut choisir une autre suite.

Récréation 10. Une montre retarde d’un quart de minute pendant le jour mais, par suite du changement de température, elle avance d’un tiers de minute pendant la nuit. Au bout de combien de jours aura-t-elle avancé de 2 minutes, sachant qu’aujourd’hui, au soir, elle donnait l’heure exacte ? (Problème posé par Gaston Boucheny (1865-1935) dans Curiosités et récréations mathématiques, Larousse, 1939 p. 81) Voir solutions

Récréation 11. Une personne regarde sa montre entre 3 h et 4 h, puis entre 6 h et 7 h. Chacune des deux aiguilles ayant pris la place de l’autre, quelle heure était-il exactement à chacune des observations de la montre ? (Problème posé par Gaston Boucheny (1865-1935) dans Curiosités et récréations mathématiques, Larousse, 1939, p. 84) Voir solutions

Récréation 12. Il y a 3 heures et demie, j’ai remis à l’heure mon réveil qui retarde de 4 minutes par heure. Il est actuellement midi à ma montre, qui, elle, fonctionne parfaitement. Dans combien de minutes le réveil indiquera-t-il lui aussi midi ? (Problème posé par Boris Kordiemsky (1907-1999) dans Sur le sentier des mathématiques, tome 1, Dunod, 1963, p. 41) Voir solutions

Récréation 13. Sur un cadran à affichage numérique, la différence entre les heures et les minutes est la même qu’entre les minutes et les secondes. La somme des trois marques est 54. La marque des secondes est une fois et demie celle des secondes. Quelle heure est-il ? (Problème inédit) Voir solutions

Récréation 14. Quand Andrée est arrivée au travail, il était 13 : 27. Quand elle a quitté le travail, les quatre mêmes chiffres apparaissaient sur sa montre. Pendant combien de temps au minimum André a-t-elle travaillé ? (Problème inédit) Voir solutions

1.6 L’âge
L’âge est la mesure de la vie d’une personne ou d’un bien. Les problèmes consistent à déterminer l'âge d'une ou de plusieurs personnes à partir d'informations précises. Le temps écoulé depuis la naissance peut être mis en relation avec les chiffres qui la déterminent. L’épitaphe de Diophante est un exemple de problème sur l’âge. Nicolas Boileau (1636-1711) a écrit le texte suivant intitulé Le bilan de la vie humaine dans lequel il répartit les tâches d’une personne qui aura vécu 95 ans. (Texte cité par Étienne Ducret (1829-1909) dans Divertissements mathématiques, Garnier, 1980, p. 88)

L'Homme, dont la vie entière

Est de quatre-vingt-quinze ans,

Dort le tiers de sa carrière ;

C'est juste trente-deux ans             32

Ajoutons, pour maladie,

Procès, voyage, accidents,

Au moins un quart de sa vie :

C'est encor deux fois douze ans      24

Par jour, deux heures d'étude

Ou de travaux font huit ans              8

Noirs chagrins, inquiétudes,

Pour le double font seize ans           16

Pour l'affaire qu'on projette

Demi-heure, encor deux ans            2

Cinq quarts d'heure de toilette,

Barbe et cætera : cinq ans                5

Par jour, pour manger et boire,

Deux heures font bien huit ans       8

Cela porte le mémoire

Jusqu'à quatre-vingt-quinze ans    95

Récréation 15. Le texte suivant apparaît sur l’épitaphe du maréchal Maurice de Saxe (1696-1750).

Son courage l'a fait admirer de chac                        1

Il eut des ennemis, mais il triompha                       2

Les rois qu'il défendit sont au nombre de                 3

Pour Louis son grand coeur se serait mis en           4

Des victoires par an il gagna plus de                        5

Il fut fort comme Hercule et beau comme Tir          6

Pleurez, braves soldats, ce grand homme hic ja        7

Il mourut en novembre et de ce mois le                   8

Strasbourg contient son corps en un tombeau tout  9

Pour tant de Te Deum, pas un de profun                   10

Quel âge avait le maréchal de Saxe quand il est décédé ? (Problème cité par Étienne Ducret (1829-1909) dans Divertissements mathématiques, Garnier, 1980, p. 87) Voir solutions

Gaston Boucheny (1865 -1935) a donné une façon de deviner l’âge d’une personne et le mois de sa naissance.

Récréation 16. Demandez à une personne d’effectuer les opérations suivantes.

1^e Multiplier le numéro du mois de sa naissance par 2.

2^e Au résultat, ajouter 5.

3^e Multiplier le nouveau résultat par 50.

4^e Au produit obtenu, ajouter l’âge puis, de la somme, retrancher 365.

5^e Demander le résultat obtenu et lui ajouter mentalement 115.

On obtient ainsi un nombre de 3 ou 4 chiffres, le chiffre des mille et des centaines est le numéro du mois de la naissance, les deux autres forment le nombre qui constitue l’âge. (Devinette formulée autrement et provenant de Curiosités et récréations mathématiques, Larousse, 1939, p. 86)

Solution 16. Par exemple, une personne est née en mars et a 42 ans. La personne fait : 3 ´ 2 = 6, 6 + 5 = 11, 11 ´ 50 = 550, 550 + 32 = 582, 582 - 365 = 217. Le résultat de la personne est 217. On fait mentalement 217 + 115 = 342. Le 3 correspond à mars et 42 est l’âge.

Récréation 17. - Non monsieur, je regrette mais je ne puis vous accorder la main de ma fille. Elle est beaucoup trop jeune (16 ans) et vous avez trois fois son âge. Vous pourriez largement être son père ? !

- Mais Monsieur si au lieu du triple de son âge, j’en avais le double, m’accorderiez-vous sa main ?

- Ah ! Dans ce cas, je ne dirais pas non.

- Bien ! Alors Monsieur j’attendrai.

Combien de temps attendra-t-il ? (Problème posé par Maurice Denis Papin dans Colles et astuces mathématiques, Blanchard, 1972, p. 64) Voir solutions

Récréation 18. Le grand-père, la grand-mère, le père, la mère et l’enfant ont chacun 20 ans de plus que l’autre. Leurs âges réunis forment 250 ans. Quel est l’âge de chacun des cinq membres de cette honorable famille ? (Problème posé par Étienne Ducret dans Divertissements mathématiques, Garnier, 1980, p. 56) Voir solutions

Récréation 19. Mon histoire s’est passée en 1982. J’avais alors exactement l’âge donné par les deux derniers chiffres de ma date de naissance. Lorsque j’en ai fait la remarque à mon grand-père, il m’a bien étonné en déclarant qu’il en était de même pour lui. Cela m’a paru impossible ...

- C’est impossible, bien entendu, dit une voix.

- Eh bien non, c’est tout à fait possible, et mon grand-père me l’a prouvé. Quel était l’âge de chacun d’entre nous ? (Problème posé par Yakov Perelman (1882-1942) dans Oh, les maths !, Éditions Mir, 1992, p. 18) Voir solutions

Récréation 20. Un père, interrogé sur l’âge de son fils, répond : Mon âge est triple de celui de mon fils et, il y a dix ans, il était le quintuple. Quel est l’âge du fils ? (Problème posé par Joseph Bertrand (1822-1900) dans Traité d’arithmétique, Hachette, 1863, p. 227) Voir solutions

2. Division du temps
Le temps est partagé en millénaires, siècles, années, jours, heures, secondes, cette dernière étant l’unité de base.

2.1 Le calendrier
Les principaux problèmes ont trait au jour de la semaine d'une date donnée, aux années bissextiles et au temps écoulé entre deux dates. La disposition des quantièmes sur le calendrier de même que les millésimes permettent aussi des récréations. À la fin du 20^e siècle, les chiffres des années se prêtaient bien à une récréation qu’on appelait problème de l’année. Il s’agissait de faire diverses opérations sur les quatre chiffres pour arriver à des résultats compris dans un intervalle donné.

Récréation 21. Combinez les chiffres de 1982 au moyen d’opérations pour que les résultats varient de 1 à 16. (Problème inédit) Voir solutions

2.2 Les heures
Situer le temps dans un jour se fait principalement par les heures. On peut penser à l’heure sur l’horloge et à la différence d’heures entre deux moments déterminés.

Récréation 22. Quelle heure est-il ? demandait un quidam à Pythagore. "Il reste encore de la journée (24 heures) deux fois les deux tiers de ce qui est déjà écoulé.", lui répondit le philosophe. (Problème posé par Émile Fourrey dans Récréations mathématiques, Vuibert, 1947, p. 151) Voir solutions

2.3 Le jour de la semaine
De nombreux auteurs ont établi des tableaux ou des formules qui permettent de trouver à peu près sans calcul le jour de la semaine d’une date donnée ou, inversement, la date relative à un événement qui se produit à un jour fixe d'une semaine donnée. Citons les auteurs comme Bakst, Chang, Comstock, Delambre, Devi, Fourrey, Gauss, Keith-Craver, Kraitchik, Lucas, Moret, Ore, Roy, Walsh et Zeller. On désigne généralement ces outils comme étant un calendrier perpétuel.

Récréation 23. Quel jour de la semaine l’année a-t-elle commencé si le 24 juin est un jeudi ? (Problème posé dans Arithmétique, cours supérieur, FEC, 1907, no 1329) Voir solutions

Récréation 24. Le 1^er janvier de l’année 1978 tombait un dimanche. Dans ces conditions, que se passera-t-il pour le siècle à venir et, d’une manière générale, quelle probabilité ont les siècles du calendrier grégorien de commencer par un dimanche ? (Problème posé par Pierre Berloquin dans Le jardin du sphinx, Dunod, 1981, p. 131) Voir solutions

3. Passage du temps
3.1 Les fêtes communes
Certaines fêtent tombent un jour de la semaine donné ; d’autres sont prévues à des dates précises. Par exemple, Friedrich Gauss et T. H. O’Beirne ont établi des formules pour déterminer la date annuelle de Pâques. Ces fêtes sont souvent des prétextes pour imaginer des problèmes. La première récréation ci-après est reliée à la fête de Noël, la seconde à Pâques.

Récréation 25. En été, trois personnes fêtent le même jour leurs anniversaires. Leurs jours de naissance sont tombés trois jours différents et consécutifs de la semaine. Le 1^er janvier 1969, le produit des âges des trois personnes était égal à 70 840. Quel jour de la semaine est tombé le premier Noël de la personne la plus âgée ? (Problème posé par J. C. Baillif dans Les casse-tête logiques de Baillif, Dunod, 1979, p. 6) Voir solutions

Récréation 26. L’épicier du village a disposé sur un rayon 21 œufs de Pâques, alignés l’un à côté de l’autre. Une cliente entre à 9 heures précises, réfléchit une minute et dit : "Je prends le premier à gauche." Elle paie et s’en va. Aussitôt, une deuxième cliente entre, réfléchit deux minutes et dit : "Je prends le deuxième de gauche." Même jeu avec une troisième cliente qui entre aussitôt, réfléchit trois minutes et prend le troisième de gauche. Et ainsi de suite avec les clientes suivantes. Compte tenu du fait que l’emballage et les opérations de caisse durent une minute exactement pour chaque cliente, à quelle heure la cliente qui partira avec l’œuf situé à l’extrême droite quittera-t-elle l’épicerie ? (Problème posé par Jean-Claude Paquet dans Les nouvelles énigmes du prof Jissé, La Presse, 1986, p. 29) Voir solutions

3.2 Les anniversaires
On s’intéresse notamment au temps écoulé depuis une date précise jusqu’à un anniversaire, au jour de la semaine d’un anniversaire ou au taux de probabilités que deux personnes ou plus dans un groupe aient la même date de naissance.

Récréation 27. Gaston est né un lundi 18 mars 1991. Il aimerait bien fêter son 18^e anniversaire de naissance un lundi. Croyez-vous que son rêve est possible ? (Problème inédit) Voir solutions

3.3 Les retrouvailles
Les principaux problèmes touchent à des personnes ou des mobiles qui se rencontrent en un même endroit.

Récréation 28. Notre école compte cinq clubs qui fonctionnent au temps donné : plomberie (un jour sur 2), menuiserie (un jour sur 3), photo (un jour sur 4), échecs (1 jour sur 5) et chant choral (un jour sur 6). Les cinq clubs se sont réunis le 1^er janvier d’une année ordinaire, puis aux intervalles prévus. Combien y a-t-il eu de soirées durant le premier trimestre où aucun des clubs ne s’est réuni ? (Problème formulé autrement et provenant de Yakov Perelman (1882-1942) dans Oh, les maths !, Éditions Mir, 1992, p. 16) Voir solutions

3.4 Les tâches
Le temps consacré à des tâches peut faire l’objet de récréations variées. Dans le problème de la tour de Brahma, on veut connaître le temps nécessaire pour transférer les 64 disques d'une aiguille à une autre. Le problème de l’escargot qui veut sortir du puits, en montant et en descendant par périodes, a été souvent imité. 

Récréation 29. Martin se souvient du jour où il a réussi son premier gâteau. Il se souvient même de l’heure où il a ouvert le four et a senti l’odeur de cette petite merveille.

Le quantième est supérieur de 11 à la marque de l’heure.

Les minutes sont le triple de l’heure.

Le quantième est le triple de celui du mois.

Tous les chiffres sont différents.

Quand Martin a-t-il réussi son premier gâteau ? On demande la date et l’heure. (Problème inédit) Voir solutions

Récréation 30. Une cuve est munie de 3 robinets ; si on les ouvre tous les trois, elle se vide en 2 heures ; si on ouvre seulement les deux premiers, elle se vide en 2 h ¾. Trouver le temps qu’il faudrait au troisième robinet pour vider seul la cuve. (Problème posé dans Arithmétique, cours supérieur, FEC, 1907, no 1030) Voir solutions

3.5 Les déplacements
Quand on met en relation un espace parcouru et le temps, on introduit la notion de vitesse.

Récréation 31. Jeannot met 2 heures pour descendre la rivière et 3 heures pour faire le trajet de retour en ramant à la même allure. Combien de temps aurait-il mis pour couvrir la même distance à la même allure sur un lac ? (Problème posé par J. C. Baillif dans Les casse-tête logiques de Baillif, Dunod, 1979, p. 49) Voir solutions

Récréation 32. Deux trains partent, l’un de A avec une vitesse de 50 milles à l’heure, l’autre de B avec une vitesse de 40 milles, et vont à la rencontre l’un de l’autre. À quelle distance de A se croiseront-ils, si la distance AB est de 270 miles ? (Problème tiré de Mathématiques de la vie courante, cours supérieur, FEC, 1948, p. 486) Voir solutions

Curieuse façon de voyager, tel est le titre de la récréation suivante.

Récréation 33. Deux personnes n’ont qu’une seule bicyclette pour faire un parcours de 20 km. La première part sur la bicyclette à la vitesse de 15 km à l’heure, en même temps que la deuxième part à pied à la vitesse de 4,5 km à l’heure. Après un certain trajet, la première personne laisse la bicyclette sur le talus de la route et termine le parcours à pied à la vitesse de 5 km à l’heure. La deuxième personne trouve la bicyclette et termine avec elle le parcours à la vitesse de 12 km à l’heure ; les deux personnes arrivent en même temps à destination. Calculer la distance du point de départ à l’endroit où la machine a été abandonnée et la durée totale du trajet. (Problème posé par Gaston Boucheny (1865-1935) dans Curiosités et récréations mathématiques, Larousse, 1939 p. 77) Voir solutions

Plus spécifiquement, on peut allier le temps à la vitesse par le biais de sonneries d’horloge comme dans cet exemple.

Récréation 34. Deux horloges électriques, A et B, sont placées aux deux extrémités d’une rue longue de 1960 verges. L’horloge A commence de sonner 3 secondes avant l’horloge B. Quel est le point de la rue où l’on entend les deux horloges sonner en même temps, sachant que le son parcourt 372 verges à la seconde ? (Problème tiré de Arithmétique, cours supérieur, FEC, 1907, no 348) Voir solutions

Conclusion
Nous avons montré que le temps peut être associé à de nombreuses récréations. La mesure du temps se fait notamment par des objets mécaniques. La division du temps permet d’établir des relations entre différents moments. Plusieurs situations de la vie courante peuvent être converties en problèmes récréatifs. Les 34 problèmes laissent voir un reflet des possibilités. Û

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Solutions

Solution 1. § On renverse les deux sabliers (état 1 ci-après). Au bout de trois minutes, la partie supérieure du petit est vide. Il reste cinq minutes à l’autre (état 2).

§ On renverse le petit (état 3). Au bout de trois minutes, la partie supérieure de l’autre marque deux minutes et l’inférieure six minutes (état 4).

§ On renverse le grand. On commence alors la cuisson qui exige six minutes.

Le tableau illustre les états successifs des deux sabliers. S désigne la partie supérieure et I la partie inférieure.

Solution 3. Il est 9 heures.

Solution 4. La pendule sonne sept heures pendant neuf secondes.

Solution 5. Les trois aiguilles ne sont superposées exactement qu’à 12 heures.

Solution 6. Dans 720 jours. Pendant ce temps, la seconde horloge retardera de 720 minutes c’est-à-dire 12 heures ; la troisième avancera d’autant. Les trois horloges indiqueront alors la même heure que le 1^er janvier, c’est-à-dire l’heure exacte. (Solution de l’auteur du problème)

Solution 7. La somme des nombres de 1 à 12 est 78. La somme des trois parties est 69. Il y a un écart de 9 entre les deux sommes. Comme 12 - 3 = 9, on tire un trait entre le 1 et le 2 de 12. Voici une façon de partager le cadran :