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Partis
Classe de récréations numériques
reliées à l'analyse de jeux de hasard
dans lesquels les joueurs se quittent avant d'avoir terminé leur partie. Le
problème consiste généralement à déterminer la manière que les joueurs
vont adopter pour se partager équitablement l'enjeu. En fait, ils doivent
partager l'enjeu proportionnellement aux probabilités qu'ils auraient de gagner
s'ils terminaient leur partie. Le problème de l'enjeu de Méré
en est un cas classique.
Jacques Ozanam
(1640-1717) a posé ce problème dans Récréations mathématiques et
physiques, p. 117.
Deux joueurs jouent ensemble en un certain nombre de
parties liées ; par exemple trois : l’un des deux a (gagné) 2
parties, l’autre une. Ne pouvant ou ne voulant point continuer le jeu, ils
conviennent de le cesser et de partager la mise. On demande de quelle manière
cela doit être fait ?
En préambule de la solution, Ozanam écrit : "Il
est évident que chacun des joueurs, en mettant son argent au jeu, en a abdiqué
la propriété, mais qu’en revanche ils ont droit d’atteindre ce que le
hasard peut leur en donner : ainsi, cessant de jouer, ils doivent partager
l’argent de la mise en rapport de la probabilité que chacun aurait eue de
gagner tout l’argent."
Ozanam analyse quatre cas.
1er cas. S’il manque au premier joueur une partie pour gagner et
deux au second, le premier aura les ¾ de la mise et le second le ¼.
2e cas. S’il manque au premier joueur une partie
pour gagner et trois au second, le premier aura les 7/8 de la mise et le second
le 1/8.
3e cas. S’il manque au premier joueur deux
parties pour gagner et trois au second, le premier aura les 11/16 de la mise et
le second les 5/16.
4e cas. S’il manque au premier joueur deux
parties pour gagner et quatre au second, le premier aura les 13/16 de la mise et
le second les 3/16.
Voici comment on peut trouver ces
résultats dans le triangle de Pascal :
1er cas. Il manque trois parties ; on choisit la 3e
diagonale si le triangle est rectangle ou la 3e
ligne si le triangle est isocèle. Il manque deux parties au second joueur
; on prend le 2e
terme augmenté du premier, 1 + 2 = 3. Il manque une partie au premier joueur ;
on prend le premier terme soit 1. Le rapport est de 3 à 1. Le premier aura
les ¾ de la mise et le second le ¼.
2e cas. Il manque quatre
parties ; on choisit la 4e
diagonale (ou la 4e
ligne). Il manque trois parties au second joueur ; on prend le 3e
terme augmenté des deux précédents, soit 1 + 3 + 3 = 7. Il manque une partie
au premier joueur ; on prend le premier terme soit 1. Le rapport est de 7
à 1. Le premier aura les 7/8 de la mise et le second le 1/8.
3e cas. Il manque cinq
parties ; on choisit la 5e
diagonale (ou la 5e
ligne). Il manque trois parties au second joueur ; on prend le 3e
terme augmenté des deux précédents, soit 1 + 4 + 6 = 11. Il manque deux
parties au premier joueur ; on prend le 2e
terme augmenté du 1er,
soit 4 + 1 = 5. Le rapport est de 11 à 5. Le premier aura les 11/16 de la
mise et le second les 5/16.
4e cas. Il manque six
parties ; on choisit la 6e
diagonale (ou la 6e
ligne). Il manque quatre parties au second joueur ; on prend le 4e
terme augmenté des trois précédents, soit 1 + 5 + 10 + 10 = 26. Il manque
deux parties au premier joueur ; on prend le 2e
terme augmenté du 1er,
soit 1 + 5 = 6. Le rapport est de 26 à 6 ou de 13 à 3. Le premier aura
les 13/16 de la mise et le second les 3/16.
© Charles-É. Jean
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