Multidegré  pour lequel k est successivement égal à 1 jusqu'à 5. L'identité suivante est un pentadegré qui est dû au mathématicien français Gaston Tarry (1843-1913) en 1912 : 0^k + 5^k + 6^k + 16^k + 17^k + 22^k = 1^k + 2^k + 10^k + 12^k + 20^k + 21^k. Si k = 1, l’identité est égale à 66 ; si k = 2, l’identité est égale à 1090 ; si k = 3, l’identité est égale à 19 998 ; si k = 4, l’identité est égale à 385 234 ; si k = 5, l’identité est égale à 7 632 966. 

Voici deux formules générales qui permettent de trouver autant de pentadegrés qu’on veut :

1^e Une identité générale est : a^k + (a + b + 2c)^k + (a + 4b + c)^k + (a + 6b + 5c)^k + (a + 9b + 4c)^k + (a + 10b + 6c)^k = (a + b)^k + (a + c)^k + (a + 6b + 2c)^k + (a + 4b + 4c)^k + (a + 10b + 5c)^k + (a + 9b + 6c)^k. Dans cette identité, on n’a qu’à remplacer a, b, et c par des valeurs arbitraires. Par exemple, en posant a = 1, b = 1 et c = 2, on a : 1^k + 6^k + 7^k + 17^k + 18^k + 23^k = 2^k + 3^k + 11^k + 13^k + 21^k + 22^k.

2^e Une autre identité est (p - 11)^k + (p - 6)^k + (p - 5)^k + (p + 5)^k + (p + 6)^k + (p + 11)^k = (p - 10)^k + (p - 9)^k + (p - 1)^k + (p + 1)^k + (p + 9)^k + (p + 10)^k. En remplaçant p par 14, on obtient l'identité suivante qui est un pentadegré : 3^k + 8^k + 9^k + 19^k + 20^k + 25^k = 4^k + 5^k + 13^k + 15^k + 23^k + 24^k. Ce pentadegré aurait pu être trouvé en additionnant 2 à chacun des éléments du pentadegré précédent.

© Charles-É. Jean

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