Équation diophantienne comportant, dans chaque membre, une somme d'entiers élevés à une puissance entière k. L’identité demeure vraie pour plus d'une valeur de la puissance k. L'appellation est basée sur la plus grande valeur de k, étant acquis que les valeurs entières positives inférieures à k rendent également vraie l'identité. Voici les appellations des multidegrés pour les plus petites valeurs des puissances :

Connaissant un multidegré de puissance k, on peut trouver d’autres multidegrés de puissance (k + 1). Voici un algorithme :

Étape 1. On prend un multidegré d’une certaine puissance k. Exemple. 1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8².

Étape 2. On additionne un même nombre à chaque élément du multidegré sans tenir compte de la puissance. Par exemple, en additionnant 8, on obtient : 9 + 12 + 14 + 15 = 10 + 11 + 13 + 16.

Étape 3. Dans un premier membre d’une nouvelle identité, en excluant les puissances, on retient le premier membre de la première identité et le second membre de la seconde identité. Dans un second membre, on retient les autres éléments. On peut écrire : 1 + 4 + 6 + 7 + 10 + 11 + 13 + 16 = 2 + 3 + 5 + 8 + 9 + 12 + 14 + 15.

Étape 4. On attribue la puissance k à chaque nombre. Dans ce cas-ci, k est égal à 3. On obtient le tridegré : 1^k + 4^k + 6^k + 7^k + 10^k + 11^k + 13^k + 16^k = 2^k + 3^k + 5^k + 8^k + 9^k + 12^k + 14^k + 15^k. Lorsque k = 1, la somme est 68 ; lorsque k = 2, la somme est 748 ; lorsque k = 3, la somme est 9248.

À l’étape 2, on peut remplacer l’addition par la soustraction, la multiplication ou la division. La recherche des multidegrés touche notamment aux nombres premiers et aux palindromes. 

Les multidegrés appartiennent à la classe des récréations numériques.

© Charles-É. Jean

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