° Suite polynomiale. – Suite qui peut être généralisée par un polynôme. On construit le polynôme f(n) terme à terme. Le premier est n auquel, au besoin, on additionne ou soustrait un certain nombre pour avoir la valeur du terme du rang 1. Le deuxième terme est la valeur du premier à laquelle, au besoin, on additionne ou soustrait le produit de (n - 1) et d’un nombre choisi pour avoir la valeur du terme de rang 2. Le troisième terme est la valeur du deuxième terme à laquelle, au besoin, on additionne ou soustrait le produit de (n - 2)(n - 1) et d’un nombre choisi pour avoir la valeur du terme de rang 3. On continue ainsi jusqu’au dernier terme en ajoutant successivement le facteur (n - 3), (n - 4), ... d’un terme à l’autre. 

Voici un exemple : Trouvez le polynôme qui permet de trouver les autres termes de la suite : 1, 2, 4, 8, 16, ...

Si n = 1, f(n) = n

Si n = 2, f(n) = n

Si n = 3, f(n) = n + ½(n - 2)(n - 1)

Si n = 4, f(n) = n + ½(n - 2)(n - 1) + 1/6(n - 3)(n - 2)(n - 1)

Si n = 5, f(n) = n + ½(n - 2)(n - 1) + 1/6(n - 3)(n - 2)(n - 1) + 1/24(n - 4)(n - 3)(n - 2)(n - 1)

Le dernier polynôme qui est du quatrième degré est celui qui correspond à la suite. Le terme de rang 6 est 31 et celui de rang 7 est 57. En appliquant, cette formule on peut compléter toute suite de n termes et obtenir un polynôme dont le degré maximal est (n - 1).

© Charles-É. Jean

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