Multidegré pour lequel k est égal successivement à 1, à 2 et à 3. Les trois identités suivantes sont des tridegrés :

0^k + 5^k + 5^k + 10^k = 1^k + 2^k + 8^k + 9^k. Si k = 1, l’identité est égale à 20 ; si k = 2, l’identité est égale à 150 ; si k = 3, l’identité est égale à 1250.

1^k + 4^k + 12^k + 13^k + 20^k = 2^k + 3^k + 10^k + 16^k + 19^k. Si k = 1, l’identité est égale à 50 ; si k = 2, l’identité est égale à 730 ; si k = 3, l’identité est égale à 11 990.

12^k + 32^k + 43^k + 56^k+ 67^k + 87^k = 21^k + 23^k + 34^k + 65^k + 76^k + 78^k. Si k = 1, l’identité est égale à 297 ; si k = 2, l’identité est égale à 18 211 ; si k = 3, l’identité est égale à 1 248 885. Dans les deux membres de ce dernier tridegré, les nombres d’un même rang sont constitués des mêmes chiffres.

Euler a donné une formule pour trouver des tridegrés. Soit p^k + q^k + r^k + s^k = t^k + u^k + v^k + w^k où k = 1, 2 ou 3, on peut trouver des valeurs aux variables en fonction de a et de b de la façon suivante : p = a, q = b, r = 3a + 3b, s = 2a + 4b, t = 0, u = 2a + b, v = a + 3b, w = 3a + 4b. En posant a = 2 et b = 3, on a : 2^k + 3^k + 15^k + 16^k = 0^k + 7^k + 11^k + 18^k.

© Charles-É. Jean

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