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Uniforme
° Nombre
uniforme*. –
Entier naturel formé d’un seul chiffre ou
par la répétition d’un même chiffre. Outre les nombres de 1 à 9, les plus
petits nombres uniformes sont : 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 111,
222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999, 1111, etc. On abrège l’appellation
par U suivi du chiffre répété. Par exemple, les nombres U5 sont 5, 55, 555,
5555, 55 555, etc.
En ne tenant pas compte du chiffre répété, les nombres
uniformes ayant le même nombre de chiffres ont les mêmes facteurs premiers.
Voici un tableau des facteurs premiers :
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Nombre de chiffres |
Facteurs premiers |
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2 |
- |
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3 |
3 et 37 |
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4 |
11 et 101 |
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5 |
41 et 271 |
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6 |
3, 7, 11, 13 et 37 |
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7 |
239 et 4649 |
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8 |
11, 73, 101, 137 |
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9 |
3, 37 et 333 667 |
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10 |
11, 41, 271 et 9091 |
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11 |
21 649 et 513 239 |
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12 |
3, 7, 11, 13, 37, 101 et 9901 |
La classe des nombres formés par 1, appelée U1, est la plus
considérée. Le terme anglais pour désigner cette classe est repunit (repeated
unit). Ce terme a été créé par Albert H. Beiler en 1964. Une condition
essentielle pour qu’un nombre U1 soit un nombre premier est que le nombre de
chiffres soit premier. Les trois plus petits nombres U1 qui sont des nombres
premiers sont respectivement formés de 2, de 19 et de 23 chiffres. On ne sait pas s’il y a une infinité de nombres U1 qui
sont premiers. Une curiosité : 12 345 679 × 9 = 111 111 111.
Les nombres
U1 sont divisibles par 3 si le nombre de chiffres est un multiple de 3, comme
111, 111 111, 111 111 111. Ils sont divisibles par 7, 11, et 13 si le nombre de
chiffres est un multiple de 6. Ils sont divisibles par 11 si le nombre de
chiffres est pair. On a montré qu’un nombre U1 ne peut être
ni un carré ni un cube ni une puissance cinquième. Dans le tableau suivant, on trouve les nombres U1 en A, leur
quotient entier si on les divise par 7 en B, par 11 en C et par 13 en E. Si on
considère les nombres de la colonne C en base 2, on obtiendrait la suite D en
base 10.
Si on considère les nombres de cette classe en base 2 et qu’on les traduit
en base 10, on a : 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16
383, 32 767, 65 535, 131 071, 262 143, soit 2n - 1 où n est
le rang du terme.
On peut représenter les nombres uniformes U1 par la mosaïque
suivante :
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1 ´
9 + 2 = 11
12 ´
9 + 3 = 111
123 ´
9 + 4 = 1 111
1 234 ´
9 + 5 = 11 111
12 345 ´
9 + 6 = 111 111
123 456 ´
9 + 7 = 1 111 111
1 234 567 ´
9 + 8 = 11 111 111
12 345 678 ´
9 + 9 = 111 111 111 |
Cette mosaïque pourrait être présentée ainsi :
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1 ´
9 + 1 + 1 = 11
11 ´
9 + 11 + 1= 111
111 ´
9 + 111 + 1 = 1 111
1111 ´
9 + 1111 + 1 = 11 111
11 111 ´
9 + 11 111 + 1 = 111 111
111 111 ´
9 + 111 111 + 1 = 1 111 111
1 111 111 ´
9 + 1 111 111 + 1 = 11 111 111
11 111 111 ´
9 + 11 111 111 + 1 = 111 111 111 |
Tout nombre uniforme U1 en base 9 est un triangulaire.
Le rang des triangulaires est successivement : 1, 4, 13, 40, 121, 364,
1093, 3280, 9841, 29 524, ... Le terme général de cette suite est (3n
- 1)/2. Les nombres pairs sont des multiples de 4 et les impairs des multiples
de 4 plus 1. Si on exclut 1 de la suite, la somme de ses chiffres appartient à
la suite : 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, 121, ...
Tous les termes de la première suite apparaissent dans cette dernière suite.
*L’appellation de nombre uniforme est due au soussigné.
© Charles-É. Jean
Index
: U-Z
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