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Dictionnaire de mathématiques récréatives

Uniforme

° Nombre uniforme.   Entier naturel formé d’un seul chiffre ou par la répétition d’un même chiffre. Outre les nombres de 1 à 9, les plus petits nombres uniformes sont : 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999, 1111, etc. On abrège l’appellation par U suivi du chiffre répété. Par exemple, les nombres U5 sont 5, 55, 555, 5555, 55 555, etc. 

En ne tenant pas compte du chiffre répété, les nombres uniformes ayant le même nombre de chiffres ont les mêmes facteurs premiers. Voici un tableau des facteurs premiers :

Nombre de chiffres

Facteurs premiers

2

-

3

3 et 37

4

11 et 101

5

41 et 271

6

3, 7, 11, 13 et 37

7

239 et 4649

8

11, 73, 101, 137

9

3, 37 et 333 667

10

11, 41, 271 et 9091

11

21 649 et 513 239

12

3, 7, 11, 13, 37, 101 et 9901

La classe des nombres formés par 1, appelée U1, est la plus considérée. Le terme anglais pour désigner cette classe est repunit (repeated unit). Ce terme a été créé par Albert H. Beiler en 1964. Une condition essentielle pour qu’un nombre U1 soit un nombre premier est que le nombre de chiffres soit premier. Les trois plus petits nombres U1 qui sont des nombres premiers sont respectivement formés de 2, de 19 et de 23 chiffres. On ne sait pas s’il y a une infinité de nombres U1 qui sont premiers. Une curiosité : 12 345 679 × 9 = 111 111 111. 

Les nombres U1 sont divisibles par 3 si le nombre de chiffres est un multiple de 3, comme 111, 111 111, 111 111 111. Ils sont divisibles par 7, 11, et 13 si le nombre de chiffres est un multiple de 6. Ils sont divisibles par 11 si le nombre de chiffres est pair. On a montré qu’un nombre U1 ne peut être ni un carré ni un cube ni une puissance cinquième. Dans le tableau suivant, on trouve les nombres U1 en A, leur quotient entier si on les divise par 7 en B, par 11 en C et par 13 en E. Si on considère les nombres de la colonne C en base 2, on obtiendrait la suite D en base 10.

Si on considère les nombres de cette classe en base 2 et qu’on les traduit en base 10, on a : 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16 383, 32 767, 65 535, 131 071, 262 143, soit 2n - 1 où n est le rang du terme. 

On peut représenter les nombres uniformes U1 par la mosaïque suivante :

1 ´ 9 + 2 = 11

12 ´ 9 + 3 = 111

123 ´ 9 + 4 = 1 111

1 234 ´ 9 + 5 = 11 111

12 345 ´ 9 + 6 = 111 111

123 456 ´ 9 + 7 = 1 111 111

1 234 567 ´ 9 + 8 = 11 111 111

  12 345 678 ´ 9 + 9 = 111 111 111

Cette mosaïque pourrait être présentée ainsi :

1 ´ 9 + 1 + 1 = 11

11 ´ 9 + 11 + 1= 111

111 ´ 9 + 111 + 1 = 1 111

1111 ´ 9 + 1111 + 1 = 11 111

11 111 ´ 9 + 11 111 + 1 = 111 111

111 111 ´ 9 + 111 111 + 1 = 1 111 111

1 111 111 ´ 9 + 1 111 111 + 1 = 11 111 111

11 111 111 ´ 9 + 11 111 111 + 1 = 111 111 111

Tout nombre uniforme U1 en base 9 est un triangulaire. Le rang des triangulaires est successivement : 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29 524, ... Le terme général de cette suite est (3n - 1)/2. Les nombres pairs sont des multiples de 4 et les impairs des multiples de 4 plus 1. Si on exclut 1 de la suite, la somme de ses chiffres appartient à la suite : 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, 121, ... Tous les termes de la première suite apparaissent dans cette dernière suite.

© Charles-É. Jean

Index : U-Z