Chapitre 4. Carrés et polygonaux

4.01 Six carrés

Problème 1

Trouvez des égalités de six carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois carrés.

Démarche

Soit l’égalité a² + b² + c² = d² + e² + f². On pose : p = b – a et q = c – b.

Il faut trouver deux nombres p et q dont la différence est un multiple de 3. D’où, on peut poser : p – q = 3n. Allons-y pour p = 11 et q = 5. Dans ce cas, n = 2.

On continue en donnant une valeur à a. On choisit a = 1. On additionne successivement p qui est égal à 11, et q qui est égal à 5. Les trois premières bases sont 1, 12 et 17. 

On additionne n à la première base : ce qui fait que d = 3. Au lieu d’additionner successivement p et q dans cet ordre comme ci-devant, on additionne successivement q et p. D’où, e = 3 + 5 = 8 et f = 8 + 11 = 19.

L’égalité est : 1² + 12² + 17² = 3² + 8² + 19² = 434.

Problème 2

Transformez l’égalité précédente à l’aide d’opérations de façon à obtenir de nouvelles égalités.

Démarche

1. On peut additionner tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit d’additionner 13. On aura :

14² + 25² + 30² = 16² + 21² + 32² = 1721.

2. On peut soustraire tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de soustraire 0,2 à l’égalité de départ. On aura :

0,8² + 11,8² + 16,8² = 2,8² + 7,8² + 18,8² = 422,12.

3. On peut multiplier tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de multiplier par 6 l’égalité de départ. On aura :

6² + 72² + 102² = 18² + 48² + 114² = 15 624.

4. On peut diviser tout nombre à chacune des bases et la nouvelle égalité est vraie. Par exemple, on choisit de diviser par 4 l’égalité de départ. On aura :

0,25² + 3² + 4,25² = 0,75² + 2² + 4,75² = 27,125.

5. On peut ajouter tout nombre au début de chaque base comme si chacune avait le même nombre de chiffres. En ajoutant 3 au début de l’égalité de départ, on aura :

301² + 312² + 317² = 303² + 308² + 319² = 288 434.

6. On peut ajouter tout nombre à la fin de chaque base comme si chacune avait le même nombre de chiffres. En ajoutant 13 à la fin de l’égalité de départ, on aura :

113² + 1213² + 1713² = 313² + 813² + 1913² = 4 418 507.

Problème 3

Trouvez une égalité dans laquelle le premier membre est 2² + 9² + 13² et dont le deuxième membre est la somme de trois carrés. Solution 4.01-3

Application aux nombres figurés

Toutes les égalités précédentes demeurent vraies quand on considère chaque base comme le rang d’un nombre figuré. Par exemple, en l’appliquant aux nombres hexagonaux, on peut remplacer l’exposant 2 par h. Ainsi, 17^h est mis pour l’hexagonal de rang 17. À partir de l’égalité du problème 1, on peut écrire :

1^h + 12^h + 17^h = 3^h + 8^h + 19^h = 1 + 276 + 561 = 15 + 120 + 703 = 838.

En guise de conclusion

Comme on peut le constater, une seule égalité de six carrés peut engendrer une infinité d’autres égalités de six carrés. En modifiant les valeurs de départ à l’infini, il est possible de trouver des infinités d’égalités.

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4.02 Choix de deux nombres

Problème 1

Trouvez des égalités de six carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois carrés à partir du choix initial de deux nombres.

Démarche

On dispose six nombres comme ceci si bien que a₁, a₂ et a₃ forment le premier membre de l’égalité et les trois autres éléments le deuxième membre.

Cas 1. On pose a₁ = 1 et a₆ = 2. On choisit une somme que j’appellerai horizontale (H) et qui est divisible par 3, par exemple 21. Cette somme vaut pour chaque ligne. On déduira une autre somme que j’appellerai verticale (V) et qui est les deux tiers de la somme horizontale. Dans ce cas-ci, la somme verticale est : 21 × 2/3 = 14.

Comme V = 14, a₃ = 12. Comme H = 21, a₂ = 8. Comme V = 14, a₄ = 13 et a₅ = 6. Les six nombres sont les bases de chaque membre de l’égalité. En ajoutant l’exposant 2 et en appliquant l’ordre numérique, on obtient :

1² + 8² + 12² = 2² + 6² + 13² = 209.

À partir des bases de cette égalité, on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser un même nombre et obtenir autant d’égalités. Certaines pourront contenir des nombres négatifs ou des nombres factionnaires tout en demeurant vraies.

Cas 2. On pose a₁ = 1 et a₆ = 3. Par exemple, on choisit 24 comme somme horizontale. Pour trouver la somme verticale, on multiplie par 2/3. La somme verticale est 16.

Comme V = 16, a₃ = 13. Comme H = 24, a₂ = 10. Comme V = 16, a₄ = 15 et a₅ = 6. Les six nombres sont les bases de chaque membre de l’égalité. En ajoutant l’exposant 2, on obtient :

1² + 10² + 13² = 3² + 6² + 15² = 270.

On peut faire varier la valeur de a₁ et de a₆ à sa guise.

Problème 2

Trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés.

Démarche

On procède d’une façon similaire. On dispose les huit nombres ainsi.

On pose a₁ = 1 et a₈ = 2. La somme choisie doit être un nombre pair. Pour trouver la somme verticale, on multiplie par 1/2. Par exemple, H = 24. Alors, V = 12. Comme V = 12, a₄ = 10 et a₅ = 11.

Il manque deux nombres sur la ligne 1. Le choix de ces nombres doit obéir à cette règle : aucun de ces nombres ne doit être la moitié de la somme horizontale.

Dans ce cas, il manque 13 sur la première ligne. On n’a pas le droit de choisir 6 et 7, car 6 est la moitié de 12. On peut choisir : a₂ = 5 et a₃ = 8. On déduit : a₆ = 7 et a₇ = 4. L’égalité est :

1² + 5² + 8² + 10² = 2² + 4² + 7² + 11² = 190.

On peut faire varier la valeur de a₁, et de a₈ à sa guise.

Problème 3

Trouvez des égalités de 10 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq carrés.

Démarche

On dispose les 10 nombres ainsi.

On pose a₁ = 1 et a₁₀ = 2. La somme choisie doit être un multiple de 5. Pour trouver la somme verticale, on multiplie par 2/5. Par exemple, H = 40. Alors, V = 16. D’où, a₅ = 14 et a₆ = 15.

Il manque trois nombres sur la ligne 1. Le choix de ces nombres doit obéir à ces deux règles : aucun de ces nombres ne doit être la moitié de la somme horizontale et aucune paire de nombres ne doit être égale à la somme horizontale.

Sur la première ligne, on peut choisir : a₂ = 3, a₃ = 10 et a₄ = 12. On déduit : a₇ = 13, a₈ = 6, a₉ = 4. L’égalité est :

1² + 3² + 10² + 12² + 14² = 2² + 4² + 6² + 13² + 15² = 450.

Problème 4

Peut-on généraliser le procédé ?

Démarche

Oui. Le procédé peut être appliqué dans tous les autres cas de nombres pairs de carrés. Le rapport de la somme horizontale à la somme verticale est donné dans ce tableau.

De façon générale, V = H × 4/n où n est le nombre de carrés.

Problème 5

Trouvez une égalité dans laquelle le premier membre est 1² + 3² + 7² + 15² + 16² + 18² et dont le deuxième membre est la somme de six carrés. Solution 4.02-5

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4.03 Carrés et suites

Nous allons utiliser des suites pour trouver des égalités de carrés.

Problème 1

Trouvez des égalités de six carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois carrés.

Démarche

Cas 1. On forme une suite de sept nombres. Par exemple, la suite est 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22. On biffe le quatrième terme. On écrit les nombres qui restent sur deux lignes. On colorie les cases selon une certaine symétrie. Un membre de l’égalité est formé par le carré des nombres des cases d’une même couleur. L’autre membre est formé par le carré des nombres des cases de l’autre couleur.

On peut écrire :

4² + 16² + 19² = 7² + 10² + 22² = 633.

Cas 2. On forme une suite de huit nombres. Par exemple, la suite est 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. On colorie les cases ainsi.

On peut écrire :

5² + 13² + 15² = 7² + 9² + 17² = 419.

On pourrait aussi écrire :

3² + 11² + 13² = 5² + 7² + 15² = 299.

Problème 2

Trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés.

Démarche

Cas 1. Sur la première ligne, on écrit une suite de quatre nombres qui, par exemple, commence par 5 et dont la raison est 2. Pour la deuxième ligne, on additionne 3 à chacun des termes : ce qui donne une autre suite dont la raison est encore 2. On colorie les cases ainsi.

On peut écrire en respectant l’ordre numérique :

5² + 10² + 11² + 12² = 7² + 8² + 9² + 14² = 390.

Cas 2. On écrit, par exemple, une suite de raison 3 qui commence par 2. On additionne 25 à chacun des termes. On colorie les cases ainsi.

On peut écrire :

2² + 23² + 36² + 39² = 11² + 14² + 27² + 48² = 3350.

Cas 3. Avec les deux mêmes suites précédentes, on peut colorer les cases d’une façon différente.

On peut écrire :

5² + 20² + 33² + 42² = 8² + 17² + 30² + 45² = 3278.

Problème 3

Trouvez des égalités de 10 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq carrés.

Démarche

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le sixième terme de la suite précédente. On applique la même raison. On colorie les cases ainsi.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, on peut écrire :

1² + 7² + 25² + 28² + 34² = 4² + 10² + 13² + 31² + 37² = 2615.

Problème 4

Trouvez des égalités de 12 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de six carrés.

Démarche

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le dernier terme de la suite précédente. On applique la même raison. On colorie les cases ainsi.

On obtient :

1² + 13² + 16² + 22² + 34² + 37² = 4² + 7² + 19² + 25² + 28² + 40² = 3435.

Problème 5

Trouvez des égalités de 14 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de sept carrés.

Démarche

Cas 1. On prend la grille précédente. On colorie les cases ainsi.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, on obtient :

1² + 7² + 16² + 25² + 31² + 34² + 40² = 4² + 10² + 13² + 19² + 28² + 37² + 43² = 4648.

Cas 2. Sur la première ligne, on écrit les nombres de 1 à 7. On additionne 8 à chaque nombre. On colorie les cases ainsi.

On obtient :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588.

Problème 6

Trouvez des égalités de 16 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de huit carrés.

Démarche

Cas 1. On écrit à la suite les nombres de 2 à 17. On colorie les cases ainsi.

On peut écrire :

2² + 4² + 7² + 9² + 11² + 13² + 14² + 16² = 3² + 5² + 6² + 8² + 10² + 12² + 15² + 17² = 892.

Si on soustrait 1 à chacun des termes cette égalité, on a tous les entiers de 1 à 16. On a :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748.

Cas 2. On peut modifier la disposition des cases colorées tout en respectant une certaine symétrie.

On peut écrire :

2² + 5² + 6² + 9² + 11² + 12² + 15² + 16² = 3² + 4² + 7² + 8² + 10² + 13² + 14² + 17² = 892.

Cas 3. On écrit sur la première ligne une suite qui commence par 2 et dont la raison est 1. En additionnant 9 à chaque terme, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 1.

On peut écrire :

2² + 5² + 7² + 8² + 12² + 13² + 15² + 18² = 3² + 4² + 6² + 9² + 11² + 14² + 16² + 17² = 1004.

Si on attribue à chaque terme l’exposant 3 au lieu de 2, on obtient une égalité de cubes.

2³ + 5³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ + 15³ + 18³ = 3³ + 4³ + 6³ + 9³ + 11³ + 14³ + 16³ + 17³ = 14 120.

Problème 7

Trouvez une égalité dans laquelle le premier membre est 3² + 8² + 9² + 10² et dont le deuxième membre est la somme de quatre carrés. Solution 4.03-7

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4.04 Fractions de sommes

Nous allons utiliser des fractions de sommes pour trouver des égalités de carrés.

Problème 1

Trouvez des égalités de six carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois carrés.

Démarche

Cas 1. On choisit quatre entiers dont l’un est le quart de la somme.

Choisissons 4, 7, 8, 13. La somme est 32. On divise par 2. Le résultat est 16. En soustrayant de 16, on obtient : 12, 9, 8, 3. On peut écrire :

4² + 7² + 8² + 13² = 3² + 8² + 9² + 12² = 298.

Comme 8² apparaît dans chaque membre de l’égalité, on le biffe. On a alors :

4² + 7² + 13² = 3² + 9² + 12² = 234.

Cas 2. On choisit six entiers dont l’un est le sixième de la somme et dont la somme d’un couple est le tiers de la somme.

Choisissons 1, 5, 6, 7, 8, 9. La somme est 36. On divise par 3. Le résultat est 12. En soustrayant de 12, on obtient : 11, 7, 6, 5, 4, 3. Après avoir biffé les doublons de part et d’autre, on peut écrire :

1² + 8² + 9² = 3² + 4² + 11² = 146.

Problème 2

Trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés.

Démarche

Cas 1. On choisit quatre entiers dont aucun n’est le quart de la somme. De plus, l’addition d’éléments pris deux à deux ne donne pas la moitié de la somme.

Exemple 1. Choisissons 1, 7, 9, 13. La somme est 30. La moitié de la somme est 15. De 15, on soustrait chacun de ces quatre éléments. On obtient : 14, 8, 6, 2. On peut écrire :

1² + 7² + 9² + 13² = 2² + 6² + 8² + 14² = 300.

Exemple 2. Choisissons 3, 5, 9, 21. La somme est 38. La demi-somme est 19. En soustrayant de 19, on obtient : 16, 14, 10, - 2. On peut écrire :

3² + 5² + 9² + 21² = 2² + 10² + 14² + 16² = 556.

On aura compris qu’on accepte les nombres négatifs et, comme le carré d’un nombre négatif est positif, on peut considérer l’élément comme positif.

Cas 2. On choisit huit entiers dont quatre appartiennent à des couples dont la somme est le quart de la somme.

Choisissons 1, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13. La somme est 60. Le quart de la somme est 15. De 15, on soustrait chacun de ces huit éléments. On obtient : 14, 11, 10, 8, 7, 5, 3, 2. Après avoir éliminé les doublons, on peut écrire :

1² + 4² + 12² + 13² = 2² + 3² + 11² + 14² = 330.

Problème 3

Trouvez des égalités de 10 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq carrés.

Démarche

On choisit six entiers dont l’un est le sixième de la somme.

Choisissons 2, 3, 7, 8, 9, 13. La somme est 42. Le tiers de la somme est 14. De 14, on soustrait chacun de ces six éléments. On obtient : 12, 11, 7, 6, 5, 1. Après avoir éliminé les doublons, on peut écrire :

2² + 3² + 8² + 9² + 13² = 1² + 5² + 6² + 11² + 12² = 327.

Problème 4

Trouvez des égalités de 12 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de six carrés.

Démarche

Cas 1. On choisit six entiers. On prend le tiers de la somme. Aucun entier n’est le sixième de la somme. De plus, l’addition d’éléments pris deux à deux ne donne pas le tiers de la somme.

Choisissons 2, 4, 8, 12, 13, 15. La somme est 54. Le tiers de la somme est 18. De 18, on soustrait chacun de ces six éléments. On obtient : 16, 14, 10, 6, 5, 3. On peut écrire :

2² + 4² + 8² + 12² + 13² + 15² = 3² + 5² + 6² + 10² + 14² + 16² = 622.

Cas 2. On choisit huit entiers. L’addition d’éléments pris deux à deux donne le quart de la somme.

Choisissons 2, 3, 8, 9, 11, 12, 13, 18. La somme est 76. Le quart de la somme est 19. De 19, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 17, 16, 11, 10, 8, 7, 6, 1. Après avoir éliminé les doublons, on peut écrire :

2² + 3² + 9² + 12² + 13² + 18² = 1² + 6² + 7² + 10² + 16² + 17² = 731.

Problème 5

Trouvez des égalités de 14 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de sept carrés.

Démarche

On choisit huit entiers. On prend le quart de la somme. Un entier doit être le huitième de la somme.

Choisissons 3, 5, 8, 12, 14, 15, 17, 22. La somme est 96. Le quart de la somme est 24. De 24, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 21, 19, 16, 9, 10, 7, 2. On peut écrire :

3² + 5² + 8² + 14² + 15² + 17² + 22² = 2² + 7² + 9² + 10² + 16² + 19² + 21² = 1292.

Problème 6

Trouvez des égalités de 16 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de huit carrés.

Démarche

On choisit huit entiers. On prend le quart de la somme. Aucun entier n’est le huitième de la somme. De plus, l’addition d’éléments pris deux à deux ne donne pas le quart de la somme.

Choisissons 4, 6, 10, 12, 15, 17, 19, 21. La somme est 104. Le quart de la somme est 26. De 26, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 22, 20, 16, 14, 11, 9, 7, 5. On peut écrire :

4² + 6² + 10² + 12² + 15² + 17² + 19² + 21² = 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² + 20² + 22² = 1612.

On peut additionner un même nombre à chacun des termes des égalités trouvées dans cet article. Quand on additionne 1 au dernier exemple, on obtient :

5² + 7² + 11² + 13² + 16² + 18² + 20² + 22² = 6² + 8² + 10² + 12² + 15² + 17² + 21² + 23² = 1828.

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4.05 Tableaux de carrés

Nous allons utiliser des tableaux de sommes de carrés pour trouver des égalités de carrés.

Problème 1

Trouvez des égalités de 2n carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de n carrés.

Démarche

On commence par établir la somme de deux carrés dont la somme des bases est un nombre donné. Par exemple, on choisit 21 comme somme des bases.

On recherche une égalité dans laquelle les sommes du tableau apparaissent. Par exemple, on peut écrire : 401 + 245 = 365 + 281 = 646.

On remplace chaque nombre par sa valeur puisée dans le tableau, soit la somme de deux carrés :

1² + 20² + 7² + 14² = 2² + 19² + 5² + 16² = 646.

On remet les termes de l’égalité en ordre :

1² + 7² + 14² + 20² = 2² + 5² + 16² + 19² (A).

Les égalités continuent d’exister dans les cas suivants.

• Lorsqu’on biffe l’exposant dans l’égalité A. On a :

1 + 7 + 14 + 20 = 2 + 5 + 16 + 19 = 42.

• Lorsque l’exposant est 3 au lieu de 2 dans l’égalité A. On a :

1³ + 7³ + 14³ + 20³ = 2³ + 5³ + 16³ + 19³ = 11 088 (B).

• Lorsqu’on additionne un nombre à chaque terme de l’égalité A. Voici un exemple où on additionne 1 :

2² + 8² + 15² + 21² = 3² + 6² + 17² + 20² = 734.

• Lorsqu’on additionne un nombre à chaque terme de l’égalité B. Voici un exemple où on additionne 2 :

3³ + 9³ + 16³ + 22³ = 4³ + 7³ + 18³ + 21³ = 15 500.

Avec les nombres polygonaux

On peut aussi trouver des égalités avec les nombres polygonaux (triangulaire, pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.).

Soit ∆ l’exposant d’un nombre triangulaire tel que 9^∆ = 45. On peut lire : le triangulaire de 9 est 45. Voici un exemple avec les triangulaires où dans l’égalité A on remplace l’exposant 2 par l’exposant ∆ :

1^∆ + 7^∆ + 14^∆ + 20^∆ = 2^∆ + 5^∆ + 16^∆ + 19^∆ .

1 + 28 + 105 + 210 = 3 + 15 + 136 + 190 = 344.

Voici un exemple avec les pentagonaux où on admet que l’exposant est p :

1^p + 7^p + 14^p + 20^p = 2^p + 5^p + 16^p + 19^p .

1 + 70 + 287 + 590 = 5 + 35 + 376 + 532 = 948.

Problème 2

Dans le tableau suivant, la somme des bases est 18 :

Trouvez une égalité comportant six nombres dont les trois nombres du premier membre sont 180, 194 et 290. Solution 4.05-2

Problème 3

Trouvez une égalité de sommes de carrés à partir de ces nombres. Solution 4.05-3

Problème 4

Vérifiez si l’égalité demeure vraie quand on élève les termes au cube. Solution 4.05-4

Bref, le procédé peut produire un nombre incalculable d’égalités. En même temps, il est relativement facile à appliquer.

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4.06 Calendrier partiel d’ordre 3

À première vue, on ne voit pas de lien entre le calendrier et les carrés. Pourtant, il est possible de trouver des égalités de sommes de carrés à partir du calendrier. Commençons par délimiter une grille carrée 3 × 3 comme ci-après dans une feuille de calendrier.

Problème 1

Trouvez des égalités de six carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois carrés.

Démarche

 Cas 1. On peut obtenir une égalité en prenant, dans la grille ci-après, les nombres dont les cases sont bleues d’une part et rouges d’autre part. On élève au carré chacun de ces nombres.

On peut écrire : 3² + 12² + 18² = 4² + 10² + 19² = 477. On constate que seuls les nombres de la diagonale de droite ne sont pas utilisés. De plus, 3 + 12 + 18 = 4 + 10 + 19 = 33.

Cas 2. Les couleurs sont disposées autrement.

On peut écrire : 4² + 12² + 17² = 5² + 10² + 18² = 449. On constate que seuls les nombres de la diagonale de gauche ne sont pas utilisés. De plus, 4 + 12 + 17 = 5 + 10 + 18 = 33.

Problème 2

Trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés.

Démarche

Cas 1. On considère les deux premières lignes. Les nombres soulignés apparaissent deux fois dans le même membre de l’égalité.

On peut écrire : 3² + 5² + 11² + 11² = 4² + 4² + 10² + 12² = 276. On constate que seuls les nombres de la troisième ligne ne sont pas utilisés. De plus, 3 + 5 + 11 + 11 = 4 + 4 + 10 + 12 = 30.

Cas 2. On considère la première et la troisième ligne. Les nombres soulignés apparaissent deux fois dans le même membre de l’égalité.

On peut écrire : 3² + 5² + 18² + 18² = 4² + 4² + 17² + 19² = 682. De plus, 3 + 5 + 18 + 18 = 4 + 4 + 17 + 19 = 44.

Cas 3. On considère la deuxième et la troisième ligne.

On peut écrire : 10² + 12² + 18² + 18² = 11² + 11² + 17² + 19² = 892. On constate que seuls les nombres de la première ligne ne sont pas utilisés. De plus, 10 + 12 + 18 + 18 = 11 + 11 + 17 + 19 = 58.

Cas 4. On considère la première et la deuxième colonne.

On peut écrire : 3² + 11² + 11² + 17² = 4² + 10² + 10² + 18² = 540. On constate que seuls les nombres de la troisième colonne ne sont pas utilisés. De plus, 3 + 11 + 11 + 17 = 4 + 10 + 10 + 18 = 42.

Cas 5. D’autres choix sont possibles. Sauriez-vous trouver au moins une autre solution ? Solution 4.06-5

Conclusion

Ce que nous avons affirmé est vrai pour toute grille carrée 3 × 3 du calendrier. C’est aussi vrai pour toute autre grille 3 × 3 qui contient des nombres ayant la même différence dans chaque ligne, puis dans chaque colonne.

* * * * * * *

4.07 Calendrier partiel d’ordre 4

Problème 1

Trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés à partir d’une grille 4 × 4 découpée dans une feuille de calendrier.

Démarche

Commençons par délimiter une grille carrée 4 × 4 dans une feuille de calendrier comme ci-après.

Cas 1. On peut obtenir une égalité en prenant dans la grille ci-après les nombres dont les cases sont bleues d’une part et rouges d’autre part. On élève au carré chacun de ces nombres.

On peut écrire : 2² + 5² + 10² + 11² = 3² + 4² + 9² + 12² = 250. De plus, 2 + 5 + 10 + 11 = 3 + 4 + 9 + 12 = 28.

Cas 2. On considère la deuxième et la troisième ligne.

On peut écrire : 9² + 12² + 17² + 18² = 10² + 11² + 16² + 19² = 838. De plus, 9 + 12 + 17 + 18 = 10 + 11 + 16 + 19 = 56.

Cas 3. On considère la troisième et la quatrième ligne.

On peut écrire : 16² + 19² + 24² + 25² = 17² + 18² + 23² + 26² = 1818. De plus, 16 + 19 + 24 + 25 = 17 + 18 + 23 + 26 = 84.

Cas 4. On peut trouver d’autres égalités en considérant d’autres paires de lignes ou les colonnes.

Problème 2

En s’inspirant de la démarche précédente, trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés.

Démarche

On peut choisir d’abord quatre nombres en progression arithmétique, puis en leur additionnant un même nombre. On procède alors comme précédemment. Voici un exemple où on additionne 2 à la première ligne :

On peut écrire : 3² + 9² + 13² + 15² = 5² + 7² + 11² + 17² = 484. Par hasard, 484 est un carré, soit celui de 22. On a donc :

3² + 9² + 13² + 15² = 5² + 7² + 11² + 17² = 22².

Problème 3

Trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés en partant des égalités précédentes.

Démarche

Cas 1. On peut soustraire ou additionner un certain nombre à la base de chaque élément de toutes les égalités de cet article. On obtient ainsi d’autres égalités.

■ Si on soustrait 2 aux égalités précédentes, on obtient :

1² + 7² + 11² + 13² = 3² + 5² + 9² + 15² = 340.

■ Si on additionne 2 aux mêmes égalités précédentes, on obtient :

5² + 11² + 15² + 17² = 7² + 9² + 13² + 19² = 660.

Cas 2. On peut ajouter un chiffre au début ou à la fin.

■ Si on ajoute 2 au début des éléments des deux dernières égalités et 20 lorsqu’il y a un seul chiffre, on obtient :

205² + 211² + 215² + 217² = 207² + 209² + 213² + 219² = 179 860.

■ Si on ajoute 4 comme unité aux deux mêmes égalités, on obtient :

54² + 114² + 154² + 174² = 74² + 94² + 134² + 194² = 69 904.

Cas 3. On pourrait additionner ou soustraire n’importe lequel nombre. Additionnons 1,4 aux deux mêmes égalités. On obtient :

6,4² + 12,4² + 16,4² + 18,4² = 8,4² + 10,4² + 14,4² + 20,4² = 802,24.

Problème 4

Trouvez une égalité de deux sommes de quatre carrés en utilisant chacun des nombres de 1 à 8. Solution 4.07-4

* * * * * * *

4.08 Opérations sur les carrés

Problème

Connaissant des égalités de carrés, comment peut-on déduire d’autres égalités ?

Démarche

Cas 1. Ajouts de chiffres

On sait que : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9². On forme une première expression en conservant le premier membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

1² + 6² + 8² + 12² + 14² + 19² = 802

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en ajoutant 1 devant chaque terme du premier membre. Cela donne :

2² + 4² + 9² + 11² + 16² + 18² = 802.

Il y a égalité entre les deux expressions. On peut écrire :

1² + 6² + 8² + 12² + 14² + 19² = 2² + 4² + 9² + 11² + 16² + 18² = 802.

Fait intéressant, il existe aussi une égalité pour la somme des cubes.

1³ + 6³ + 8³ + 12³ + 14³ + 19³ = 2³ + 4³ + 9³ + 11³ + 16³ + 18³ = 12 060.

Cas 2. Par double addition

On sait que : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9². On forme une première expression en additionnant 7 aux termes du premier membre et en additionnant 16 aux termes du deuxième membre. Cela donne :

8² + 13² + 15² + 18² + 20² + 25² = 1807

On forme une deuxième expression en additionnant 16 aux termes du premier membre et en additionnant 7 aux termes du deuxième membre. Cela donne :

17² + 22² + 24² + 9² + 11² + 16² = 1807

Il y a égalité entre les deux expressions. On peut écrire :

8² + 13² + 15² + 18² + 20² + 25² = 9² + 11² + 16² + 17² + 22² + 24² = 1807.

Il existe aussi une égalité pour la somme des cubes.

8³ + 13³ + 15³ + 18³ + 20³ + 25³ = 9³ + 11³ + 16³ + 17³ + 22³ + 24³ = 35 541.

Cas 3. Par multiplication

On sait que : 1² + 11² + 15² = 3² + 7² + 17². On forme une première expression en conservant le premier membre et en multipliant par 2 chaque terme du deuxième membre. Cela donne :

1² + 11² + 15² + 6² + 14² + 34².

En ordre, on a : 1² + 6² + 11² + 14² + 15² + 34² = 1735.

On forme une deuxième expression en conservant le deuxième membre et en multipliant par 2 chaque terme du premier membre. Cela donne :

3² + 7² + 17² + 2² + 22² + 30².

En ordre, on a : 2² + 3² + 7² + 17² + 22² + 30² = 1735.

On a une égalité :

1² + 6² + 11² + 14² + 15² + 34² = 2² + 3² + 7² + 17² + 22² + 30² = 1735.

Il existe aussi une égalité pour la somme des cubes.

1³ + 6³ + 11³ + 14³ + 15³ + 34³ = 2³ + 3³ + 7³ + 17³ + 22³ + 30³ = 7667.

Cas 4. Changements de rôles

Reprenons l’une des égalités précédentes : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9².

Composons des nombres de deux chiffres en associant les nombres d’un membre de l’égalité à l’autre et en leur faisant jouer le rôle de dizaines et d’unités. Par exemple, nous pouvons écrire : 12² + 64² + 89² = 12 161.

Par la suite, on inverse les chiffres de chacun des nombres. On obtient :

21² + 46² + 98² = 12 161.

On a une égalité :

12² + 64² + 89² = 21² + 46² + 98² = 12 161.

De plus, la somme des bases de chaque membre est 165.

On peut associer différemment les deux chiffres de l’égalité de départ. Par exemple, on peut écrire : 14² + 69² + 82² = 11 681. L’inversion donne : 41² + 96² + 28² = 11 681. On a une autre égalité :

14² + 69² + 82² = 41² + 96² + 28² = 11 681.

* * * * * * *

4.09 Séquences d’additions

Il est possible de trouver des égalités de carrés à partir d’une séquence d’additions. Le premier terme du deuxième membre de l’égalité est obtenu en additionnant un nombre donné au nombre choisi.

Problème 1

Trouvez des égalités de six carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois carrés. 

Démarche

Cas 1. On choisit un nombre. On additionne successivement les nombres de la première ligne du tableau : ce sont les bases du premier membre de l’égalité. On additionne le nombre donné au nombre choisi, puis successivement les nombres de la deuxième ligne : ce sont les bases du deuxième membre de l’égalité. On ajoute l’exposant 2 à chaque base.

On choisit 3. L’égalité est :

3² + 8² + 10² = 4² + 6² + 11² = 173.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 5. L’égalité est :

5² + 9² + 10² = 6³ + 7² + 11² = 206.

Problème 2

Trouvez des égalités de huit carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre carrés. 

Démarche

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 7. L’égalité est :

7² + 13² + 24² + 26² = 9² + 11² + 22² + 28² = 1470.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 4. L’égalité est :

4² + 11² + 16² + 19² = 6² + 9² + 14² + 21² = 754.

Cas 3. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 7. L’égalité est :

7² + 18² + 23² + 34² = 9² + 13² + 28² + 32² = 2058.

Problème 3

Trouvez des égalités de 10 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq carrés. 

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 4. L’égalité est :

4² + 9² + 10² + 18² + 19² = 5² + 6² + 14² + 15² + 20² = 882.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 7. L’égalité est :

7² + 11+ 15² + 23² + 24² = 8² + 9² + 17² + 21² + 25² = 1500.

Problème 4

Trouvez des égalités de 12 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de six carrés. 

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 5. L’égalité est :

5² + 11² + 14² + 17² + 20² + 26² = 6² + 9² + 15² + 16² + 22² + 25² = 1707.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 3. L’égalité est :

3² + 13² + 14² + 21² + 22² + 30² = 6² + 7² + 15² + 23² + 24² + 28² = 2199.

Problème 5

Trouvez des égalités de 14 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de sept carrés. 

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 4. L’égalité est :

4² + 11² + 13² + 16² + 19² + 28² + 32² = 6² + 7² + 14² + 18² + 21² + 23² + 34² = 2731.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 4. L’égalité est :

4² + 7² + 8² + 12² + 13² + 16² + 17² = 5² + 6² + 9² + 10² + 14² + 15² + 18² = 987.

Problème 6

Trouvez des égalités de 16 carrés dans lesquelles chaque membre contient la somme de huit carrés. 

Cas 1. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 2. L’égalité est :

2² + 8² + 9² + 10² + 15² + 16² + 17² + 23² = 3² + 5² + 11² + 12² + 13² + 14² + 20² + 22² = 1548.

Cas 2. On choisit un nombre. On fait les opérations indiquées.

On choisit 3. L’égalité est :

3² + 9² + 10² + 16² + 17² + 23² + 24² + 30² = 4² + 6² + 13² + 15² + 18² + 20² + 27² + 29² = 2740.

Problème 7

Une égalité est : 2² + 8² + 19² + 21² = 870. Trouvez quatre autres carrés dont la somme est 870. Solution 4.09-7

* * * * * * *

4.10 Polygonaux et variables

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

Les nombres polygonaux sont formés par l’addition des éléments d’une suite toujours à partir de 1. Voici la distribution pour les cinq plus petits nombres polygonaux d’ordres 3 à 6 :

Nombres triangulaires ou d’ordre 3 : suite de raison 1

Nombres carrés ou d’ordre 4 : suite de raison 2

Nombres pentagonaux ou d’ordre 5 : suite de raison 3

Nombres hexagonaux ou d’ordre 6 : suite de raison 4

Par exemple, pour les nombres hectogonaux ou polygonaux d’ordre 100, le premier nombre est 1, le deuxième 100 et la raison 98. On aura donc la suite : 1, 100, 297, 592, 985, etc. En effet, 1 + 99 = 100, 1 + 99 + 197 = 297, 1 + 99 + 197 + 295 = 592, etc.

Problème 1

Trouvez des égalités de huit polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre polygonaux.

Démarche

Cas 1. Pour chaque membre de l’égalité, on prend un groupe de quatre expressions :

(1) a + 2b, 2a + 2b, 3a + b, b

(2) a + b, 2a + b, 3a + 2b, 2b

On attribue une valeur arbitraire à chacune des variables. Par exemple, a = 5 et b = 8. En considérant les triangulaires, on peut écrire :

21^Δ + 26^Δ + 23^Δ + 8^Δ = 13^Δ + 18^Δ + 31^Δ + 16^Δ = 894.

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Cas 2. On peut proposer d’autres variables :

(1) a, a + 3b, 2a + b, 2a + 2b

(2) a + b, a + 2b, 2a, 2a + 3b

Par exemple, si a = 3 et b = 7, en considérant les pentagonaux où p est l’exposant, on a :

3^p + 24^p + 13^p + 20^p = 10^p + 17^p + 6^p + 27^p = 1701.

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Cas 3. On compose un premier membre avec les valeurs (ad – bc) et (bd + ac). Le second membre est formé des valeurs (ad + bc) et (bd – ac). Par exemple, si a = 1, b = 3, c = 1 et d = 4, on a 1 et 13 dans le premier membre, puis 7 et 11 dans l’autre.

On choisit un nombre supérieur au plus grand qu’on appelle opérateur. Allons-y pour 14. Pour chaque nombre précédent, on soustrait de 14 et on additionne 14. On obtient :

13 + 15 + 1 + 27 = 7 + 21 + 3 + 25 = 56.

Pour les octogonaux dont l’exposant est o, on peut écrire :

1^o + 13^o + 15^o + 27^o = 3^o + 7^o + 21^o + 25^o = 3260.

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés. Cela est aussi vrai pour les cubes.

1³ + 13³ + 15³ + 27³ = 3³ + 7³ + 21³ + 25³ = 25 256.

Problème 2

Trouvez des égalités de 16 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de huit polygonaux.

Démarche

On compose un premier membre avec les valeurs (ad – bc) et (bd + ac). Le second membre est formé des valeurs (ad + bc) et (bd – ac). On choisit deux quadruplets de nombres.

Par exemple, pour un premier quadruplet, on prend a = 1, b = 2, c = 3 et d = 4. Le premier membre est formé de -2 et 11, le second membre par 10 et 5. On choisit 12 comme opérateur. On peut écrire :

14 + 10 + 1 + 23 = 2 + 22 + 7 + 17 = 96.

Pour un second quadruplet, on prend, par exemple, a = 1, b = 2, c = 5 et d = 6. Le premier membre est formé par -4 et 17, le second membre par 16 et 7. On choisit 20 comme opérateur. On peut écrire :

24 + 16 + 3 + 37 = 4 + 36 + 13 + 27 = 80

On peut produire une égalité en additionnant les termes membre par membre. En voici une avec les nombres triangulaires :

1^Δ + 3^Δ + 10^Δ + 14^Δ + 16^Δ + 23^Δ + 24^Δ + 37^Δ = 2^Δ + 4^Δ + 7^Δ + 13^Δ + 17^Δ + 22^Δ + 27^Δ + 36^Δ = 1582.

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre. Cela est aussi vrai pour les cubes.

1³ + 3³ + 10³ + 14³ + 16³ + 23³ + 24³ + 37³ = 2³ + 4³ + 7³ + 13³ + 17³ + 22³ + 27³ + 36³ = 84 512.

En guise de conclusion

Étant donné que les égalités proviennent de variables algébriques choisies au hasard, on peut former autant d’égalités que l’on veut.

* * * * * * *

4.11 Polygonaux et fractions

Problème 1

Trouvez des égalités de six polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois polygonaux.

Démarche

On choisit trois nombres dont la somme est divisible par 3. On multiplie celle-ci par 2/3. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 2, 11 et 14. La somme est 27. On multiplie par 2/3. De 18, en soustrayant les nombres choisis, on obtient 16, 7 et 4. On écrit les nombres choisis dans le premier membre de l’égalité et les autres dans le second membre. En considérant les triangulaires où Δ est l’exposant, on peut écrire :

2^Δ + 11^Δ + 14^Δ = 4^Δ + 7^Δ + 16^Δ = 174.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Problème 2

Trouvez des égalités de huit polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre polygonaux.

Démarche

On choisit quatre nombres dont la somme est paire. On multiplie celle-ci par 1/2. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 1, 4, 6 et 7. La somme est 18. On multiplie par 1/2. En soustrayant de 9, on obtient 8, 5, 3, 2. En considérant les hexagonaux où h est l’exposant, on peut écrire :

1^h + 4^h + 6^h + 7^h = 2^h + 3^h + 5^h + 8^h = 186.

Cette égalité qui comprend les entiers de 1 à 8 est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Problème 3

Trouvez des égalités de 10 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq polygonaux.

Démarche

On choisit cinq nombres dont la somme est divisible par 5. On multiplie celle-ci par 2/5. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 3, 4, 8, 13, 17. La somme est 45. On multiplie par 2/5. Le résultat est 18. En soustrayant de 18, on obtient 15, 14, 10, 5, 1. En considérant les pentagonaux où p est l’exposant, on peut écrire :

3^p + 4^p + 8^p + 13^p + 17^p = 1^p + 5^p + 10^p + 14^p + 15^p = 798.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Problème 4

Trouvez des égalités de 12 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de six polygonaux.

Démarche

On choisit six nombres dont la somme est divisible par 3. On prend le tiers de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 4, 5, 7, 8, 11, 16. La somme est 51. Le tiers de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 13, 12, 10, 9, 6, 1.

En considérant les nombres triangulaires, on peut écrire :

4^Δ + 5^Δ + 7^Δ + 8^Δ + 11^Δ + 16^Δ = 1^Δ + 6^Δ + 9^Δ + 10^Δ + 12^Δ + 13^Δ = 291.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Problème 5

Trouvez des égalités de 14 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de sept polygonaux.

Démarche

On choisit sept nombres. On prend les 2/7 de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 4, 10, 11, 13, 19, 20, 21. La somme est 98. Les 2/7 de la somme est 28. De 28, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 24, 18, 17, 15, 9, 8, 7.

En considérant les carrés, on peut écrire :

4² + 10² + 11² + 13² + 19² + 20² + 21² = 7² + 8² + 9² + 15² + 17² + 18² + 24² = 1608.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre.

Problème 6

Trouvez des égalités de 16 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de huit polygonaux.

Démarche

On choisit huit nombres dont la somme est divisible par 4. On prend le quart de la somme. Du résultat, on soustrait chacun des nombres choisis.

Par exemple, on choisit 1, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15. La somme est 68. Le quart de la somme est 17. De 17, on soustrait chacun de ces éléments. On obtient : 16, 13, 12, 9, 7, 6, 3, 2.

En considérant les pentagonaux où p est l’exposant, on peut écrire :

1^p + 4^p + 5^p + 8^p + 10^p + 11^p + 14^p + 15^p = 2^p + 3^p + 6^p + 7^p + 9^p + 12^p + 13^p + 16^p = 1088.

Cette égalité qui contient les entiers de 1 à 16 est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Généralisation

On peut trouver autant d’égalités de polygonaux que l’on veut. Soit n le nombre de polygonaux, on multiplie la somme par 4/n. Par exemple, pour 10 polygonaux, le facteur multiplicatif de la somme est 4/10 ou 2/5.

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4.12 Polygonaux et sommes

Problème 1

Trouvez des égalités de huit polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre polygonaux.

Démarche

On choisit 19 qui est la somme des bases en considérant les triangulaires. On établit la somme de tous les couples de triangulaires dont la somme des bases est 19. On peut écrire :

À partir du tableau, on recherche deux sommes dont la somme est la même que celle d’un autre couple de sommes. Dans ce cas-ci, les possibilités sont :

172 + 100 = 142 + 130 = 272.

156 + 106 = 142 + 120 = 262.

142 + 100 = 130 + 112 = 242.

130 + 102 = 120 + 112 = 232.

On écrit les deux éléments qui composent chaque somme. Voici l’égalité pour chaque possibilité en considérant les carrés :

1² + 9² + 10² + 18² = 3² + 4² + 15² + 16² = 506.

2² + 7² + 12² + 17² = 3² + 5² + 14² + 16² = 486.

3² + 9² + 10² + 16² = 4² + 6² + 13² + 15² = 446.

4² + 8² + 11² + 15² = 5² + 6² + 13² + 14² = 426.

Ces égalités valent pour les polygonaux de tout ordre. Cela est aussi vrai pour les cubes.

1³ + 9³ + 10³ + 18³ = 3³ + 4³ + 15³ + 16³ = 7562.

Problème 2

Trouvez des égalités de 12 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de six polygonaux.

Démarche

Dans le tableau, on recherche trois sommes dont la somme est la même que celle d’un autre triplet de sommes.

Par exemple, on écrit : 172 + 106 + 100 = 156 + 120 + 102 = 378. Voici l’égalité en considérant les nombres pentagonaux dont l’exposant est p :

1^P + 7^P + 9^P + 10^P + 12^P + 18^P = 2^P + 5^P + 8^P + 11^P + 14^P + 17^P = 1020.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre. Elle est aussi vraie pour les cubes.

1³ + 7³ + 9³ + 10³ + 12³ + 18³ = 2³ + 5³ + 8³ + 11³ + 14³ + 17³ = 9633.

Problème 3

Trouvez des égalités de 16 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de huit polygonaux.

Démarche

Dans le tableau, on recherche quatre sommes dont la somme est la même que celle d’un autre quadruplet de sommes.

Par exemple, on écrit : 172 + 130 + 106 + 102 = 156 + 142 + 112 + 100 = 510. Voici l’égalité en considérant les triangulaires :

1^Δ + 4^Δ + 7^Δ + 8^Δ + 11^Δ + 12^Δ + 15^Δ + 18^Δ = 2^Δ + 3^Δ + 6^Δ + 9^Δ + 10^Δ + 13^Δ + 16^Δ + 17^Δ = 510.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre. Elle est aussi vraie pour les cubes.

1³ + 4³ + 7³ + 8³ + 11³ + 12³ + 15³ + 18³ = 2³ + 3³ + 6³ + 9³ + 10³ + 13³ + 16³ + 17³ = 13 186.

Problème 4

Trouvez des égalités de six polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois polygonaux.

Démarche

On choisit deux nombres qui seront la somme de bases. Pour chacun, on établit la somme de tous les couples en considérant les triangulaires. Par exemple, on choisit 9 et 13.

À partir du tableau, on peut écrire : 37 + 49 = 31 + 55. On écrit les deux éléments qui composent chaque somme. Voici une égalité en considérant les pentagonaux :

1^P + 8^P + 6^P + 7^P = 2^P + 7^P + 4^P + 9^P = 214.

On biffe 7^P de part et d’autre. L’égalité est :

1^P + 6^P + 8^P = 2^P + 4^P + 9^P = 144.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Problème 5

Trouvez des égalités de huit polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre polygonaux.

Démarche

À partir du même tableau, on peut écrire : 37 + 49 = 25 + 61. On écrit les deux éléments qui composent chaque somme. Voici une égalité en considérant les triangulaires :

1^Δ + 8^Δ + 6^Δ + 7^Δ = 4^Δ + 5^Δ + 3^Δ + 10^Δ = 86.

En considérant les heptagonaux dont l’exposant est s, on a l’égalité :

1^S + 6^S + 7^S + 8^S = 3^S + 4^S + 5^S + 10^S = 342.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

* * * * * * *

4.13 Polygonaux et suites

Problème 1

Trouvez des égalités de six polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de trois polygonaux.

Démarche

Sur la première ligne, on écrit une suite. On additionne un nombre choisi à chacun des termes qu’on écrit sur la deuxième ligne. Par exemple, on additionne 8 à la suite 3, 5, 7, 9. On colorie les cases ainsi. Le premier membre de l’égalité est formé par les nombres d’une couleur. Le deuxième membre l’est par les nombres de l’autre couleur. On munit chaque terme d’un exposant relatif aux nombres polygonaux.

En considérant les triangulaires dont l’exposant est Δ, on peut écrire :

5^Δ + 13^Δ + 15^Δ = 7^Δ + 9^Δ + 17^Δ = 226.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Problème 2

Trouvez des égalités de huit polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de quatre polygonaux.

Démarche

Cas 1. On forme une suite de quatre termes qui commence par 5 et dont la raison est 2. On additionne 3 à chacun des termes. On colorie les cases ainsi :

En tenant compte des couleurs et en considérant les carrés, on peut écrire en ordre numérique :

5² + 10² + 11² + 12² = 7² + 8² + 9² + 14² = 390.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre.

Cas 2. On écrit une suite de 8 termes qui commence par 2 et dont la raison est 3. On additionne 24 à chacun des termes.

En considérant les pentagonaux dont l’exposant est p, on peut écrire :

2^p + 23^p + 35^p + 38^p = 11^p + 14^p + 26^p + 47^p = 4754.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Cas 3. Avec les mêmes suites, on peut colorer les cases d’une façon différente.

En considérant les hexagonaux dont l’exposant est h, on peut écrire :

5^h + 20^h + 32^h + 41^h = 8^h + 17^h + 29^h + 44^h = 6162.

Cette égalité est vraie pour les polygonaux de tout ordre, y compris pour les carrés.

Problème 3

Trouvez des égalités de 10 polygonaux du même ordre dans lesquelles chaque membre contient la somme de cinq polygonaux.

Démarche

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le sixième terme de la suite précédente. On applique la même raison dans les deux cas.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, en considérant les triangulaires, on obtient :

1^Δ + 7^Δ + 25^Δ + 28^Δ + 34^Δ = 4^Δ + 10^Δ + 13^Δ + 31^Δ + 37^Δ = 1355.