Initiation aux carrés magiques, ch. 3

En 1693, Frénicle publia les 880 carrés magiques composés des entiers consécutifs de 1 à 16. Il ne comptait pas alors les carrés obtenus par rotation ou par symétrie.

3.1 Les essais systématiques
Il y a 20 922 789 888 000 façons possibles de placer les entiers de 1 à 16 dans une grille carrée de 16 cases, sans que la figure soit nécessairement magique.

La densité d’un carré magique formé par les entiers consécutifs de 1 à 16 est 34. Une démarche est d’identifier toutes les combinaisons de quatre éléments dont la somme est 34. Pour cela, on peut y aller de façon systématique, par exemple, en commençant par 1, puis en vérifiant chaque autre entier en respectant l’ordre numérique.

On obtient :

19 combinaisons dont le premier élément est 1,

19 dont le premier est 2,

18 dont le premier est 3,

15 dont le premier est 4,

10 dont le premier est 5,

4 dont le premier est 6,

1 dont le premier est 7.

Il existe donc 86 combinaisons. Les voici :

1 2 15 16	1 3 14 16	1 4 13 16	1 4 14 15
1 5 12 16	1 5 13 15	1 6 11 16	1 6 12 15
1 6 13 14	1 7 10 16	1 7 11 15	1 7 12 14
1 8 9 16	1 8 10 15	1 8 11 14	1 8 12 13
1 9 10 14	1 9 11 13	1 10 11 12	2 3 13 16
2 3 14 15	2 4 12 16	2 4 13 15	2 5 11 16
2 5 12 15	2 5 13 14	2 6 10 16	2 6 11 15
2 6 12 14	2 7 9 16	2 7 10 15	2 7 11 14
2 7 12 13	2 8 9 15	2 8 10 14	2 8 11 13
2 9 10 13	2 9 11 12	3 4 11 16	3 4 12 15
3 4 13 14	3 5 10 16	3 5 11 15	3 5 12 14
3 6 9 16	3 6 10 15	3 6 11 14	3 6 12 13
3 7 8 16	3 7 9 15	3 7 10 14	3 7 11 13
3 8 9 14	3 8 10 13	3 8 11 12	3 9 10 12
4 5 9 16	4 5 10 15	4 5 11 14	4 5 12 13
4 6 8 16	4 6 9 15	4 6 10 14	4 6 11 13
4 7 8 15	4 7 9 14	4 7 10 13	4 7 11 12
4 8 9 13	4 8 10 12	4 9 10 11	5 6 7 16
5 6 8 15	5 6 9 14	5 6 10 13	5 6 11 12
5 7 8 14	5 7 9 13	5 7 10 12	5 8 9 12
5 8 10 11	6 7 8 13	6 7 9 12	6 7 10 11
6 8 9 11	7 8 9 10

Nous allons expliquer une façon de construire un carré magique en utilisant ces combinaisons. On choisit au hasard une combinaison qui formera la première ligne :

On complète la deuxième ligne pour que la somme des deux éléments placés verticalement soit 17, qui est la moitié de la densité.

Il reste à placer les nombres 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13 et 14. On cherche dans le tableau des combinaisons. On complète la diagonale de gauche et on complète les deux cases vides qui restent dans le coin inférieur droit.

13	10
4	7

Il reste à placer les nombres 3, 8, 9 et 14. On les dispose ainsi.

8	3
9	14

Le carré magique est :

2	5	11	16
15	12	6	1
8	3	13	10
9	14	4	7

Dans certains cas, la somme des nombres pris deux à deux verticalement sur la première et la dernière ligne est 17. De même, la somme des nombres pris deux à deux verticalement sur les deux lignes centrales est 17. On pourrait donc construire certains carrés magiques en appliquant ces propriétés. Voici un exemple :

4	5	16	9
14	7	2	11
3	10	15	6
13	12	1	8

3.2 Procédé des diagonales
Un procédé qui permet de trouver rapidement un carré magique d’ordre 4 est d’écrire les entiers de 1 à 16 dans l’ordre naturel comme dans ce carré.

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

On intervertit alors les éléments symétriques de chaque diagonale : 1 contre 16, 6 contre 11, 4 contre 13, 7 contre 10. On obtient ce carré magique.

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

3.3 Déplacement des éléments
Les éléments d’un carré magique peuvent être déplacés par rotation et par symétrie pour donner d’autres carrés magiques.

3.3.1 Par rotation
On considère comme centre de rotation le point qui est l’intersection du troisième segment horizontal et du troisième segment vertical. On fait tourner le carré autour de ce centre de rotation. Le deuxième carré a été obtenu par rotation de 90° dans le sens horaire.

11	5	8	10	7	14	2	11
2	16	13	3	9	4	16	5
14	4	1	15	12	1	13	8
7	9	12	6	6	15	3	10

On pourrait choisir tout autre point d’intersection des segments du carré comme centre de rotation. Toutefois, on n’est pas assuré de toujours obtenir un carré magique. On explique quand même la façon de procéder. On prend le même carré magique initial précédent.

On prend comme centre de rotation le point d’intersection du deuxième segment horizontal et du deuxième segment vertical du carré. On fait tourner les éléments de 180° autour de ce point. On obtient cette figure :

6	12	9	7
15	1	4	14
3	13	16	2
10	8	5	11

On replace les éléments de l’extérieur à l’intérieur du carré en les glissant dans la même ligne et dans la même colonne tout en respectant leur rang. Quant aux quatre nombres qui sont dans le coin supérieur gauche, on les déplace en bloc dans la section vide. On obtient le deuxième carré qui est ici magique.

		3	13	Þ	16	2	3	13
		10	8		5	11	10	8
9	7	6	12		9	7	6	12
4	14	15	1		4	14	15	1

3.3.2 Par symétrie axiale
On part du carré magique de gauche. On considère le segment central horizontal du carré comme l’axe de symétrie. On intervertit dans la même colonne les nombres de même rang opposé, par exemple 6 et 11, 15 et 2. On obtient le carré de droite.

6	7	12	9	Þ	11	10	5	8
15	4	1	14		2	13	16	3
2	13	16	3		15	4	1	14
11	10	5	8		6	7	12	9

3.4 Opérations sur les carrés magiques
Comme pour les carrés magiques d’ordre 3, on peut produire des carrés magiques d’ordre 4

· par l’addition, par la soustraction, par la multiplication ou par la division d’un même nombre à tous les éléments d’un carré magique existant.

· par l’addition ou par la soustraction de deux carrés magiques.

Afin de simplifier l’écriture, on peut désigner des carrés magiques par des lettres majuscules. Soit A le carré magique suivant dont la densité est 34,

2	14	11	7
15	3	6	10
5	9	16	4
12	8	1	13

alors 3A est le carré magique ci-après dont la densité est 102.

6	42	33	21
45	9	18	30
15	27	48	12
36	24	3	39

Soit B le carré magique suivant dont la densité est 34,

2	15	10	7
16	9	8	1
3	6	11	14
13	4	5	12

alors B/5 est le carré magique ci-après dont la densité est 6,8.

0,4	3	2	1,4
3,2	1,8	1,6	0,2
0,6	1,2	2,2	2,8
2,6	0,8	1	2,4

3.5 Des carrés magiques généraux
Il existe plusieurs formes de carrés magiques généraux d’ordre 4. On en donne deux exemples.

3.5.1 Première forme : À partir du procédé des diagonales.
On imagine un ensemble de 16 nombres qui se décomposent en quatre suites arithmétiques de quatre nombres et dont les quatre suites sont entre elles en progression arithmétique.

La raison de la suite de la première ligne est b. On obtient chacune des trois autres lignes en additionnant successivement c à chacun des éléments de la suite précédente. On obtient :

a	a + b	a + 2b	a + 3b
a + c	a + b + c	a + 2b + c	a + 3b + c
a + 2c	a + b + 2c	a + 2b + 2c	a + 3b + 2c
a + 3c	a + b + 3c	a + 2b + 3c	a + 3b + 3c

Si on applique le procédé des diagonales, on aura le carré magique général suivant.

a + 3b + 3c	a + b	a + 2b	a + 3c
a + c	a + 2b + 2c	a + b + 2c	a + 3b + c
a + 2c	a + 2b + c	a + b + c	a + 3b + 2c
a + 3b	a + b + 3c	a + 2b + 3c	a

Dans chacune des rangées de quatre éléments, on vérifie la densité. On obtient : 4a + 6b + 6c. Le carré est donc magique. Il s’agit maintenant de donner des valeurs arbitraires à a, à b et à c. On obtient un carré magique dans chaque cas.

Si a = 1, b = 3 et c = 10, on a le carré magique ci-dessous dont la densité est 82.

40	4	7	31
11	27	24	20
21	17	14	30
10	34	37	1

3.5.2 Deuxième forme : À partir de carrés latins
Un carré d’ordre n est latin lorsque n objets apparaissent dans chaque ligne et dans chaque colonne. Un carré latin d'ordre 4 est donc composé seulement de quatre éléments distincts. On peut ajouter la propriété que les quatre nombres apparaissent dans chaque diagonale. Le carré latin est alors magique. Voici un exemple :

1	2	3	4
3	4	1	2
4	3	2	1
2	1	4	3

On construit un autre carré latin avec les éléments 5, 6, 7, 8. On place chaque élément identique de ce carré vis-à-vis un élément différent du carré précédent. Ainsi le 5 apparaît successivement vis-à-vis du 1, du 2, du 3 et du 4 du carré précédent.

5
			5
	5
		5

On place les autres éléments selon la même règle, jusqu’à ce qu’on obtienne un carré latin comme celui-ci :

5	7	6	8
8	6	7	5
7	5	8	6
6	8	5	7

Ce carré latin est aussi magique. Sa densité est 26.

a	a + b	a + 2b	a + 3b
a + 2b	a + 3b	a	a + b
a + 3b	a + 2b	a + b	a
a + b	a	a + 3b	a + 2b

Le second carré latin est constitué par (a + c), (a + 2c), (a + 3c) et (a + 4c).

a + c	a + 3c	a + 2c	a + 4c
a + 4c	a + 2c	a + 3c	a + c
a + 3c	a + c	a + 4c	a + 2c
a + 2c	a + 4c	a + c	a + 3c

On additionne les deux carrés généraux et on soustrait 2a de chacun des éléments de la somme. On obtient ce carré magique général.

c	b + 3c	2b + 2c	3b + 4c
2b + 4c	3b + 2c	3c	b + c
3b + 3c	2b + c	b + 4c	2c
b + 2c	4c	3b + c	2b + 3c

La densité de ce dernier carré magique général est (6b + 10c). On pourrait obtenir de nombreux carrés magiques en donnant des valeurs arbitraires à b et à c.

Problème 22
Formez un carré magique d’ordre 4 constitué par l’ensemble des entiers pairs de 2 à 32. La densité est 68. Certains nombres sont déjà en bonne position.

32			26

	14	12
8			2

Les solutions sont données à la fin du chapitre.

Problème 23
On veut former un carré magique d’ordre 4 avec les entiers consécutifs de 1 à 16. Combien y a-t-il de combinaisons possibles de quatre nombres dont le plus petit élément est 6 ?

Problème 24
Dans chaque cas, formez un carré magique avec les entiers de 1 à 16 et dont la première ligne est constituée des éléments suivants en respectant l’ordre donné.

a) 1, 4, 15, 14

b) 1, 6, 12, 15

c) 2, 5, 16, 11

d) 5, 3, 16, 10

Problème 25
Dans chaque cas, formez un carré magique avec les entiers de 1 à 16 et dont la diagonale de gauche est constituée des éléments suivants dans l’ordre donné.

a) 13, 10, 7, 4

b) 4, 7, 10, 13

c) 16, 11, 6, 1

d) 1, 6, 11, 16

Problème 26
Prenez ce carré magique.

6	7	12	9
15	4	1	14
2	13	16	3
11	10	5	8

Trouvez le carré magique produit par une rotation dans le sens horaire selon le degré indiqué :

a) 90°

b) 180°

c) 270°

d) 360°

Problème 27
Prenez ce carré magique.

11	10	5	8
2	13	16	3
15	4	1	14
6	7	12	9

Trouvez le carré magique produit par une symétrie dont l’axe est :

a) la droite centrale verticale du carré

b) la diagonale du carré qui coupe les cases 11, 13, 1 et 9

Problème 28
Soit A le carré magique suivant

2	14	11	7
15	3	6	10
5	9	16	4
12	8	1	13

Soit B le carré magique suivant

2	15	10	7
16	9	8	1
3	6	11	14
13	4	5	12

Trouvez le carré magique résultant des opérations suivantes.

a) A + 3B

b) 2A + B + 3

c) A/4 + B/4 + 1/4

d) 5A + 7B - 12

Problème 29
Prenez le carré magique général montré en 3.5.1 et les valeurs suivantes de chaque variable. Formez ainsi un carré magique d’ordre 4.

a) a = 3, b = 4 et c = 1

b) a = 0, b = 5 et c = - 2

c) a = 0,5, b = 0,8 et c = 1,2

d) a = 0,47, b = 0,46 et c = 0,43

Problème 30
a) Formez un carré magique général, en considérant x comme nombre de départ, 2y comme raison de chacune des quatre suites horizontales et 3y comme raison des suites entre elles.

b) Formez le carré magique qui en résulte si x = 5 et y = 8.

Problème 31
Formez, dans chaque cas, un carré magique d’ordre 4 en appliquant les valeurs données sur le carré magique général montré à la fin de 3.5.2..

a) b = 3,5 et c = 4,5

b) b = 2,35 et c = - 1,4

Solutions des problèmes

Solution 22. Voici un carré magique d’ordre 4 constitué par l’ensemble des entiers pairs de 2 à 32 :

32	4	6	26
10	22	20	16
18	14	12	24
8	28	30	2

Solution 23. Il y a quatre combinaisons. Les voici : (6, 7, 8, 13), (6, 7, 9, 12), (6, 7 10, 11), (6, 8, 9, 11).

Solution 24. a) Voici un carré magique dont la première ligne contient 1, 4, 15, 14 :

1	4	15	14
16	13	2	3
6	7	12	9
11	10	5	8

b) Voici un carré magique dont la première ligne contient 1, 6, 12, 15 :

1	6	12	15
16	11	5	2
13	10	8	3
4	7	9	14

c) Voici un carré magique dont la première ligne contient 2, 5, 16, 11 :

2	5	16	11
15	12	1	6
3	8	13	10
14	9	4	7

d) Voici un carré magique dont la première ligne contient 5, 3, 16, 10 :

5	3	16	10
12	14	1	7
9	15	4	6
8	2	13	11

Solution 25. a) Voici un carré magique dont la diagonale de gauche contient 13, 10, 7, 4 :

13	3	2	16
8	10	11	5
12	6	7	9
1	15	14	4

b) Voici un carré magique dont la diagonale de gauche contient 4, 7, 10, 13 :

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

c) Voici un carré magique dont la diagonale de gauche contient 16, 11, 6, 1 :

16	5	9	4
2	11	7	14
3	10	6	15
13	8	12	1

d) Voici un carré magique dont la diagonale de gauche contient 1, 6, 11, 16 :

1	12	8	13
15	6	10	3
14	7	11	2
4	9	5	16

Solution 26. a) Voici le carré magique obtenu par une rotation de 90° :

11	2	15	6
10	13	4	7
5	16	1	12
8	3	14	9

b) Voici le carré magique obtenu par une rotation de 180° :

8	5	10	11
3	16	13	2
14	1	4	15
9	12	7	6

c) Voici le carré magique obtenu par une rotation de 270° :

9	14	3	8
12	1	16	5
7	4	13	10
6	15	2	11

d) Voici le carré magique obtenu par une rotation de 360° :

6	7	12	9
15	4	1	14
2	13	16	3
11	10	5	8

Solution 27. a) Voici le carré magique obtenu par une symétrie dont l’axe est la droite centrale verticale du carré :

8	5	10	11
3	16	13	2
14	1	4	15
9	12	7	6

b) Voici le carré magique obtenu par une symétrie dont l’axe est la diagonale du carré qui coupe les cases 11, 13, 1 et 9 :

11	2	15	6
10	13	4	7
5	16	1	12
8	3	14	9

Solution 28. a) Voici le carré magique qui correspond à A + 3B :

8	59	41	28
63	30	30	13
14	27	49	46
51	20	16	49

b) Voici le carré magique qui correspond à 2A + B + 3 :

9	46	35	24
49	18	23	24
16	27	46	25
40	23	10	41

c) Voici le carré magique qui correspond à A/4 + B/4 + 1/4 :

1,25	7,5	5,5	3,75
8	3,25	3,75	3
2,25	4	7	4,75
6,5	3,25	1,75	6,5

d) Voici le carré magique qui correspond à 5A + 7B - 12 :

12	163	113	72
175	66	74	45
34	75	145	106
139	56	28	137

Solution 29. a) Lorsque a = 3, b = 4 et c = 1, on obtient ce carré dont la densité est 42.

18	7	11	6
4	13	9	16
5	12	8	17
15	10	14	3

b) Lorsque a = 0, b = 5 et c = - 2, on obtient ce carré dont la densité est 18.

9	5	10	- 6
- 2	6	1	13
- 4	8	3	11
15	- 1	4	0

c) Lorsque a = 0,5, b = 0,8 et c = 1,2, on obtient ce carré dont la densité est 14.

6,5	1,3	2,1	4,1
1,7	4,5	3,7	4,1
2,9	3,3	2,5	5,3
2,9	4,9	5,7	0,5

d) Lorsque a = 0,47, b = 0,46 et c = 0,43, on obtient ce carré dont la densité est 7,22.

3,14	0,93	1,39	1,76
0,9	2,25	1,79	2,28
1,33	1,82	1,36	2,71
1,85	2,22	2,68	0,47

Solution 30. Voici un carré magique général dont la densité est 4x + 30y :

x + 15y	x + 2y	x + 4y	x + 9y
x + 3y	x + 10y	x + 8y	x + 9y
x + 6y	x + 7y	x + 5y	x + 12y
x + 6y	x + 11y	x + 13y	x

b) Voici le carré magique obtenu lorsque x = 5 et y = 8 et dont la densité est 260 :

125	21	37	77
29	85	69	77
53	61	45	101
53	93	109	5

Solution 31. a) Voici le carré magique obtenu lorsque b = 3,5 et c = 4,5 et dont la densité est 66 :

4,5	17	16	28,5
25	19,5	13,5	8
24	11,5	21,5	9
12,5	18	15	20,5

b) Voici le carré magique obtenu lorsque b = 2,35 et c = - 1,4 et dont la densité est 0,1 :

- 1,4	- 1,85	1,9	1,45
- 0,9	4,25	- 4,2	0,95
2,85	3,3	- 3,25	- 2,8
- 0,45	- 5,6	5,65	0,5