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Ceci est le huitième livre édité par Récréomath.


Initiation aux carrés magiques

Par Charles-É. Jean

* * * *

Chapitre 1. Généralités sur les carrés magiques

Chapitre 2. Carrés magiques d’ordre 3

Chapitre 3. Carrés magiques d’ordre 4 

Chapitre 4. Carrés magiques d’ordre 5 (ci-après)

***

Chapitre 4

Carrés magiques d'ordre 5

* * * * * * * * * * *

Comme pour les autres ordres de carrés magiques, nous présentons quelques procédés qui vont permettre de construire de nouveaux carrés magiques. Avec l’aide de l’ordinateur, nous avons trouvé qu’il y avait 1 394 combinaisons de cinq éléments pris parmi les 25 entiers consécutifs de 1 à 25 et dont la somme est 65.

La recherche de toutes les combinaisons prendrait trop de temps. D’ailleurs, même si on connaissait les combinaisons, la consultation de la liste serait très longue. Il vaut mieux s’orienter vers un autre procédé.

 

4.1 Carrés magiques à bordures
À l’intérieur d’une grille carrée d’ordre 5, il existe une grille carrée d’ordre 3 et une bordure périphérique. En remplissant le carré interne de façon à ce qu’il soit magique et en complétant chaque section de la bordure de façon à respecter la densité, on construira un carré magique d’ordre 5.

La densité du petit carré est 39. La somme des deux nombres manquants dans chaque rangée horizontale et verticale est donc 26. Pour arriver à disposer les éléments sur la bordure périphérique, on groupe deux à deux les nombres dont la somme est 26 d’abord dans chaque diagonale, puis dans les rangées horizontales et verticales. Voici un exemple de carré :

6

23

24

4

8

21

16

9

14

5

19

11

13

15

7

1

12

17

10

25

18

3

2

22

20


On peut construire d’autres carrés magiques

· en déplaçant seulement les éléments à l’intérieur du petit carré

· en déplaçant seulement les éléments dans la bordure périphérique

· en déplaçant les éléments des deux régions en même temps

De plus, il est possible de choisir d’autres éléments dans chacune des deux régions.

 

4.2 Le procédé de Bachet
Claude-Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638) publia en 1612 le premier recueil imprimé de récréations mathématiques. À ce titre, il est considéré comme le pionnier des mathématiques récréatives. En particulier, il s’intéressa aux carrés magiques et mit au point un procédé de formation, lequel d’ailleurs s’applique à tous les carrés magiques d’ordre impair.

On dessine d’abord un carré d’ordre 5 ; puis on ajoute deux rangées de cases parallèles aux quatre côtés du carré. On écrit les entiers de 1 à 25 en les disposant successivement par rangée oblique comme ceci :

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

4

 

10

 

 

 

 

 

3

 

9

 

15

 

 

 

2

 

8

 

14

 

20

 

1

 

7

 

13

 

19

 

25

 

6

 

12

 

18

 

24

 

 

 

11

 

17

 

23

 

 

 

 

 

16

 

22

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

Par la suite, on ramène à l’intérieur du carré les nombres placés à l’extérieur, selon les règles suivantes :

1. Chaque nombre extérieur est ramené à l’intérieur dans la même ligne ou dans la même colonne. Par exemple, 1 demeure dans la troisième ligne.

2. Le nombre extérieur qui est adjacent au côté du carré est placé dans la première ligne, la cinquième ligne, la première colonne ou la cinquième colonne. Par exemple, 4 est placé dans la cinquième ligne.

3. Le nombre extérieur qui n’est pas adjacent est placé dans la deuxième ligne, la quatrième ligne, la deuxième colonne ou la quatrième colonne. Par exemple, 5 est placé dans la quatrième ligne.

En respectant ces règles, on obtient le carré magique suivant :

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23

 

 

4.3 Déplacement des éléments
Comme dans les carrés magiques d’ordres 3 et 4, à partir d’un carré magique, il est possible de composer de nouveaux carrés magiques par rotation ou par symétrie.

Soit le carré magique normal suivant,

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23

Si on considère la troisième rangée verticale du carré précédent comme un axe de symétrie et qu’on déplace les éléments correspondants par ligne, on obtient :

15

22

9

16

3

2

14

21

8

20

19

1

13

25

7

6

18

5

12

24

23

10

17

4

11

 

 

4.4 Opérations sur les carrés magiques
Comme pour les carrés magiques d’ordres 3 et 4, on peut produire des carrés magiques d’ordre 5

· par l’addition, par la soustraction, par la multiplication ou par la division d’un même nombre à tous les éléments d’un carré magique existant.

· par l’addition ou par la soustraction de deux carrés magiques.

 

 

4.5 Procédé des obliques
Première étape
 : Mise en ordre des éléments
Quand on sait qu’un ensemble de 25 nombres peut former un carré magique, on dispose ces nombres pour qu’il y ait cinq suites horizontales ayant la même raison et cinq suites verticales ayant aussi une même raison. Soit l’ensemble : { 3, 5, 7, 7, 9, 9, 11, 11, 11, 13, 13, 15, 15, 15, 17, 17, 19, 19, 19, 21, 21, 23, 23, 25, 27} , la raison de chaque suite horizontale sera 2 et celle verticale sera 4. On dispose les nombres ainsi :

3

5

7

9

11

7

9

11

13

15

11

13

15

17

19

15

17

19

21

23

19

21

23

25

27

On peut maintenant lire les nombres à la suite dans l’ordre naturel, soit ligne par ligne.

 

Deuxième étape : Distribution des éléments dans le carré
Après avoir mis les nombres en ordre, on les distribue de la façon suivante.

1. Le plus petit élément est placé dans la case centrale de la première ligne.

2. Chaque élément suivant est placé successivement dans la colonne voisine à droite sur la ligne supérieure.

3. Si le lieu approprié est en dehors du carré magique

· tout élément supérieur à la première ligne est placé sur la ligne inférieure dans la même colonne.

· tout élément à droite de la dernière colonne est placé dans la première colonne sur la même ligne.

4. Si le lieu approprié est déjà occupé, l’élément est sous le dernier nombre inscrit.

En appliquant ces règles, on forme le carré magique suivant.

17

25

3

11

19

23

11

9

17

15

9

7

15

23

21

15

13

21

19

7

11

19

27

5

13

Il est possible de former d’autres carrés magiques si le départ se fait dans certaines autres cases. De même, on peut composer d’autres règles en s’inspirant de ce procédé.

 

 

4.6 Un carré magique général
On peut utiliser les éléments suivants pour former un carré magique général d’ordre 5.

a

a + b

a + 2b

a + 3b

a + 4b

a + c

a + b + c

a + 2b + c

a + 3b + c

a + 4b + c

a + 2c

a + b + 2c

a + 2b + 2c

a + 3b + 2c

a + 4b + 2c

a + 3c

a + b + 3c

a + 2b + 3c

a + 3b + 3c

a + 4b + 3c

a + 4c

a + b + 4c

a + 2b + 4c

a + 3b + 4c

a + 4b + 4c

En utilisant les procédés connus, on peut composer des carrés magiques généraux. Voici un carré formé d’après le procédé de Bachet :

a + 2b

a + 3c

a + 3b + c

a + b + 4c

a + 4b + 2c

a + 4b + 3c

a + 2b + c

a + 4c

a + 3b + 2c

a + b

a + b + c

a + 4b + 4c

a + 2b + 2c

a

a + 3b + 3c

a + 3b + 4c

a + b + 2c

a + 4b

a + 2b + 3c

a + c

a + 2c

a + 3b

a + b + 3c

a + 4b + c

a + 2b + 4c

La densité de ce carré est (5a + 10b + 10c).

 

 

Problème 32. Identifiez les combinaisons de cinq entiers pris parmi les nombres de 1 à 25, dont la somme est 65 et dont

a) les deux plus petits nombres sont 7 et 12

b) les deux plus grands nombres sont 15 et 19

c) les deux plus grands nombres sont 14 et 18

Les solutions sont données à la fin du chapitre.

Problème 33. Composez un carré magique d’ordre 5 avec les entiers de 1 à 25 lorsque le carré interne d’ordre 3 contient les nombres 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 et 21.

 

Problème 34. a) Complétez ce carré magique avec les entiers de 1 à 25 en utilisant le procédé de Bachet.

11

 

7

 

3

 

12

 

8

 

17

 

13

 

9

 

18

 

14

 

23

 

19

 

15


b) Complétez ce carré magique avec les entiers de 1 à 25 en utilisant le procédé de Bachet.

15

 

19

 

23

 

14

 

18

 

9

 

13

 

17

 

8

 

12

 

3

 

7

 

11

 

Problème 35. À partir du carré magique précédent, formez un carré magique

a) par rotation de 270° dans le sens horaire

b) en appliquant une réflexion dont l’axe est la troisième colonne


Problème 36. Soit B le carré magique suivant,

3

10

19

22

11

6

18

25

14

2

17

21

13

5

9

24

12

1

8

20

15

4

7

16

23

Soit C un autre carré magique,

13

7

21

4

20

24

5

18

12

6

17

11

9

25

3

10

23

2

16

14

1

19

15

8

22

À quel carré magique correspond A si A + 2B = 3C ?

Problème 37. Prenez les entiers consécutifs de 1 à 25. Dans chaque cas, formez un carré magique en appliquant le procédé des obliques et en tenant compte des cases occupées.

a)

 

 

5

 

 

 

4

6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

b)

 

 

4

6

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

5

 

c)

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

4

6

d)

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

5

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 



Problème 38.
En utilisant le procédé des obliques, formez, dans chaque cas, un carré magique dont les éléments sont :

a) {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25}

b) les entiers consécutifs de 1 à 49


Problème 39.
Avec les éléments donnés en 4.6, formez un autre carré magique général d’ordre 5.


Problèmes variés 
Problème 40. Formez un carré magique d’ordre 3 dont tous les nombres sont premiers. Le carré contient 29 et 53.

Problème 41. En utilisant les neuf plus petits entiers naturels, formez un carré magique en base 2.

Problème 42. Vrai ou faux.
La somme des carrés des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre 3 est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne.

Problème 43. Montrez que la somme des quatre éléments des angles d’un carré magique d’ordre 3 est toujours égale au quadruple du médian.

Problème 44. Déterminez le nombre de carrés magiques d’ordre 4 qui contiennent les entiers de 1 à 16, si la première ligne est 4, 5, 16, 9 dans cet ordre.

Problème 45. En prenant les entiers de 1 à 16, formez un carré magique en base 3.

Problème 46. En prenant les 25 plus petits nombres pairs, formez un carré magique dont les deux diagonales contiennent respectivement : (38, 4, 30, 46, 12) et (24, 22, 30, 28, 26) dans cet ordre, 38 et 24 étant sur la première ligne.

Problème 47. Formez un carré magique d’ordre 6 dont les éléments sont des entiers de 1 à 6.

Problème 48. Formez un carré magique d’ordre 7 dont les éléments sont des entiers de 1 à 13.

Problème 49. Formez un carré magique d’ordre 8 constitué des entiers de 1 à 64 et qui est partagé en quatre carrés magiques d’ordre 4.

Problème 50. Formez un carré magique d’ordre 9 constitué des entiers de 1 à 81 et qui est partagé en neuf carrés magiques d’ordre 3.

FIN

Solution 32. a) Les combinaisons sont : (7, 12, 13, 14, 19), (7, 12, 13, 15, 18), (7, 12, 13, 16, 17), (7, 12, 14, 15, 17).

b) Les combinaisons sont : (4, 13, 14, 15, 19), (5, 12, 14, 15, 19), (6, 11, 14, 15, 19), (6, 12, 13, 15, 19), (7, 10, 14, 15, 19), (7, 11, 13, 15, 19), (8, 9, 14, 15, 19), (8, 10, 13, 15, 19), (8, 11, 12, 15, 19), (9, 10, 12, 15, 19).

c) Les combinaisons sont : (8, 12, 13, 14, 18), (9, 11, 13, 14, 18), (10, 11, 12, 14, 18).

 

Solution 33. Voici un carré magique :

10

20

25

2

8

3

19

5

15

23

22

9

13

17

4

12

11

21

7

14

18

6

1

24

16

 

Solution 34. a) Voici le carré magique :

11

24

7

20

3

4

12

25

8

16

17

5

13

21

9

10

18

1

14

22

23

6

19

2

15

b) Voici le carré magique :

15

2

19

6

23

22

14

1

18

10

9

21

13

5

17

16

8

25

12

4

3

20

7

24

11

 

Solution 35. a) Voici le carré magique obtenu par rotation de 270° dans le sens horaire :

3

20

7

24

11

16

8

25

12

4

9

21

13

5

17

22

14

1

18

10

15

2

19

6

23

b) Voici le carré magique obtenu en appliquant une réflexion dont l’axe est la troisième colonne :

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23

 

Solution 36. Le carré magique qui correspond à A est :

33

1

25

- 32

38

60

- 21

4

8

14

17

- 9

1

65

- 9

- 18

45

4

32

2

- 27

49

31

- 8

20

 

Solution 37. a) Voici le carré magique :

16

23

5

7

14

22

4

6

13

20

3

10

12

19

21

9

11

18

25

2

15

17

24

1

8

b) Voici le carré magique :

20

22

4

6

13

21

3

10

12

19

2

9

11

18

25

8

15

17

24

1

14

16

23

5

7

c) Voici le carré magique :

19

21

3

10

12

25

2

9

11

18

1

8

15

17

24

7

14

16

23

5

13

20

22

4

6

d) Voici le carré magique :

18

25

2

9

11

24

1

8

15

17

5

7

14

16

23

6

13

20

22

4

12

19

21

3

10

 

Solution 38. a) Voici un carré magique :

22

1

16

7

13

19

10

25

4

b) Voici un carré magique :

30

39

48

1

10

19

28

38

47

7

9

18

27

29

46

6

8

17

26

35

37

5

14

16

25

34

36

45

13

15

24

33

42

44

4

21

23

32

41

43

3

12

22

31

40

49

2

11

20

 

Solution 39. Voici un exemple de carré général :

a+ 2c

a + 4b + c

a + 3b

a + 2b + 4c

a + b + 3c

a + 2b + 3c

a + b + 2c

a + c

a + 4b

a + 3b + 4c

a + 4b + 4c

a + 3b + 3c

a + 2b + 2c

a + b + c

a

a + b

a + 4c

a + 4b + 3c

a + 3b + 2c

a + 2b + c

a + 3b + c

a + 2b

a + b + 4c

a + 3c

a + 4b + 2c

 

Solution 40. Voici un carré magique dont les nombres sont premiers :

101

29

83

53

71

89

59

113

41

 

Solution 41. Voici un carré magique en base 2 :

1000

1

110

11

101

111

100

1001

10

 

Solution 42. Vrai. Il s’agit de prendre au hasard plusieurs carrés magiques d’ordre 3 et de faire les calculs. Remarquez que la même propriété est valide pour les éléments de la première colonne et de la troisième colonne.

 

Solution 43. On prend un carré magique général. On additionne les quatre éléments des angles. On trouve 4a : ce qui est le quadruple du médian.

a + b

a - b - c

a + c

a - b + c

a

a + b - c

a - c

a + b + c

a - b

 

Solution 44. On peut former neuf carrés magiques. Voici un exemple :

4

5

16

9

6

15

10

3

11

2

7

14

13

12

1

8

 

Solution 45. Voici un carré magique en base 3 :

121

2

10

111

12

102

101

22

100

21

20

110

11

112

120

1

 

Solution 46. Voici un carré magique d’ordre 5 dont la densité est 130 :

38

42

6

20

24

50

4

18

22

36

2

16

30

34

48

14

28

32

46

10

26

40

44

8

12

 

Solution 47. Voici un carré magique d’ordre 6 dont la densité est 21 :

1

4

5

6

2

3

3

2

6

5

4

1

2

5

3

1

6

4

6

1

2

4

3

5

4

6

1

3

5

2

5

3

4

2

1

6

 

Solution 48. Voici un carré magique d’ordre 7 dont la densité est 49 :

6

9

12

1

4

7

10

8

11

7

3

6

9

5

10

6

2

5

8

11

7

5

8

4

7

10

6

9

7

3

6

9

12

8

4

9

5

8

11

7

3

6

4

7

10

13

2

5

8

 

Solution 49. La densité de chaque compartiment d’ordre 4 est 130. Voici un carré magique d’ordre 8 :

3

1

64

62

11

10

56

53

63

61

2

4

54

55

9

12

58

60

7

5

49

52

14

15

6

8

57

59

16

13

51

50

19

22

41

48

27

30

37

36

44

45

18

23

34

39

32

25

46

43

24

17

40

33

26

31

21

20

47

42

29

28

35

38

 

Solution 50. Voici un carré magique d’ordre 9 :

71

64

69

8

1

6

53

46

51

66

68

70

3

5

7

48

50

52

67

72

65

4

9

2

49

54

47

26

19

24

44

37

42

62

55

60

21

23

25

39

41

43

57

59

61

22

27

20

40

45

38

58

63

56

35

28

33

80

73

78

17

10

15

30

32

34

75

77

79

12

14

16

31

36

29

76

81

74

13

18

11