On peut construire d’autres carrés magiques

· en déplaçant seulement les éléments à l’intérieur du petit carré

· en déplaçant seulement les éléments dans la bordure périphérique

· en déplaçant les éléments des deux régions en même temps

De plus, il est possible de choisir d’autres éléments dans chacune des deux régions.

On dessine d’abord un carré d’ordre 5 ; puis on ajoute deux rangées de cases parallèles aux quatre côtés du carré. On écrit les entiers de 1 à 25 en les disposant successivement par rangée oblique comme ceci :

Par la suite, on ramène à l’intérieur du carré les nombres placés à l’extérieur, selon les règles suivantes :

1. Chaque nombre extérieur est ramené à l’intérieur dans la même ligne ou dans la même colonne. Par exemple, 1 demeure dans la troisième ligne.

2. Le nombre extérieur qui est adjacent au côté du carré est placé dans la première ligne, la cinquième ligne, la première colonne ou la cinquième colonne. Par exemple, 4 est placé dans la cinquième ligne.

3. Le nombre extérieur qui n’est pas adjacent est placé dans la deuxième ligne, la quatrième ligne, la deuxième colonne ou la quatrième colonne. Par exemple, 5 est placé dans la quatrième ligne.

En respectant ces règles, on obtient le carré magique suivant :

Soit le carré magique normal suivant,

Si on considère la troisième rangée verticale du carré précédent comme un axe de symétrie et qu’on déplace les éléments correspondants par ligne, on obtient :

· par l’addition, par la soustraction, par la multiplication ou par la division d’un même nombre à tous les éléments d’un carré magique existant.

· par l’addition ou par la soustraction de deux carrés magiques.

Il est possible de former d’autres carrés magiques si le départ se fait dans certaines autres cases. De même, on peut composer d’autres règles en s’inspirant de ce procédé.

En utilisant les procédés connus, on peut composer des carrés magiques généraux. Voici un carré formé d’après le procédé de Bachet :

Soit C un autre carré magique,

À quel carré magique correspond A si A + 2B = 3C ?

b)

c)

d)

Solution 34. a) Voici le carré magique :

b) Voici le carré magique :

Solution 35. a) Voici le carré magique obtenu par rotation de 270° dans le sens horaire :

b) Voici le carré magique obtenu en appliquant une réflexion dont l’axe est la troisième colonne :

Solution 36. Le carré magique qui correspond à A est :

Solution 37. a) Voici le carré magique :

b) Voici le carré magique :

c) Voici le carré magique :

d) Voici le carré magique :

Solution 38. a) Voici un carré magique :

b) Voici un carré magique :

Solution 39. Voici un exemple de carré général :

Solution 40. Voici un carré magique dont les nombres sont premiers :

Solution 41. Voici un carré magique en base 2 :

Solution 42. Vrai. Il s’agit de prendre au hasard plusieurs carrés magiques d’ordre 3 et de faire les calculs. Remarquez que la même propriété est valide pour les éléments de la première colonne et de la troisième colonne.

Solution 43. On prend un carré magique général. On additionne les quatre éléments des angles. On trouve 4a : ce qui est le quadruple du médian.

Solution 44. On peut former neuf carrés magiques. Voici un exemple :

Solution 46. Voici un carré magique d’ordre 5 dont la densité est 130 :

Solution 47. Voici un carré magique d’ordre 6 dont la densité est 21 :

Solution 48. Voici un carré magique d’ordre 7 dont la densité est 49 :

Solution 49. La densité de chaque compartiment d’ordre 4 est 130. Voici un carré magique d’ordre 8 :

Solution 50. Voici un carré magique d’ordre 9 :