Diviseur

Dans une division, nombre qui divise. C’est le second terme. Le premier terme est le dividende. Dans 36 ÷ 4 = 9, 4 est le diviseur. Les diviseurs de 98 sont 1, 2, 7, 14, 49 et 98. Le nombre 98 a six diviseurs. Voici trois propriétés concernant les diviseurs :

1. Tout nombre premier a deux diviseurs. Par exemple, les diviseurs de 17 sont 1 et 17.

2. Tous les entiers, sauf les carrés parfaits, ont un nombre pair de diviseurs. Par exemple, 98 a six diviseurs ; 64 a sept diviseurs.

3. Le nombre de diviseurs d’un nombre premier a élevé à la puissance n, soit aⁿ, est (n + 1). Par exemple, 5³ a quatre diviseurs : 1, 5, 25 et 125.

Voici quatre algorithmes concernant les diviseurs :
1. Pour trouver le nombre de diviseurs de tout nombre, on décompose le nombre donné en facteurs premiers ; puis on fait le produit du nombre de diviseurs de chaque facteur. Par exemple, 180 a 18 diviseurs. On décompose 180 ainsi : 2² × 3² × 5. Le nombre de diviseurs de 2² est 3 ; celui de 3² est 3 et celui de 5 est 2. On a donc : 3 × 3 × 2 = 18 diviseurs.

2. Lorsqu’on cherche un à un les diviseurs d’un nombre, on compte le nombre de diviseurs jusqu'à la racine carrée du dividende et on multiplie le nombre trouvé par 2. La racine carrée de 180 est 13,4... Il y a neuf diviseurs de 180 inférieurs à cette racine : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 et 12. D’où, 180 a 9 × 2 = 18 diviseurs.

3. Pour trouver la somme des diviseurs d’un nombre premier a élevé à la puissance n, soit aⁿ, on procède ainsi : On calcule a^{n+ 1} auquel on soustrait 1. Puis, on divise le résultat par (a - 1). Par exemple, pour trouver la somme des diviseurs de 5³, on calcule 5⁴ soit 625. On soustrait 1 : ce qui donne 624. On divise 624 par 4 : ce qui donne 156.

4. Pour trouver la somme des diviseurs de tout entier, on décompose le nombre donné en facteurs premiers ; on trouve la somme des diviseurs de chacun des facteurs ; puis on fait le produit de ces sommes. Par exemple, les facteurs de 648 sont 2³ et 3⁴. La somme des diviseurs de 2³ est 15 ; celle de 3⁴ est 121. La somme des diviseurs de 648 est 15 × 121 = 1815.

Commun diviseur 
Le commun diviseur de deux nombres ou plus est tout nombre qui divise chacun d’eux sans reste. Par exemple, 3 est un commun diviseur de 45, 60 et 75. Le nombre 5 est aussi un commun diviseur de ces nombres. Le plus grand commun diviseur de deux nombres ou plus est le plus grand nombre qui divise chacun d’eux sans reste. Par exemple, 15 est le plus grand commun diviseur de 45, 60 et 75. 

Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on vérifie si chacun des nombres est divisible par un nombre premier comme 2, 3, 5, 7, 11, etc. On note les diviseurs communs. À la fin, on multiplie ces diviseurs : c’est le plus grand commun diviseur. 

Le plus grand commun diviseur de 66, 165 et 198 est 33. En effet, 2 n’est pas un diviseur commun ; 3 est un diviseur commun ; 5 et 7 ne sont pas des diviseurs communs ; 11 est un diviseur commun. On fait 3 × 11 = 33. On peut aussi décomposer en facteurs premiers chacun de ces nombres : 66 = 2 × 3 × 11, 165 = 3 × 5 × 11 et 198 = 2 × 3² × 11. On voit que 3 et 11 sont des diviseurs de chaque nombre.

© Charles-É. Jean

Index : D

Voir aussi Diviseur dans le Dictionnaire de mathématiques récréatives.