Le théorème de Pythagore nous rappelle combien les carrés peuvent jouer un rôle important en mathématiques. Parfois, dans certaines formules, les carrés nous surprennent parce qu’on n’avait pas imaginé leur présence ; parfois, ils prennent beaucoup de place étant associés à la deuxième dimension. Dans cet article, nous donnons des façons de former des égalités de carrés.

Notre étude se fera à partir de carrés magiques, de rectangles magiques, de tableaux, d’algorithmes, de formules, de suites arithmétiques, de comparaisons, de propositions et d’opérations diversifiées.

1. Carrés magiques d’ordre 3

Nous allons énoncer certaines propriétés des carrés magiques d’ordre 3 qui permettent de former des égalités de carrés.

Proposition 1. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne (ou colonne) est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne (ou colonne). Voici un carré magique :

On peut écrire :

1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9² = 101

3² + 4² + 8² = 2² + 6² + 7² = 89

Proposition 2. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est égale à la somme des carrés des éléments de la première ligne (ou troisième) et de la première colonne (ou troisième).

On peut écrire :

1² + 5² + 9² + 3² + 5² + 7² = 190

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

En supprimant de part et d’autre les termes identiques des deux égalités, on obtient :

5² + 5² + 7² + 9² = 4² + 6² + 8² + 8² = 180

On peut représenter cette égalité en colorant les cases de deux teintes et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

Proposition 3. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 1 est égale à la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 3.

On peut écrire :

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

4² + 9² + 2² + 6² + 7² + 2² = 190

En supprimant de part et d’autre les termes identiques des deux égalités, on obtient :

1² + 3² + 8² + 8² = 2² + 2² + 7² + 9² = 138

On peut représenter cette égalité en colorant les cases et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

Proposition 4. La somme des carrés des éléments de la première ligne de deux carrés magiques quelconques est égale à somme des carrés des éléments de la troisième ligne de ces carrés magiques.

L’égalité est :

1² + 6² + 8² + 11² + 15² + 16² = 2² + 4² + 9² + 12² + 13² + 17² = 703

On pourrait émettre d’autres propositions concernant les premières et les troisièmes lignes, de même que pour les colonnes. Cela pourrait donner ces égalités dans lesquelles la somme de chaque membre est toujours 703 :

3² + 4² + 8² + 11² + 13² + 18² = 2² + 6² + 7² + 10² + 15² + 17² = 703

1² + 6² + 8² + 12² + 13² + 17² = 2² + 4² + 9² + 11² + 15² + 16² = 703

3² + 4² + 8² + 10² + 15² + 17² = 2² + 6² + 7² + 11² + 13² + 18² = 703     

De plus, on pourrait ajouter autant de carrés magiques que l’on veut et produire des égalités de plus en plus longues. Par exemple, le prochain carré magique pourrait contenir les entiers de 19 à 27, ce qui permettrait d’avoir encore des entiers différents.

2. Carrés magiques d’ordre 4

Dans un carré magique d’ordre 4 qui contient tous les entiers de 1 à 16, la somme des éléments dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 34. Certains de ces 880 carrés magiques sont formés par la réunion de deux paires d’éléments dont la somme est 17.

Dressons un tableau comportant en abscisse et en ordonnée la somme de deux carrés dont la somme des bases est 17. Additionnons deux à deux les résultats.

À titre d’exemple, on peut lire : 205 + 157 = 362, ce qui peut être traduit en 3² + 14² + 6² + 11² = 362. Le tableau montre quatre fois deux sommes égales : 314, 354, 374 et 414. La différence des deux premières sommes est 40. Celle des deux dernières est aussi 40.

Les sommes sont 314

Du tableau, on peut tirer :

5² + 12² + 8² + 9² = 314

6² + 11² + 6² + 11² = 314

Comme des éléments apparaissent deux fois dans un même membre, on s’abstiendra d’illustrer ces deux égalités.

Les sommes sont 354

Du tableau, on peut tirer :

3² + 14² + 7² + 10² = 4² + 13² + 5² + 12² = 354

Dans le carré magique suivant, le numéro 495 de Frénicle, les bases du premier membre de l’égalité apparaissent sur la première ligne. Les bases de l’autre membre apparaissent au centre dans un carré 2 × 2.

Les sommes sont 374

Du tableau, on peut tirer :

2² + 15² + 8² + 9² = 3² + 14² + 5² + 12² = 374

Dans le carré magique suivant, le numéro 328 de Frénicle, les bases du premier membre de l’égalité apparaissent sur la première ligne. Les bases de l’autre membre apparaissent sur la troisième ligne

Les sommes sont 414

Du tableau, on peut tirer :

1² + 16² + 6² + 11² = 2² + 15² + 4² + 13² = 414

Dans le carré magique suivant, le numéro 156 de Frénicle, les bases du premier membre de l’égalité apparaissent sur la première ligne. Les bases de l’autre membre apparaissent au centre dans un carré 2 × 2.

5. Autres égalités

Pour obtenir d’autres égalités, on peut combiner les résultats de deux sommes différentes.

Prenons les sommes 354 et 374. On peut écrire :

3² + 14² + 7² + 10² + 2² + 15² + 8² + 9² = 4² + 13² + 5² + 12² + 3² + 14² + 5² + 12² = 728

Comme 3² + 14² apparaissent dans les deux égalités, on peut les supprimer. En ordre,  on a :

2² + 7² + 8² + 9² + 10² + 15² = 4² + 5² + 5² + 12² + 12² + 13² = 523

On a une somme de six carrés qui est égale à une somme de six autres carrés.

Dans certains carrés magiques d’ordre 4 comme celui de Dürer, on peut trouver des égalités de carrés en considérant les lignes, les colonnes et les diagonales.

Proposition 1. La somme des carrés des éléments de la première ligne est égale à celle de la quatrième ligne.

2² + 3² + 13² + 16² = 1² + 4² + 14² + 15² = 438

Proposition 2. La somme des carrés des éléments de la deuxième ligne est égale à celle de la troisième ligne.

5² + 8² + 10² + 11² = 6² + 7² + 9² + 12² = 310

Proposition 3. La somme des carrés des éléments de la première colonne est égale à celle de la quatrième colonne.

4² + 5² + 9² + 16² = 1² + 8² + 12² + 13² = 378

Proposition 4. La somme des carrés des éléments de la deuxième colonne est égale à celle de la troisième colonne.

3² + 6² + 10² + 15² = 2² + 7² + 11² + 14² = 370

Proposition 5. La somme des carrés d’un couple de diagonales brisées coupées en leur moitié est égale à la somme des carrés de l’autre couple de diagonales brisées.

3² + 5² + 12² + 14² = 2² + 8² + 9² + 15² = 374

Pour cette dernière proposition, on peut aussi obtenir une égalité de cubes.

3³ + 5³ + 12³ + 14³ = 2³ + 8³ + 9³ + 15³ = 4624

3. Rectangles magiques

Un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et celle de chaque colonne doit aussi être unique, mais différente de celle des lignes.

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

On peut trouver des égalités de carrés en composant des rectangles magiques d’ordres 2 × n où n est le nombre de colonnes.

Six carrés

Dans ce rectangle magique, on place les entiers de 1 à 7 sauf 4. La somme dans chaque ligne doit être 12 et dans chaque colonne 8.

On peut écrire :

1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² = 62

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 8, on a :

9² + 13² + 14² = 10² + 11² + 15² = 446

Huit carrés

Dans ce rectangle, on place les entiers de 1 à 8. La somme dans chaque ligne doit être 18 et dans chaque colonne 9.

On peut écrire :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 9, on a :

10² + 13² + 15² + 16² = 11² + 12² + 14² + 17² = 750

Dix carrés

Dans ce rectangle, on place les entiers de 1 à 5 et de 9 à 13. La somme dans chaque ligne doit être 35 et dans chaque colonne 14.

On peut écrire :

1² + 3² + 9² + 10² + 12² = 2² + 4² + 5² + 11² + 13² = 335

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 10, on a :

11² + 13² + 19² + 20² + 22² = 12² + 14² + 15² + 21² + 23² = 1535

Douze carrés

Dans ce rectangle, on place les entiers de 1 à 12. La somme dans chaque ligne doit être 39 et dans chaque colonne 13.

On peut écrire :

1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 11, on a :

12² + 14² + 18² + 19² + 20² + 22² = 13² + 15² + 16² + 17² + 21² + 23² = 1909

Quatorze carrés

Dans ce rectangle, on place les entiers de 1 à 15 sauf 8. La somme dans chaque ligne doit être 56 et dans chaque colonne 16.

On peut écrire :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 12, on a :

13² + 14² + 19² + 22² + 23² + 24² + 25² = 15² + 16² + 17² + 18² + 21² + 26² + 27² = 2940

Seize carrés

Dans ce rectangle, on place les entiers de 1 à 16. La somme dans chaque ligne doit être 68 et dans chaque colonne 17.

On peut écrire :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748

On peut additionner un même nombre à chaque terme. On obtient une autre égalité. Par exemple, quand on additionne 13, on a :

14² + 16² + 19² + 21² + 23² + 25² + 26² + 28² = 15² + 17² + 18² + 20² + 22² + 24² + 27² + 29² = 3868

4. Tableaux de carrés

Précédemment, nous avons présenté un tableau dans lequel on additionnait des couples de carrés deux à deux. Nous allons indiquer une façon de trouver d’autres égalités de carrés à partir d’un tableau. On commence par écrire en abscisse et en ordonnée les carrés de 1 à 14, par exemple. On fait la somme de chaque couple de carrés. On obtient ce tableau.

En prenant les nombres qui apparaissent dans le tableau, on écrit des égalités comportant autant de termes que l’on veut. Sous cette égalité, on écrit les carrés qu’on trouve en abscisse et en ordonnée.

Par exemple, on écrit 25 + 100 = 125. Sous le 25, on trouve 3² + 4². Sous le 100, on trouve 6² + 8². Sous le 125, on trouve 5² + 10². Cela donne :

3² + 4² + 6² + 8² = 5² + 10² = 125

Au besoin, on supprime les termes identiques qui apparaissent dans les deux membres de l’égalité.

Voici d’autres exemples :

• On écrit : 25 + 149 = 29 + 145 = 174

Cela donne :

3² + 4² + 7² + 10² = 2² + 5² + 8² + 9² = 174

• On écrit : 61 + 193 = 73 + 181 = 254

Cela donne :

5² + 6² + 7² + 12² = 3² + 8² + 9² + 10² = 254

• On écrit : 50 + 260 = 20 + 290 = 310

Cela donne :

1² + 7² + 8² + 14² = 2² + 4² + 11² + 13² = 310

Dans cette dernière égalité, on peut changer les carrés en cubes et l’égalité demeure vraie. On a alors :

1³ + 7³ + 8³ + 14³ = 2³ + 4³ + 11³ + 13³ = 3600

• On écrit : 125 + 185 = 130 + 180 = 310

Cela donne :

5² + 10² + 8² + 11² = 7² + 9² + 6² + 12² = 310

•  On écrit : 90 + 113 + 122 = 61 + 116 + 148 = 325

Cela donne :

3² + 9² + 7² + 8² + 1² + 11² = 5² + 6² + 4² + 10² + 2² + 12² = 325

En ordre, on a :

1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325

Dans cette dernière égalité, on a tous les entiers de 1 à 12 comme bases.

5. Avec des entiers de 1 à n

Nous indiquons une façon de trouver des égalités de carrés comportant les entiers de 1 à n où n est égal ou plus grand que 4. Voici comment on procède.

• On choisit le nombre qui suit n.

• On calcule la différence de deux entiers dont la somme est le nombre choisi.

• On forme des égalités avec les résultats trouvés.

• On place le carré le plus grand dans le membre qui correspond à chaque résultat et l’autre carré, dans l’autre membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Nombres de 1 à 4

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 5. On peut écrire : 4² – 1² = 15, 3² – 2² = 5. Avec 5 et 15, une égalité est : 5 + 5 + 5 = 15. Pour chaque 5, on écrit 3 dans le premier membre et 2 dans le second. Pour 15, comme il est dans le second membre, on écrit 4 dans le second membre et 1 dans le premier.

On a alors :

3² + 3² + 3² + 1² = 2² + 2² + 2² + 4² = 28

Nombres de 1 à 5

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 6. On peut écrire : 5² – 1² = 24, 4² – 2² = 12. On fait : 12 + 12 = 24.

On a alors :

4² + 4² + 1² = 2² + 2² + 5² = 33

Nombres de 1 à 6

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 7. On peut écrire : 6² – 1² = 35, 5² – 2² = 21, 4² – 3² = 7. Voici deux exemples :

• 7 + 7 + 21 = 35

4² + 4² + 5² + 1² = 3² + 3² + 2² + 6² = 58

• 7 + 35 = 21 + 21

4² + 6² + 2² + 2² = 3² + 1² + 5² + 5² = 60

Nombres de 1 à 7

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 8. On peut écrire : 7² – 1² = 48, 6² – 2² = 32, 5² – 3² = 16. On fait : 16 + 32 = 48.

On a alors :

5² + 6² + 1² = 3² + 2² + 7² = 62

Nombres de 1 à 8

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 9. On peut écrire : 8² – 1² = 63, 7² – 2² = 45, 6² – 3² = 27, 5² – 4² = 9. On fait : 27 + 45 = 9 + 63.

On a alors :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102

Nombres de 1 à 9

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 10. On peut écrire : 9² – 1² = 80, 8² – 2² = 60, 7² – 3² = 40, 6² – 4² = 20. On fait : 20 + 80 = 40 + 60.

On a alors :

6² + 9² + 3² + 2² = 4² + 1² + 7² + 8² = 130

Nombres de 1 à 10

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 11. On peut écrire : 10² – 1² = 99, 9² – 2² = 77, 8² – 3² = 55, 7² – 4² = 33, 6² – 5² = 11. Voici trois exemples :

• 33 + 99 = 55 + 77

On peut écrire :

7² + 10² + 3² + 2² = 4² + 1² + 8² + 9² = 162

• 11 + 33 + 55 = 99

On peut écrire :

6² + 7² + 8² + 1² = 5² + 4² + 3² + 10² = 150

• 11 + 99 = 33 + 77

On peut écrire :

6² + 10² + 4² + 2² = 5² + 1² + 7² + 9² = 156

Nombres de 1 à 11

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 12. On peut écrire : 11² – 1² = 120, 10² – 2² = 96, 9² – 3² = 72, 8² – 4² = 48, 7² – 5² = 24. Voici quatre exemples :

• 48 + 120 = 72 + 96

8² + 11² + 3² + 2² = 4² + 1² + 9² + 10² = 198

• 24 + 96 = 48 + 72

7² + 10² + 4² + 3² = 5² + 2² + 8² + 9² = 174

• 24 + 120 = 48 + 96

7² + 11² + 4² + 2² = 5² + 1² + 8² + 10² = 190

• 24 + 24 + 48 + 96 = 72 + 120

7² + 7² + 8² + 10² + 3² + 1² = 5² + 5² + 4² + 2² + 9² + 11² = 272

Nombres de 1 à 12

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 13. On peut écrire : 12² – 1² = 143, 11² – 2² = 117, 10² – 3² = 91, 9² – 4² = 65, 8² – 5² = 39, 7² – 6² = 13. On fait : 13 + 39 + 65 + 117 = 91 + 143.

On a alors :

7² + 8² + 9² + 11² + 3² + 1² = 6² + 5² + 4² + 2² + 10² + 12² = 325

On a trouvé une égalité comprenant les carrés des entiers de 1 à 12.

Nombres de 1 à 16

On calcule la différence de carrés de deux entiers dont la somme est 17. On peut écrire : 16² – 1² = 255, 15² – 2² = 221, 14² – 3² = 187, 13² – 4² = 153, 12² – 5² = 119, 11² – 6² = 85, 10² – 7² = 51, 9² – 8² = 17. On fait : 17 + 85 + 187 + 255 = 51 + 119 + 153 + 221.

On a alors :

2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 748

On a trouvé une égalité comprenant les carrés des entiers de 1 à 16.

On peut aussi écrire : 17 + 51 + 221 + 255 = 85 + 119 + 153 + 187. On a alors :

1² + 2² + 7² + 8² + 11² + 12² + 13² + 14² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 10² + 15² + 16² = 748

On a trouvé une autre égalité comprenant les carrés des entiers de 1 à 16.

Fait intéressant. On peut opérer sur les bases de cette section avec n’importe lequel nombre et on obtient autant de nouvelles égalités. Donnons un exemple avec les nombres de 1 à 8 dont une égalité est :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102.

Si on additionne 1 à chaque base, on a :

2² + 5² + 7² + 8² = 3² + 4² + 6² + 9² = 142

Si on ajoute 1 devant chaque nombre de cette dernière égalité, on a une nouvelle égalité :

12² + 15² + 17² + 18² = 13² + 14² + 16² + 19² = 982

Si on ajoute 2 après chaque nombre de cette dernière égalité, on a une nouvelle égalité :

122² + 152² + 172² + 182² = 132² + 142² + 162² + 192² = 100 696

6. Expressions algébriques

On peut former des égalités de huit carrés à partir d’expressions algébriques. Pour chaque membre de l’égalité, on prend un groupe de quatre expressions :

(1) b + 2c, 2b + 2c, 3b + c, c

(2) b + c, 2b + c, 3b + 2c, 2c

On attribue une valeur arbitraire à chacune des lettres. Par exemple, b = 5 et c = 8. On peut écrire :

21² + 26² + 23² + 8² = 13² + 18² + 31² + 16² = 1710

On peut composer d’autres expressions :

(1) b, b + 3c, 2b + c, 2b + 2c

(2) b + c, b + 2c, 2b, 2b + 3c

Par exemple, si b = 3 et c = 7, on a :

3² + 24² + 13² + 20² = 10² + 17² + 6² + 27² = 1154

7. Énoncé de Diophante

Diophante d’Alexandrie, un mathématicien grec, vécut vers le 3^e siècle. Il s’intéressa à de nombreux problèmes d’arithmétique. Nous allons vous présenter un de ses énoncés. Après avoir expliqué sa teneur, nous tenterons d’appliquer cette notion plus largement.

L’énoncé de Diophante peut se lire comme suit : Le produit de deux entiers dont chacun est la somme de deux carrés est égale à la somme de deux carrés de deux façons.

Cela se traduit par les deux identités suivantes :

(a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²

(a² + b²)(c² + d²) = (ac – bd)² + (ad + bc)²

Par exemple, on peut écrire :

1² + 2² = 5

1² + 4² = 17

On a là deux entiers 5 et 17 qui sont chacun une somme de deux carrés. D’après Diophante, le produit de 5 et de 17, soit 85, est la somme de deux carrés de deux façons. Pour trouver les carrés, on fait :

(ac + bd)² + (ad – bc)² = (1 × 1 + 2 × 4)² + (1 × 4 – 2 × 1)² = 9² + 2²

(ac – bd)² + (ad + bc)² = = (1 × 1 – 2 × 4)² + (1 × 4 + 2 × 1)² = -7² + 6² = 7² + 6²

Bref, on peut écrire :

9² + 2² = 7² + 6² = 85

Trois façons

Pourrait-on trouver un produit qui serait la somme de deux carrés de trois façons ?

À titre d’exemple, prenons trois sommes de deux carrés.

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

2² + 4² = 20

On fait : 5 × 13 × 20 = 1300.

À ma connaissance, il n’existe pas d’énoncés qui nous permettraient de résoudre le problème. On adapte donc l’énoncé de Diophante. On choisit d’abord deux égalités et on les multiplie selon les règles établies. Avec les résultats, on fait de même avec la troisième égalité.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 13, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 2² + 4² = 20, on trouve 20² + 30² = 1300 et 12² + 34² = 1300.

Avec 4² + 7² = 65 et 2² + 4² = 20, on trouve 36² + 2² = 1300 et 20² + 30² = 1300.

Bref, 1300 peut s’écrire d’au moins trois façons :

20² + 30² = 1300

12² + 34² = 1300

36² + 2² = 1300

On peut combiner deux à deux chaque couple de carrés et obtenir trois égalités, par exemple :

20² + 30² = 12² + 34².

Quatre façons

Voici un cas où, à partir de trois sommes, on peut trouver quatre façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés :

Les couples de départ sont :

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

1² + 4² = 17

On peut écrire : 5 × 13 × 17 = 1105.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 13, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 1² + 4² = 17, on trouve 12² + 31² = 1105 et 4² + 33² = 1105.

Avec 4² + 7² = 65 et 1² + 4² = 17, on trouve 32² + 9² = 1105 et 24² + 23² = 1105.

Bref, 1105 peut s’écrire d’au moins quatre façons :

12² + 31² = 1105

4² + 33² = 1105

32² + 9² = 1105

24² + 23² = 1105

On peut obtenir six égalités dont : 12² + 31² = 24² + 23² = 1105.

Cinq façons

On peut trouver cinq façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés à partir de quatre sommes de deux carrés :

1² + 2² = 5

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

3² + 4² = 25

On peut écrire : 5 × 5 × 13 × 25 = 8125.

Avec 1² + 2² = 5 et 2² + 3² = 13, on trouve 8² + 1² = 65 et 4² + 7² = 65.

Avec 8² + 1² = 65 et 3² + 4² = 25, on trouve 28² + 29² = 1625 et 20² + 35² = 1625.

Avec 4² + 7² = 65 et 3² + 4² = 25, on trouve 40² + 5² = 1625 et 16² + 37² = 1625.

Avec 28² + 29² = 1625 et 1² + 2² = 5, on trouve 86² + 27² = 8125 et 30² + 85² = 8125.

Avec 20² + 35² = 1625 et 1² + 2² = 5, on trouve 90² + 5² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Avec 2² + 3² = 13 et 3² + 4² = 25, on trouve 18² + 1² = 325 et 6² + 17² = 325.

Avec 18² + 1² = 325 et 3² + 4² = 25, on trouve 58² + 69² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Avec 6² + 17² = 325 et 3² + 4² = 25, on trouve 86² + 27² = 8125 et 50² + 75² = 8125.

Bref, 8125 peut s’écrire d’au moins cinq façons :

86² + 27² = 8125

30² + 85² = 8125

90² + 5² = 8125

50² + 75² = 8125

58² + 69² = 8125

On peut obtenir 10 égalités, dont 30² + 85² = 58² + 69² = 8125.

Six façons

On peut trouver six façons d’écrire un nombre en une somme de deux carrés à partir de quatre sommes de deux carrés :

1² + 2² = 5

1² + 2² = 5

2² + 3² = 13

1² + 4² = 17

On a : 5 × 5 × 13 × 17 = 5525.

On trouve que 5525 peut s’écrire d’au moins six façons :

62² + 41² = 5525

70² + 25² = 5525

71² + 22² = 5525

73² + 14² = 5525

74² + 7² = 5525

On peut obtenir 15 égalités dont 70² + 25² = 71² + 22² = 5525

8. Deux trios

Pour trouver des égalités de carrés, on peut former deux trios en respectant les règles ci-après.

Premier trio

• On choisit 1.

• On donne une valeur entière à n.

• On prend l’élément qui est égal à (7n + 2).

• On prend l’élément qui est la somme des deux premiers.

Second trio

• On conserve la même valeur de n.

• On prend l’élément qui est égal à (3n + 2).

• On prend l’élément qui est égal à (5n + 1).

• On prend l’élément qui est la somme des deux premiers.

On élève au carré chacun des entiers trouvés. On place le signe = entre les deux trios. Par exemple, si n = 1, on a les trios  (1, 9, 10) et (5, 6, 11). On peut écrire :

1² + 9² + 10² = 5² + 6² + 11² = 182

On peut composer d’autres égalités à partir de chacune d’elles. Par exemple, prenons le cas précédent : (1, 9, 10) et (5, 6, 11). Choisissons un opérateur. En réalité, on pourrait choisir n’importe lequel nombre. Toutefois, on se contente de choisir le nombre consécutif au plus grand. Comme 11 est le plus grand, on prend 12. On soustrait de 12 et on additionne 12 à chaque élément. On écrira :

11 + 13 + 3 + 21 + 2 + 22 = 7 + 17 + 6 + 18 + 1 + 23 = 72

Après avoir mis en ordre les nombres dans chaque membre, on les élève au carré. On obtient :

2² + 3² + 11² + 13² + 21² + 22² = 1² + 6² + 7² + 17² + 18² + 23² = 1228

On peut additionner n’importe lequel nombre à chaque élément de cette dernière égalité. En additionnant 5, on a une autre égalité.

7² + 8² + 16² + 18² + 26² + 27² = 6² + 11² + 12² + 22² + 23² + 28² = 2098

Si on remplace l’exposant 2 par 3, on aura une nouvelle identité.

7³ + 8³ + 16³ + 18³ + 26³ + 27³ = 6³ + 11³ + 12³ + 22³ + 23³ + 28³ = 48 042

Si on remplace l’exposant 3 par 4, on aura une nouvelle identité.

7⁴ + 8⁴ + 16⁴ + 18⁴ + 26⁴ + 27⁴ = 6⁴ + 11⁴ + 12⁴ + 22⁴ + 23⁴ + 28⁴ = 1 165 426

Si on remplace l’exposant 4 par 5, on aura une nouvelle identité.

7⁵ + 8⁵ + 16⁵ + 18⁵ + 26⁵ + 27⁵ = 6⁵ + 11⁵ + 12⁵ + 22⁵ + 23⁵ + 28⁵ = 29 218 002

9. Sommes fractionnées

Pour trouver des égalités de carrés, on peut choisir des nombres dont on fait la somme. On multiplie celle-ci par une fraction qui convient. Dans le choix des nombres, de préférence, on doit éviter les cas où un nombre est la moitié de la somme fractionnée, de même que les cas où l’addition de deux nombres donne la somme fractionnée. Ceci est conseillé seulement pour ne pas avoir à supprimer des doublons de part et d’autre.

Égalité de six carrés

On choisit trois nombres dont la somme est divisible par 3. On multiplie celle-ci par 2/3. Du résultat, on soustrait les nombres choisis.

Par exemple, on choisit 2, 11 et 14. La somme est 27. On multiplie par 2/3. Le produit est 18. De 18, en soustrayant les nombres choisis, on obtient 16, 7 et 4. On écrit le premier groupe de nombres dans le premier membre de l’égalité et les autres dans le second membre. On a alors :

2² + 11² + 14² = 4² + 7² + 16² = 321

Égalité de huit carrés

On choisit quatre nombres dont la somme est paire. On multiplie celle-ci par 1/2. Du résultat, on soustrait chacun des nombres.

Par exemple, on choisit 2, 7, 9 et 12. La somme est 30 et la demi-somme 15. En soustrayant de 15, on obtient 13, 8, 6, 3. On peut écrire :

2² + 7² + 9² + 12² = 3² + 6² + 8² + 13² = 278

Égalité de 10 carrés

On choisit cinq nombres dont la somme est divisible par 5. On multiplie celle-ci par 2/5. Du résultat, on soustrait chacun des nombres.

Par exemple, on choisit 3, 4, 8, 13, 17. La somme est 45. On multiplie par 2/5. Le résultat est 18. En soustrayant de 18, on obtient 15, 14, 10, 5, 1. On peut écrire :

3² + 4² + 8² + 13² + 17² = 1² + 5² + 10² + 14² + 15² = 547

Égalité de 12 carrés

On choisit six nombres. On prend le tiers de la somme.

Par exemple, on choisit 2, 7, 8, 10, 14, 16. La somme est 57. Le tiers de la somme est 19. En soustrayant de 19, on obtient : 17, 12, 11, 9, 5, 3. On peut écrire :

2² + 7² + 8² + 10² + 14² + 16² = 3² + 5² + 9² + 11² + 12² + 17² = 669

Égalité de 14 carrés

On choisit sept nombres. On prend les 2/7 de la somme.

Par exemple, on choisit  4, 10, 11, 13, 19, 20, 21. La somme est 98. Les 2/7 de la somme est 28. En soustrayant de 28, on obtient : 24, 18, 17, 15, 9, 8, 7. On peut écrire :

4² + 10² + 11² + 13² + 19² + 20² + 21² = 7² + 8² + 9² + 15² + 17² + 18² + 24² = 1608

Égalité de 16 carrés

On choisit huit nombres. On prend le quart de la somme.

Par exemple, on choisit 1, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15. La somme est 68. Le quart de la somme est 17. En soustrayant de 17, on obtient : 16, 13, 12, 9, 7, 6, 3, 2.

On peut écrire :

1² + 4² + 5² + 8² + 10² + 11² + 14² + 15² = 2² + 3² + 6² + 7² + 9² + 12² + 13² + 16² = 748

Cette égalité contient les entiers de 1 à 16.

Généralisation

Soit n le nombre d’entiers, le multiplicateur est 4/n. Si n = 18, le multiplicateur sera 2/9. Si n = 20, le multiplicateur sera 1/5.

10. Des suites

On peut appliquer la théorie des suites pour trouver des égalités de carrés.

Égalité de six carrés

On forme une suite de huit nombres. On colorie des cases selon une certaine symétrie. Un membre de l’égalité est formé par le carré des nombres des cases d’une même couleur. L’autre membre est formé par le carré des nombres des cases de l’autre couleur.

On peut écrire :

5² + 13² + 15² = 7² + 9² + 17² = 419

Si on avait la suite 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, on pourrait écrire :

4² + 16² + 19² = 7² + 10² + 22² = 633

Égalité de huit carrés

Cas 1. Sur la première ligne, on écrit une suite de quatre nombres qui commence par 5 et dont la raison est 2. On additionne 3 à chacun des termes : ce qui donne une autre suite dont la raison est encore 2. On colorie les cases ainsi :

On peut écrire de préférence en ordre numérique :

5² + 10² + 11² + 12² = 7² + 8² + 9² + 14² = 390

Cas 2. On écrit une suite de raison 3 qui commence par 2. On additionne 25 à chacun des termes.

On peut écrire :

2² + 23² + 36² + 39² = 11² + 14² + 27² + 48² = 3350

Cas 3. Avec les deux mêmes suites, on peut colorer les cases d’une façon différente.

On peut écrire :

5² + 20² + 33² + 42² = 8² + 17² + 30² + 45² = 3278

Égalité de 10 carrés

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le sixième terme de la suite précédente. On applique la même raison.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, on obtient :

1² + 7² + 25² + 28² + 34² = 4² + 10² + 13² + 31² + 37² = 2615

Égalité de 12 carrés

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le dernier terme de la suite précédente. On applique la même raison.

On obtient :

1² + 13² + 16² + 22² + 34² + 37² = 4² + 7² + 19² + 25² + 28² + 40² = 3435

Égalité de 14 carrés

Cas 1. Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le dernier terme de la suite précédente. On applique la même raison. On colorie différemment.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, on obtient :

1² + 7² + 16² + 25² + 31² + 34² + 40² = 4² + 10² + 13² + 19² + 28² + 37² + 43² = 4648

Cas 2. Sur la première ligne, on écrit les nombres de 1 à 7. On additionne 8 à chaque nombre.

On obtient :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588

Égalité de 16 carrés

Cas 1. On écrit sur la première ligne les nombres de 2 à 9. La raison est 1. En additionnant 8, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 1.

On peut écrire :

2² + 4² + 7² + 9² + 11² + 13² + 14² + 16² = 3² + 5² + 6² + 8² + 10² + 12² + 15² + 17² = 892

Si on soustrait 1 à chacun des termes cette égalité, on a tous les entiers de 1 à 16. On peut écrire :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748

Cas 2. On peut modifier la disposition des cases colorées tout en respectant une certaine symétrie.

On peut écrire :

2² + 5² + 6² + 9² + 11² + 12² + 15² + 16² = 3² + 4² + 7² + 8² + 10² + 13² + 14² + 17² = 892

Cas 3. On écrit sur la première ligne une suite qui commence par 1 et dont la raison est 2. En additionnant 3, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 2.

On peut écrire :

1² + 3² + 8² + 10² + 12² + 13² + 14² + 15² = 4² + 5² + 6² + 7² + 9² + 11² + 16² + 18² = 908

Cas 4. On écrit sur la première ligne une suite qui commence par 2 et dont la raison est 1. En additionnant 9 à chaque terme, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 1.

On peut écrire :

2² + 5² + 7² + 8² + 12² + 13² + 15² + 18² = 3² + 4² + 6² + 9² + 11² + 14² + 16² + 17² = 1004

Si on attribue à chaque terme l’exposant 3 au lieu du 2, on obtient une égalité de cubes.

2³ + 5³ + 7³ + 8³ + 12³ + 13³ + 15³ + 18³ = 3³ + 4³ + 6³ + 9³ + 11³ + 14³ + 16³ + 17³ = 14 120

Généralisation. Dans chacun des cas de cette section, on peut additionner ou soustraire un même nombre à chacun des termes pour obtenir une autre égalité.

Conclusion

Avec toutes les égalités de carrés que nous avons trouvées, on peut en former d’autres en opérant sur elles principalement par l’addition, par la soustraction ou encore en remplaçant certains termes par leur équivalence. Par exemple, on peut remplacer 5² par 3² + 4².

L’addition ou la soustraction d’un nombre à chacun des termes d’une égalité de carrés ne génère pas toujours une égalité vraie. Nous avons mentionné que cela était possible dans certains cas, mais pas de façon systématique.