Dictionnaire de mathématiques récréatives Index de Frénicle

Frénicle de Bessy, Bernard (v. 1605-1675)

° Index de Frénicle. – Index créé par Frénicle permettant de classer les 880 magiques normaux d’ordre 4 en trois sous-ensembles et 12 types. Les sous-ensembles sont constitués de 48 carrés diaboliques, de 384 carrés semi-diaboliques et de 448 carrés simples. La propriété commune est que la densité est 34 dans chacun de ces carrés. Les carrés simples ont uniquement cette propriété.

Dans les carrés semi-diaboliques, en plus, la somme des nombres de chaque diagonale brisée ayant deux cases de chaque côté de la diagonale principale est égale à la densité. Dans les carrés diaboliques, la somme des nombres de toute diagonale brisée est égale à la densité. Les types ont été définis en fonction des positions différentes des huit paires de nombres dont la somme est 17.

Les carrés diaboliques sont constitués d’un seul type soit I, les carrés semi-diaboliques de cinq types soit de II à VI ; les carrés simples de sept types soit de VI à XII.

Les tableaux suivants présentent un carré magique par type. Le numéro entre parenthèses est celui qui a été attribué par Frénicle. Le nombre de carrés de ce type est donné. Le carré de droite indique la disposition des huit paires de nombres. Quand deux cases ont la même lettre, c’est que la somme des nombres de ces cases est 17. S’il existe des carrés semi-diaboliques de type VI et des carrés simples de même type, c’est que la position des paires est identique dans les deux cas.

I (102) : 48 carrés diaboliques

1

8

10

15

A B C D

12

13

3

6

E F G H

7

2

16

9

C D A B

14

11

5

4

G H E F

II (21) : 48 carrés semi-diaboliques

1

4

14

15

A B C D

13

16

2

3

B A D C

8

5

11

10

E F G H

12

9

7

6

F E H G

III (112) : 48 carrés semi-diaboliques

1

8

12

13

A B C D

14

11

7

2

E F G H

15

10

6

3

H G F E

4

5

9

16

D C B A

IV (24) : 96 carrés semi-diaboliques

1

4

14

15

A B C D

16

13

3

2

A B C D

7

6

12

9

E F G H

10

11

5

8

E F G H

V (32) : 96 carrés semi-diaboliques

1 14 7 12

A B C D

4 15 6 9

E F G H

16 3 10 5

A B C D

13 2 11 8

E F G H

VI (16) : 96 carrés semi-diaboliques

1 14 8 11

A B C D

4 15 5 10

E F G H

13 2 12 7

E F G H

16 3 9 6

A B C D

VI (2) : 208 carrés simples

1 13 12 8

A B C D

2 14 7 11

E F G H

15 3 10 6

E F G H

16 4 5 9

A B C D

VII (268) : 56 carrés simples

2

5

16

11

A B C D

8

12

1

13

E B C H

9

7

14

4

E F G H

15

10

3

6

A F G D

VIII (8) : 56 carrés simples

1 8 13 12

A B C D

3 15 6 10

E F G H

16 2 11 5

A F G D

14 9 4 7

E B C H

IX (23) : 56 carrés simples

1	4	14	15	A	B	C	D
16	11	5	2	A	F	G	D
9	6	12	7	E	F	G	H
8	13	3	10	E	B	C	H

X (240) : 56 carrés simples

2	16	5	11	A	B	C	D
4	14	7	9	E	F	G	H
13	1	12	8	E	B	C	H
15	3	10	6	A	F	G	D

XI (364) : 8 carrés simples

2	11	8	13	A	B	C	D
15	4	9	6	A	D	C	B
10	5	16	3	E	F	G	H
7	14	1	12	E	H	G	B

XII (209) : 8 carrés simples

2	14	11	7	A	B	C	D
1	13	8	12	E	F	G	H
15	3	10	6	A	B	D	C
16	4	5	9	E	F	H	G

Pour retrouver un carré magique dans l’index de Frénicle, il faut transformer, si nécessaire, un carré magique donné en suivant ces deux règles :

1. On applique les rotations et les symétries de telle manière que la case supérieure gauche contienne le plus petit élément des quatre coins.

2. On s’assure que le deuxième élément de la première ligne est inférieur au deuxième de la première colonne. Par exemple, le carré de gauche n’apparaît pas comme tel dans l’index de Frénicle, mais le carré de droite qui est son équivalent y apparaît : c’est le numéro 880.

8

5

11

10

7

14

4

9

16

13

3

2

15

6

12

1

1

12

6

15

2

3

13

16

9

4

14

7

10

11

5

8

Index : F

Voir Carré de Frénicle