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Dürer ,
Albrecht (1471-1528)
° Carré de Dürer. –
Carré magique normal d'ordre 4 qui apparaît sur la gravure Melencolia
de l'artiste allemand Albrecht Dürer. Ce carré a été maintes fois reproduit
depuis. Il est souvent considéré comme le premier du genre en Europe
occidentale.
Les deux nombres du centre de la ligne inférieure indiquent
l'année de la création de cette oeuvre artistique, soit 1514.
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16 |
3 |
2 |
13 |
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5 |
10 |
11 |
8 |
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9 |
6 |
7 |
12 |
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4 |
15 |
14 |
1 |
Le carré de Dürer possède plusieurs
propriétés non exclusives. En voici
quatre :
n
La densité et la somme des quatre coins est 34.
n
Les carrés 2 × 2 des coins et celui du centre ont chacun
une somme de 34.
n
Les diagonales brisées coupées en leur moitié ont une
somme de 34 et forment un tridegré. En effet, 3n
+ 5n + 12n
+ 14n = 2n
+ 8n + 9n
+ 15n est vraie pour n = 1, 2 ou
3.
n
La somme des carrés des éléments de la première ligne
est égale à celle de la quatrième ligne. Il en est de même respectivement
pour les deuxième et troisième lignes, les première et quatrième colonnes,
les deuxième et troisième colonnes. On peut donc écrire quatre bidegrés. En
effet, les identités suivantes sont vraies pour n = 1 ou 2.
2n + 3n
+ 13n + 16n
= 1n + 4n
+ 14n + 15n
5n + 8n
+ 10n + 11n
= 6n + 7n
+ 9n + 12n
4n + 5n
+ 9n + 16n
= 1n + 8n
+ 12n + 13n
3n + 6n
+ 10n + 15n
= 2n + 7n
+ 11n + 14n
Le carré de Dürer
peut être représenté ainsi selon la méthode dichromatique :
Il est le numéro 175 dans l’index de Frénicle.
Il est de type III. Il existe d’autres carrés magiques normaux qui
contiennent le 15 et le 14 dans les mêmes positions que dans celui de Dürer.
En voici deux :
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16 |
2 |
3 |
13 |
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16 |
1 |
4 |
13 |
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10 |
5 |
8 |
11 |
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11 |
8 |
9 |
6 |
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7 |
12 |
9 |
6 |
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5 |
10 |
7 |
12 |
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1 |
15 |
14 |
4 |
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2 |
15 |
14 |
3 |
Le premier est un carré semi-diabolique de type VI dont le
numéro est 80 dans l’index de Frénicle. Le second est un carré ni diabolique
ni semi-diabolique de type IX et de numéro 249. Voici un carré magique non normal qui contient le 15 et le
14 dans les mêmes positions :
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17 |
19 |
8 |
12 |
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14 |
6 |
23 |
13 |
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20 |
16 |
11 |
9 |
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5 |
15 |
14 |
22 |
À la façon de Dürer, on peut composer des carrés magiques
qui contiennent l’année de leur production. En voici deux pour l’an
2004 :
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02 |
12 |
30 |
22 |
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03 |
11 |
31 |
21 |
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29 |
23 |
01 |
13 |
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29 |
23 |
01 |
13 |
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03 |
11 |
31 |
21 |
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02 |
12 |
30 |
22 |
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32 |
20 |
04 |
10 |
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32 |
20 |
04 |
10 |
D’un carré à l’autre, les lignes 1 et 3 sont
interverties. Les lignes 2 et 4 sont respectivement identiques. La densité des
carrés magiques est 66. Ce sont des carrés diaboliques.
© Charles-É. Jean
Index
: D
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