Un carré magique d’ordre n est à compartiments quand il est constitué d’un certain nombre de petits carrés magiques différents d’un même ordre sans qu’il y ait de vide et d’empiétement. Ces petits carrés magiques sont appelés compartiments. Un carré d’ordre n peut être à compartiments si n n’est pas un nombre premier et si n est supérieur ou égal à 6. Après avoir établi une démarche générale, nous ferons l’étude de carrés magiques d’ordres 6 à 18. Nous tenterons de déterminer, pour chaque ordre, s’il existe des carrés magiques normaux en appliquant le procédé de la formation de suites de nombres.

Démarche générale
Définissons quelques règles que nous appliquerons dans la formation de tels carrés magiques.

1. On commence par établir l’ordre des compartiments. Dans un carré d’ordre n, l’ordre des compartiments est tout diviseur de n autre que 1 et n. Par exemple, dans un carré d’ordre 20, l’ordre des compartiments est 2, 4, 5 et 10. Comme il n’existe pas de carré magique d’ordre 2, on exclut les compartiments d’ordre 2. Lorsqu’un compartiment est un carré d’ordre 3, les densités de chacun des compartiments doivent être différentes.

2. On établit le nombre de compartiments. Le nombre de compartiments d’ordre m dans un carré d’ordre n est égal à (n ÷ m)². Un carré d’ordre 20 peut être partagé en (20 ÷ 4)² = 25 compartiments d’ordre 4, en (20 ÷ 5)² = 16 compartiments d’ordre 5 ou en (20 ÷ 10)² = 4 compartiments d’ordre 10. Lorsqu’un carré est partagé en quatre compartiments, la densité de chaque compartiment doit être la même. La position de chaque compartiment magique est alors arbitraire.

3a. On fait l’hypothèse que les densités des compartiments sont égales. On partage les nombres de 1 à n² en m groupes dans lesquels la somme des éléments est identique. Par exemple, on peut écrire 1 dans le premier groupe, 2 dans le deuxième, 3 dans le troisième et ainsi de suite. Quand on atteint le dernier groupe, on recommence au premier. On continue ainsi.

3b. On fait l’hypothèse que les densités des compartiments sont différentes. On partage les nombres de 1 à n² en m groupes dans lesquels les sommes des éléments forment une suite arithmétique.

4. On distribue les nombres de chaque groupe dans un compartiment en prenant comme modèle un carré magique normal de l’ordre donné. Le premier élément du groupe est placé dans la position du 1, le deuxième en 2, le troisième en 3 et ainsi de suite. À gauche ci-dessous, on a un modèle d’ordre 3. Dans le carré de droite, on trouve les nombres de la suite 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 dans le même ordre que dans le modèle de gauche.

Ce dernier carré est magique. Sa densité est 42.

5. On distribue les compartiments dans le carré. Si les densités sont égales, on peut placer les compartiments à son gré ; si les densités sont différentes, on doit placer les compartiments en appliquant un modèle.

Nous allons tenter de composer des carrés magiques d’ordres 6 à 18 en appliquant la démarche générale et en se restreignant à appliquer le procédé qui consiste à former des suites de nombres.

1. Carrés magiques d’ordre 6

En excluant les compartiments d’ordre 2, un carré d’ordre 6 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 3. Les densités des quatre compartiments doivent être égales. La somme des entiers consécutifs de 1 à 36 est 666. Pour que le carré soit magique, il faut que la somme des éléments de chaque compartiment soit 666 ÷ 4 = 166,5. Comme cela est impossible, il n’existe pas de carré magique normal d’ordre 6 formé de quatre compartiments d’ordre 3.

On peut toutefois composer des carrés magiques non normaux d’ordre 6 à la condition que le médian soit le même dans chacun des quatre compartiments d’ordre 3. La densité du carré magique d’ordre 6 est alors le double de celle des compartiments. Dans le carré ci-dessous, la densité des compartiments est 72 et celle du carré magique d’ordre 6 est 144. Le médian de chaque compartiment est 24.

En excluant les compartiments d’ordre 2, un carré d’ordre 8 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 4. La somme des éléments de chaque compartiment doit être la même. La somme des entiers consécutifs de 1 à 64 est 2080. Pour que le carré soit magique, il faut que la somme des éléments de chaque compartiment soit 2080 ÷ 4 = 520. Il est possible partager les nombres de 1 à 64 en quatre groupes dont la somme de chacun est 520. Voici un exemple :

Dans chaque groupe, il existe huit paires de nombres dont la somme est 65. On prend, comme modèle, un des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4. On place les éléments de chaque groupe dans autant de compartiments en respectant l’ordre numérique du modèle. On forme ainsi quatre compartiments magiques d’ordre 4 qu’on peut disposer à son gré. Ce carré magique à compartiments d’ordre 8 est normal. Sa densité est 260.

Pour construire tout carré magique à compartiments d’ordre 8 selon ce procédé, on peut prendre comme modèles quatre carrés magiques d’ordre 4 différents ou encore quatre carrés magiques équivalents. On peut placer les carrés d’ordre 4 dans le quadrant de son choix.

En se basant sur le procédé décrit, on peut construire une infinité de carrés magiques normaux d’ordre 8. Le procédé se déroule en deux temps :

1. On partage les 64 nombres en quatre groupes de même somme. Le partage est tel que, pour chaque groupe, la raison des suites est la même sur chaque ligne et qu’elle est aussi la même dans chaque demi-colonne.

2. On choisit un ou au plus quatre carrés magiques normaux d’ordre 4 qui servent de modèles.

On peut composer des carrés magiques non normaux d’ordre 6 en appliquant le même procédé. Voici un exemple :

La raison est 2 sur chaque ligne de chaque groupe. Elle est 34 dans chaque demi-colonne. Dans chaque groupe, la somme des deux éléments symétriques est 137. La somme des éléments de chaque groupe est 1096. La somme totale est 4384. Le carré magique à compartiments suivant est formé de ces éléments. Le carré est non normal.

La densité du grand carré magique est 548 et celle de chacun des compartiments est 274.

3. Carrés magiques d’ordre 9

Les densités de chacun des compartiments doivent être différentes. La somme des entiers consécutifs de 1 à 81 est 3321. On peut partager les 81 nombres en neuf groupes de neuf nombres tels que la somme S soit successivement comme ci-dessous.

d

Pour chaque groupe, on forme un compartiment magique. On dispose les groupes, par exemple, selon l’ordre des sommes indiquées dans cette grille.

La densité de ce carré est 1107. Cela peut donner le carré magique suivant qui est normal et dont la densité est 369.

Pour construire un carré magique à compartiments d’ordre 9 pas nécessairement normal, on compose d’abord un carré magique d’ordre 3. Les éléments de ce carré constituent les densités des neuf compartiments magiques d’ordre 3. On trouve alors un carré magique pour chacune de ces densités. Voici un carré de base :

Voici un carré magique possible :

La densité de ce carré magique est 81.

4. Carrés magiques d’ordre 10

ü Quatre compartiments d’ordre 5

En excluant les compartiments d’ordre 2, un carré d’ordre 10 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 5. Les quatre densités doivent être égales. La somme des entiers consécutifs de 1 à 100 est 5050. Si on divise 5050 par 4, on obtient 1262,5. Il n’existe donc pas de carrés magiques normaux à compartiments d’ordre 10. On peut construire des carrés magiques à compartiments d’ordre 10 non normaux avec quatre carrés d’ordre 5 dont la densité est identique. Par exemple, on peut accoler quatre carrés normaux d’ordre 5, la densité de chacun étant 65. Voici un exemple :

La densité de ce carré est 130.

5. Carrés magiques d’ordre 12
En excluant les carrés d’ordre 2, un carré d’ordre 12 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 6, en neuf compartiments d’ordre 4 ou en 16 compartiments d’ordre 3. La somme des entiers consécutifs de 1 à 144 est 10 440.

ü Quatre compartiments d’ordre 6
Les quatre densités doivent être égales. La somme des nombres de chacun des compartiments doit être 10 440 ÷ 4 = 2610 et la densité de chacun des compartiments doit alors être égale à 435. Dans ces conditions, il est possible de former un carré magique d’ordre 12. On partage les 144 nombres en quatre groupes dont la somme des 36 nombres de chacun est 2610. Voici une façon de partager les nombres :

On prend, comme modèle, un carré magique normal d’ordre 6 comme celui-ci.

On place les éléments dans le même ordre numérique de 1 à 36. On obtient le carré magique suivant :

La somme des nombres de chacun des neuf compartiments doit être 10 440 ¸ 9 = 1160. Pour cela, on partage les entiers de 1 à 144 en neuf groupes de 16 nombres. Le plus petit nombre de chaque ligne de chaque groupe est donné. Les trois suivants sont les nombres consécutifs. Par exemple, 37 est mis pour 37, 38, 39, 40.

Chaque groupe permet la formation d’un compartiment magique en appliquant le modèle. Les compartiments magiques peuvent être distribués au hasard dans le carré.

La densité des compartiments est 290.

Les densités des compartiments sont différentes.
On peut former les groupes suivants : 1 à 16, 17 à 32, 33 à 48, 49 à 64, 65 à 80, 81 à 96, 97 à 112, 113 à 128, 129 à 144. Les densités respectives sont : 34, 98, 162, 226, 290, 354, 418, 482, 546. L’ensemble de ces densités forme une suite arithmétique dont la raison est 64. Pour chaque groupe, on compose le compartiment magique selon un modèle d’un carré magique d’ordre 4. On place chaque compartiment selon un modèle de carré magique d’ordre 3. Voici un carré magique à compartiments d’ordre 12 :

ü Seize compartiments d’ordre 3
La somme des nombres de chacun des 16 compartiments devrait être 10 440 ¸ 16 = 652,5. En conséquence, les densités des compartiments ne peuvent pas être égales. On vérifie s’il existe des cas où les densités sont différentes. Pour cela, on partage les entiers de 1 à 144 en 16 groupes tels que chaque ligne forme une suite arithmétique et chaque colonne forme une autre suite arithmétique. Dans les 16 groupes suivants, la raison est 1 horizontalement et 48 verticalement. La densité d du compartiment magique est donnée. Par exemple, 49 est mis pour 49, 50, 51.

d

On compose un carré magique d’ordre 3 pour chaque groupe. On choisit, comme modèle, un des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4 pour distribuer les compartiments d’ordre 4. En voici un :

On remplit le carré magique en respectant l’ordre de leur densité selon le modèle précédent. Voici un des carrés magiques :

Ce carré magique est normal. Sa densité est 870.

6. Carrés magiques d’ordre 14
En excluant les compartiments d’ordre 2, un carré d’ordre 14 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 7. La somme des éléments consécutifs de 1 à 196 est 19 306. Si on divise 19 306 par 4, on obtient 4826,5. Il n’existe donc pas de carrés magiques à compartiments d’ordre 14 qui sont normaux.

7. Carrés magiques d’ordre 15
En excluant les compartiments d’ordre 2, un carré d’ordre 15 peut être partagé en neuf compartiments d’ordre 5 ou en 25 compartiments d’ordre 3. La somme des entiers consécutifs de 1 à 225 est 25 425.

La somme des éléments de chaque compartiment doit être 25 425 ÷ 9 = 2825. La densité de chaque compartiment doit être 2825 ÷ 5 = 565. On peut alors répartir les entiers de 1 à 91 dans les deux premières lignes du groupe, puis les entiers de 136 à 226 dans les deux dernières lignes. Chaque nombre du tableau représente le plus petit de cinq entiers consécutifs. Par exemple, 126 est mis pour 126, 127, 128, 129, 130. Dans chaque groupe, la somme inscrite est 2260. Il manque 565 dans chaque groupe. Seule, la suite des entiers consécutifs 111, 112, 113, 114, 115 a une somme de 565. Il n’est pas possible de former un carré magique à compartiments dont les densités sont égales.

Les densités sont différentes
On peut alors répartir les 225 entiers en neuf groupes dont les densités sont données. La raison de cette suite est 125. On distribue les nombres comme ceci :

À partir d’un modèle, on distribue les 25 éléments de chaque carré pour en faire un carré magique d’ordre 5. On répartit les neuf compartiments selon un modèle pour les carrés d’ordre 3. Un carré magique est :

La densité du carré magique est 1695.

ü Vingt-cinq compartiments d’ordre 3

La somme des éléments de chaque compartiment est de 25 425 ÷ 25 = 1017. La densité de chaque compartiment est 113. Comme 113 n’est pas divisible par 3, on ne peut pas former de carrés magiques normaux de cette classe. On peut toutefois produire des carrés magiques non normaux.

Les densités sont différentes.
On peut alors répartir les 225 entiers en 25 groupes en écrivant successivement 1 à 75 sur la première ligne, 76 à 150 sur la deuxième ligne et 151 à 225 sur la troisième comme ceci :

On transforme les nombres de chaque groupe en un compartiment magique. Pour distribuer les compartiments, on choisit un carré magique normal d’ordre 5 comme modèle. La case 1 de ce carré sera remplacée par un carré magique 3 × 3 dont la densité est 231, le 2 par 240, le 3 par 249, jusqu’au 24 pour 438 et 25 pour 447. Voici un carré magique normal à compartiments d’ordre 15 :

La densité du carré magique est 1695.

8. Carrés magiques d’ordre 16
La somme des entiers consécutifs de 1 à 256 est 32 896. En excluant les compartiments d’ordre 2, un carré d’ordre 16 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 8 ou en 16 compartiments d’ordre 4.

ü Quatre compartiments d’ordre 8
Les densités doivent être égales. La somme des éléments de chaque compartiment doit être 32 896 ÷ 4 = 8224. La densité de chaque compartiment doit être 8224 ÷ 8 = 1028. Le tableau suivant donne une liste de nombres qui formeront un premier compartiment magique. Pour ce faire, on prend un modèle.

Pour trouver les nombres de chacun des trois autres compartiments, on additionne successivement 8 à chacun des éléments.

La somme des éléments de chaque compartiment doit être 32 896 ÷ 16 = 2056. La densité de chaque compartiment doit être 2056 ÷ 4 = 514. Pour cela, on partage les entiers de 1 à 256 en 16 groupes de 16 nombres. Le plus petit nombre de chaque ligne de chaque groupe est donné. Les trois suivants sont les nombres consécutifs. Par exemple, 37 est mis pour 37, 38, 39, 40.

À partir d’un modèle, on distribue les 16 éléments de chaque carré pour en faire un carré magique d’ordre 4. On répartit les 16 compartiments magiques selon un modèle.

Les densités sont différentes.
On peut alors répartir les 256 entiers en 16 groupes dont la somme des éléments est successivement : 1096, 1224, 1352, ... , 2888, 3016. Les densités des compartiments magiques composés de ces éléments sont successivement : 274, 306, 338, ... , 722, 754. On peut former des groupes comme ceci :

À partir d’un modèle, on distribue les 16 éléments de chaque carré pour en faire un carré magique d’ordre 4. On répartit les 16 compartiments selon le même modèle ou selon un autre.

9. Carrés magiques d’ordre 18
La somme des entiers consécutifs de 1 à 324 est 52 650. En excluant les compartiments d’ordre 2, un carré d’ordre 18 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 9, en neuf compartiments d’ordre 6 ou en 36 compartiments d’ordre 3.

ü Quatre compartiments d’ordre 9
La densité doit être identique dans chaque compartiment. Cette densité est 1462,5. Il n’est donc pas possible de partager un carré d’ordre 18 en quatre compartiments d’ordre 9.

La somme des éléments de chaque compartiment doit être 52 650 ÷ 9 = 5850. La densité de chaque compartiment sera 5850 ÷ 6 = 975. On peut alors répartir les nombres ainsi :

On choisit un carré magique normal d’ordre 6. On forme les neuf compartiments magiques selon ce modèle et on les assemble à son gré.

Les densités sont différentes.
On peut alors répartir les 324 entiers en neuf groupes : 1 à 36, 37 à 72, 73 à 108, 109 à 144, 145 à 180, 181 à 216, 217 à 252, 253 à 288 et 289 à 324. La somme des éléments de ces groupes est successivement : 666, 1962, 3258, ... , 9738, 11 034. Les densités des compartiments magiques composés de ces éléments sont successivement : 111, 327, 543, ... , 1623, 1839. En prenant les nombres de chaque groupe, on forme un compartiment d’ordre 6. On distribue les neuf compartiments selon le modèle d’un carré magique normal d’ordre 3.

ü Trente-six compartiments d’ordre 3
Les densités sont égales.
La somme des éléments de chaque carré doit être 52 650 ÷ 36 = 1462,5. On ne peut pas former de carrés magiques normaux à compartiments d’ordre 18.

Les densités sont différentes.
On peut alors répartir les 324 entiers en 36 groupes : 1 à 9, 10 à 18, 19 à 27, ... , 307 à 315, 316 à 324. La somme des éléments de ces groupes est successivement : 45, 126, 207, ... , 2799, 2880. Les densités des carrés magiques composés de ces éléments sont successivement : 15, 42, 69, ... , 933, 960. En prenant les nombres de chaque groupe, on forme un compartiment d’ordre 3. On distribue les 36 compartiments selon le modèle d’un carré magique d’ordre 6.

En résumé
Un carré d’ordre 6 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 3. Il n’existe pas de carré magique normal d’ordre 6 à compartiments.

Un carré d’ordre 8 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 4. Il existe des carrés magiques normaux d’ordre 8 seulement lorsque les densités des compartiments sont égales.

Un carré d’ordre 9 peut être partagé en neuf compartiments d’ordre 3. Il existe des carrés magiques normaux d’ordre 9 de cette classe seulement lorsque les densités sont différentes.

Un carré d’ordre 10 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 5. On ne trouve pas de carré magique normal d’ordre 10 de cette classe lorsqu’on applique le procédé des suites.

Un carré d’ordre 12 peut être partagé en

quatre compartiments d’ordre 6. Il existe des carrés magiques normaux de cette classe seulement lorsque les densités sont égales.

neuf compartiments d’ordre 4. Il existe des carrés magiques normaux de cette classe lorsque les densités sont égales ou différentes.

16 compartiments d’ordre 3. Il existe des carrés magiques normaux de cette classe seulement lorsque les densités sont différentes.

Un carré d’ordre 14 peut être partagé en quatre compartiments d’ordre 7. On ne trouve pas de carrés magiques normaux d’ordre 14 à compartiments si on applique le procédé des suites.

Un carré d’ordre 15 peut être partagé en

neuf compartiments d’ordre 5. Il existe des carrés magiques normaux seulement lorsque les densités sont différentes.

25 compartiments d’ordre 3. Il existe des carrés magiques normaux de cette classe seulement lorsque les densités sont différentes.

Un carré d’ordre 16 peut être partagé en

quatre compartiments d’ordre 8. Il existe des carrés magiques normaux d’ordre 16 seulement lorsque les densités sont égales.

16 compartiments d’ordre 4. Il existe des carrés magiques normaux lorsque les densités sont égales ou différentes.

Un carré d’ordre 18 peut être partagé en

quatre compartiments d’ordre 9. On ne trouve pas de carrés magiques normaux de cette classe lorsque les densités sont égales ou différentes.

neuf compartiments d’ordre 6. Il existe des carrés magiques normaux de cette classe lorsque les densités sont égales ou différentes.

36 compartiments d’ordre 3. Il existe des carrés magiques normaux de cette classe seulement lorsque les densités sont différentes. Û