On peut trouver la suite des carrés en utilisant un tableau. Sur la première ligne, on écrit la suite des impairs. Sur la seconde, on écrit la somme de deux nombres : le précédent et celui qui surmonte la case vide suivante, comme il est illustré pour 9 + 7 = 16.

Tableau

Le rang d’un carré coïncide avec sa racine carrée. Par exemple, comme 64 est le 8^e carré, sa racine carrée est 8. On peut écrire 8² = 64.

Proposition 3. Le terme général de la suite des carrés est n².

Cela signifie que le n^e carré est n².

3. Comparaison des rangs

Proposition 4. Le carré de rang n est toujours plus grand que le triangulaire de même rang.

Proposition 5. Si on divise un carré de rang n par son rang et si on divise un triangulaire de rang n par le même rang, la différence des deux quotients est (n - 1)/2.

4. Somme de triangulaires et de carrés

Proposition 6. La somme d’un triangulaire de rang n et d’un triangulaire de rang (n + 1) est un carré de rang (n + 1).
Formule : n^D + (n + 1)^D = (n + 1)²

Tableau

Corollaire. La différence d’un carré de rang (n + 1) et d’un triangulaire de même rang est un triangulaire de rang n.

Proposition 7. Soit 2n triangulaires successifs, la somme des (n + 1) plus petits triangulaires successifs est égale à la somme des (n - 1) autres triangulaires successifs. Le premier terme de l’identité est un carré de rang n, diminué de (n + 1) ; le premier terme du deuxième membre de l’identité est un carré de rang n.

Voici les premières identités :

Les identités qui suivent commencent successivement par 29^D, 41^D, 55^D, 71^D, 89^D, etc. Soit r le rang de chaque identité, la somme des termes du premier ou du deuxième membre est : (3r⁵ + 15r⁴ + 25r³ + 15r² + 2r)/6.

Proposition 8. Soit 2n triangulaires successifs où n est impair à partir de 3, la somme de (n + 1)/2 carrés, chacun étant la somme d’un couple de deux triangulaires successifs, est égale à la somme de (n - 1)/2 carrés formés aussi par groupes de deux triangulaires successifs. Le premier terme de l’identité exprimée en triangulaires est 2(n - 1)^D - 1 ou n² - n - 1 ; celui du deuxième membre est 2(n - 1)^D + n ou n². Le premier terme de l’identité exprimée en carrés est 2(n - 1)^D ou n² - n ; celui du deuxième membre est 2(n - 1)^D + n + 1 ou n² + 1.

Voici les premières identités :

[5^D + 6^D] + [ 7^D + 8^D ] = [9^D + 10^D]

        42²       +        44²       +        46²         +         48²       =         50²       +         52²       +         54²

Les identités qui suivent commencent successivement par 71^D, 109^D, 155^D, 209^D, 271^D, ... On y trouve les termes de rang pair de la suite de la proposition précédente.

Proposition 9. Soit (2n + 1) carrés successifs, la somme des (n + 1) plus petits carrés successifs est égale à la somme des n autres carrés. Le premier terme de l’identité est le carré d’un triangulaire de rang 2n ; celui du deuxième membre est le carré de la base du terme initial, augmentée de (n + 1).

Voici les premières identités :

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

Les identités qui suivent commencent successivement par 55², 78², 105², 136², 171², 210², ... Les bases sont des triangulaires de rang pair.

Proposition 10. Soit (2n + 1) triangulaires successifs, la somme des (n + 1) plus petits triangulaires successifs est égale à la somme des n autres triangulaires. Le premier terme de l’identité est le carré d’un triangulaire de rang 2n ; celui du deuxième membre est le carré du triangulaire initial augmenté de (n + 1).

Voici les premières identités 

(2^D )² + (2^D + 1)² = (2^D + 2)²

5. Différence de triangulaire et de carrés

Proposition 11. La différence de deux triangulaires l’un de rang n et l’autre de rang (n - 2) est égale à la différence de deux carrés l’un de rang n et l’autre de rang (n - 1).

Formule : n^D - (n - 2)^D = n² - (n - 1)²

Corollaire. La différence d’un carré de rang n et d’un triangulaire de même rang est égale à la différence d’un carré de rang (n - 1) et d’un triangulaire de rang (n - 2).

Proposition 12. La différence d’un carré de rang n et d’un triangulaire de même rang est égale à un triangulaire de rang (n - 1).
Formule : n² - n^D = (n - 1)^D.

Tableau

Corollaire. La somme d’un triangulaire de rang n et d’un triangulaire de rang (n - 1) est un carré de rang n.

6. Opérations sur les multiples

Proposition 13. Tout carré de rang n diminué de son rang est égal au double du triangulaire de rang (n - 1).

Formule : n² - n = 2(n - 1)^D

Tableau

Corollaire. Tout carré de rang n est la somme de son rang et de deux fois le triangulaire de rang (n - 1).

Proposition 14. Le double d’un triangulaire de rang n diminué de son rang est un carré de rang n.

Formule : 2n^D - n = n²

Tableau

Corollaire. Le double d’un triangulaire de rang n est un carré de même rang augmenté de son rang.

Proposition 15. Le double d’un triangulaire de rang n augmenté du rang (n + 1) est un carré de rang (n + 1).

Formule : 2n^D + (n + 1) = (n + 1)²

Corollaire. Le double d’un triangulaire de rang n est égal à la différence d’un carré de rang (n + 1) et du rang de ce carré.

Proposition 16. Le double d’un triangulaire de rang n augmenté d’un carré de même rang est un triangulaire de rang 2n.

Formule : 2n^D + n² = (2n)^D

Corollaire. Le double d’un triangulaire de rang n est égal à la différence d’un triangulaire de rang 2n et d’un carré de rang n.

Proposition 17. Le double d’un triangulaire de rang n augmenté d’un carré de rang (n + 1) est un triangulaire de rang (2n + 1).

Formule : 2n^D + (n + 1)² = (2n + 1)^D

Corollaire. Le double d’un triangulaire de rang n est égal à la différence d’un triangulaire de rang (2n + 1) et d’un carré de rang (n + 1).

Proposition 18. 1^e Le triple d’un triangulaire de rang n augmenté d’un triangulaire de rang (n - 1) est égal au double du carré de rang n augmenté de son rang.

Formule : 3n^D + (n - 1)^D = 2n² + n

2^e Le double du carré de rang n augmenté de son rang est égal au triangulaire de rang 2n.
Formule : 2n² + n = (2n)^D

On déduit que le triple d’un triangulaire de rang n augmenté d’un triangulaire de rang (n - 1) est égal au produit de n et de (2n + 1).

7. Opérations sur les puissances

Proposition 19. Le carré du produit de deux entiers consécutifs est égal au quadruple du carré du triangulaire de rang n.

Formule : [n(n + 1)]² = 4(n^D)²

La racine carrée de (n^D)² est n^D.

Proposition 20. Le carré de rang (2n + 1) diminué de la somme deux carrés l’un de rang n et l’autre de rang (n + 1) est égal au quadruple d’un triangulaire de rang n.

Formule : (2n + 1)² - [n² + (n + 1)²] = 4n^D

Corollaire. Le quadruple d’un triangulaire de rang n augmenté de la somme de deux carrés l’un de rang n et l’autre de rang (n + 1) est un carré de rang (2n + 1).

Proposition 21. L’octuple d’un triangulaire de rang n augmenté de 1 est un carré de rang (2n + 1). (Diophante)

Formule : 8n^D + 1 = (2n + 1)²

Corollaire. Tout carré de rang (2n + 1) diminué de 1 peut être partagé en huit triangulaires de rang n.

De la proposition 21, on peut tirer deux algorithmes qui permettent de déterminer si un nombre est triangulaire et d’extraire la racine triangulaire de tout nombre.

n Premier algorithme

1. On multiplie un nombre choisi par 8.

2. On additionne 1 au produit.

3. On extrait la racine carrée du résultat. Si la racine carrée est un entier, le nombre est triangulaire.

4. On soustrait 1 à la racine carrée.

5. On divise par 2. C’est la racine triangulaire.

Voici deux exemples :
Prenons 153. On fait : (153 ´ 8) + 1 = 1225 qui est le carré de 35. On fait 35 - 1 = 34 et 34 ¸ 2 = 17. La racine triangulaire de 153 est 17. On peut écrire 17^D = 153.

Prenons 1000. On fait : (1000 ´ 8) + 1 = 8001. La racine carrée de 8001 est 89,448. On fait 89,448 - 1 = 88,448 ; 88,448 ¸ 2 = 44,224. La racine triangulaire de 1000 est 44,224. On peut écrire 44,224^D = 1000.

n Deuxième algorithme

1. On multiplie un nombre choisi par 2.

2. On additionne 0,25.

3. On extrait la racine carrée. Si la racine carrée est un entier plus ½, le nombre est triangulaire.

4. On soustrait 0,5. C’est la racine triangulaire.

Voici deux exemples :
Prenons 153. On fait : 153 ´ 2 = 306 et 306 + 0,25 = 306,25. La racine carrée de 306,25 est 17,5. On fait : 17,5 - 0,5 = 17. La racine triangulaire de 153 est 17. On peut écrire 17^D = 153. 

Prenons 1000. On fait : 1000 ´ 2 = 2000 et 2000 + 0,25 = 2000,25. La racine carrée de 2000,25 est 44,724. On fait 44,724 - 0,5 = 44,224. On peut écrire 44,224^D = 1000.

Proposition 22. Le produit de deux triangulaires de rangs (n - 1) et (n + 1) augmenté d’un triangulaire de rang n est le carré d’un triangulaire de rang n.

Formule : (n - 1)^D ´ (n + 1)^D + n^D = (n^D)²

Proposition 23. La somme du carré d’un triangulaire de rang n et du carré d’un triangulaire de rang (n + 1) est un triangulaire de rang (n + 1)².

Formule : (n^D)² + [(n + 1)^D] ² = [(n + 1)²]^D

À partir de cette proposition, on peut écrire : (n^D)² + [(n + 1)^D] ² = [n^D + (n + 1)^D]^D . Par exemple, [6^D]² + [7^D]² = [6^D + 7^D]^D. Cela revient à cette identité : 21² + 28² = 49^D = (7²)^D.

Proposition 24. La différence du triangulaire d’un carré de rang n et du carré d’un triangulaire de même rang est le carré d’un triangulaire de rang (n - 1).

Formule : (n²)^D - (n^D)² = [(n - 1)^D] ²

.

Proposition 25. La différence du carré d’un triangulaire de rang n et du carré d’un triangulaire de rang (n - 1) est un cube de rang n.

Formule : (n^D)² - [(n - 1)^D]² = n³

Corollaire. La somme d’un cube de rang n et du carré d’un triangulaire de rang (n - 1) est égal au carré d’un triangulaire de rang n.

Proposition 26. La somme du cube du triangulaire de rang n et du cube du triangulaire de rang (n + 1) est un multiple du carré de rang (n + 1). Si l’un des facteurs est (n + 1)², l’autre est (n⁴ + 4n³ + 9n² + 10n + 4)/4. Voici un tableau qui illustre la situation :

Proposition 27. La somme de n cubes consécutifs à partir de 1 est égale à un carré et la racine de ce carré est un triangulaire de rang n.

Cette proposition peut être représentée ainsi :
(1³ + 2³ + 3³ + 4³ + ... + n³) = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)² = (n^D)²

Voici un tableau qui illustre la situation :

.

Proposition 28. La somme 3⁰ + 3² + 3⁴ + 3⁶ + ... + 3²ⁿ est un triangulaire de rang (3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3ⁿ)

La différence entre deux triangulaires successifs est un carré.

8. Paires de triangulaires dont l’un est le double de l’autre

Proposition 29. Il existe une infinité de nombres triangulaires dont l’un est le double de l’autre.

On illustre cette proposition par le tableau ci-dessous dans lequel les lettres de la première colonne sont explicitées. Sur les lignes F et G, on trouve deux suites de paires de nombres triangulaires dont l’un est le double de l’autre.

A. Rang n des termes qui permettent de trouver ces nombres

B. Le double du carré de A diminué de 1, soit 2n² - 1. Le résultat est un carré.

C. Racine carrée de B

D. Moitié de A diminuée de 1. Ce nombre est le rang d’un terme triangulaire.

E. Moitié de C diminuée de 1. Ce nombre est le rang d’un terme triangulaire.

F. Triangulaire de rang donné en D

G. Triangulaire de rang donné en E

On a les couples suivants de triangulaires dont le deuxième est le double du premier : (3, 6), (105, 210), (3570, 7140), etc. Le code de la colonne de droite provient du site The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences de N. J. A. Sloane. La suite 48, 1680, 57 120, 1 940 448, 65 918 160, ... (A008845) est à l’origine de ces relations. Si on additionne 1 à sa moitié, on obtient un carré. Par exemple, 24 + 1 = 25, le carré de 5 (A). Si on lui additionne 1, on obtient un autre carré. Par exemple, 48 + 1 = 49, le carré de 7 (C).

Chaque nombre de la suite A à partir de 5 s’obtient en multipliant par 6 le nombre précédent et en soustrayant le nombre antérieur. Par exemple, 5 ´ 6 - 1 = 29, 29 ´ 6 - 5 = 169, 169 ´ 6 - 29 = 985, 985 ´ 6 - 169 = 5741, ... Les termes de la suite C s’obtiennent comme pour la A. Par exemple, on écrit : 7 ´ 6 - 1 = 41, 41 ´ 6 - 7 = 239, 239 ´ 6 - 41 = 1393, 1393 ´ 6 - 239 = 8119. Les nombres de cette suite sont tous impairs.

9. Les triangulaires carrés

Proposition 30. Lorsque x^D = y², alors (3x + 4y + 1)^D est en même temps triangulaire et carré. Par exemple, lorsque 49^D = 35², alors 41 616 est un triangulaire de rang 288 et un carré de rang 204.