Figuré

° Nombre figuré. – Nombre qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon plus ou moins régulière formant une figure géométrique. Les nombres figurés sont d'origine très ancienne. Les pythagoriciens (585-400 avant J.-C.) assimilaient les nombres à des points. L'unité était associée à un point et tout autre entier à un ensemble de points. Chaque entier était considéré comme une collection discrète d'unités. Cette conception du nombre permit l'éclosion de la théorie des nombres figurés qui furent l'objet d'études jusqu'au 17^e siècle. 

En effet, des mathématiciens comme Théon de Smyrne (v. 130), Nicomaque de Gérase (v. 150), Diophante (v. 325 - v. 410), Boèce (v. 480-525), Alhazen (965-1039), Fermat (1601-1665) et Pascal (1623-1662) ont contribué à développer cette théorie. Pascal a même écrit un traité sur le sujet. 

Cette théorie était considérée comme une discipline autonome qui était d'ailleurs appelée l'arithmo-géométrie, signifiant par là que cette arithmétique était géométrique puisqu'elle classait les entiers selon la forme de leur assemblage correspondant de points.  

Les nombres figurés peuvent être classés selon la dimension de la figure géométrique qui les représente.

Le terme général d'une suite de nombres figurés est une expression algébrique dont le degré est égal à la dimension de la figure. Les cinq grandes classes de nombres figurés mentionnées dans ce dictionnaire sont :

1. Nombres linéaires
Ö Nombres centrés D1

Ö Nombres gnomoniques

2. Nombres plans
Ö Nombres centrés D2

Ö Nombres gnomoniques polyédriques

Ö Nombres polygonaux

Ö Autres nombres plans

3. Nombres solides
Ö Nombres centrés D3

Ö Nombres polyédriques

Ö Nombres pyramidaux

4. Nombres hypersolides
Ö Nombres centrés D4

Ö Nombres hyperpolyédriques ou polyédriques D4

Ö Nombres hyperpyramidaux ou pyramidaux D4

5. Nombres solides D5
Ö Nombres centrés D5

Ö Nombres polyédriques D5

Ö Nombres pyramidaux D5

La théorie des nombres figurés fait partie de l'arithmo-géométrie. Les suites des nombres figurés mentionnées dans ce dictionnaire sont données ci-après en ordre numérique. Chaque suite comprend les 10 plus petits nombres.

Gnomonique triangulaire: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10.

Gnomonique carré : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 et 19.

Centré triangulaire D1 : 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 et 27.

Triangulaire ou gnomonique tétraédrique: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 et 55.

Gnomonique pentagonal : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 et 28.

Centré carré D1 : 1, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 et 36.

Carré : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

Centré triangulaire D2 : 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109 et 136.

Tétraédrique ou pyramidal triangulaire : 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220.

Gnomonique hexagonal : 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 et 37.

Centré pentagonal  D1 : 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 et 45.

Pentagonal : 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145.

Gnomonique  octaédrique ou centré carré D2 : 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145 et 181.

Pyramidal carré : 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285 et 385.

Centré triangulaire D3  : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369 et 505.

Hypertétraédrique ou hyperpyramidal triangulaire : 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495 et 715.

Gnomonique heptagonal : 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41 et 46.

Centré hexagonal D1 : 1, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 et 54.

Hexagonal ou étoilé triangulaire : 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153 et 190.

Centré pentagonal D2 : 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181 et 226.

Pyramidal pentagonal : 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405 et 550.

Octaédrique ou centré carré D3 : 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489 et 670.

Hyperpyramidal carré : 1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540, 825 et 1210.

Centré triangulaire D4 : 1, 6, 21, 55, 120, 231, 406, 666, 1035 et 1540.

Tétraédrique D5 ou pyramidal triangulaire D5 : 1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, 792, 1287 et 2002.

Gnomonique  octogonal : 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49 et 55.

Centré heptagonal D1 : 1, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 et 63.

Heptagonal : 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189 et 235.

Gnomonique cubique, centré hexagonal D2 ou centré étoilé triangulaire : 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217 et 271.

Pyramidal hexagonal : 1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525 et 715.

Centré pentagonal D3 : 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609 et 835.

Hyperpyramidal pentagonal : 1, 7, 25, 65, 140, 266, 462, 750, 1155 et 1705.

Hyperoctaédrique ou centré carré D4 : 1, 7, 26, 70, 155, 301, 532, 876, 1365 et 2035.

Pyramidal carré D5 : 1, 7, 27, 77, 182, 378, 714, 1254, 2079 et 3289.

Centré triangulaire D5 : 1, 7, 28, 83, 203, 434, 840, 1506, 2541 et 4081.

Gnomonique  ennéagonal : 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57 et 64.

Centré octogonal D1 : 1, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 et 72.

Octogonal  ou étoilé carré : 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225 et 280.

Centré heptagonal D2 : 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253 et 316.

Pyramidal heptagonal : 1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645 et 880.

Cubique ou centré hexagonal D3 : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 et 1000.

Hyperpyramidal hexagonal : 1, 8, 30, 80, 175, 336, 588, 960, 1485 et 2200.

Centré pentagonal D4 : 1, 8, 31, 85, 190, 371, 658, 1086, 1695 et 2530.

Pyramidal pentagonal D5 : 1, 8, 33, 98, 238, 504, 966, 1716, 2871 et 4576.

Octaédrique D5 ou centré carré D5 : 1, 8, 34, 104, 259, 560, 1092, 1968, 3333 et 5368.

Gnomonique décagonal : 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65 et 73.

Centré ennéagonal D1 : 1, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 et 81.

Ennéagonal  : 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261 et 325.

Centré octogonal D2 ou centré étoilé carré : 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289 et 361.

Pyramidal octogonal : 1, 9, 30, 70, 135, 231, 364, 540, 765 et 1045.

Centré heptagonal D3  : 1, 9, 31, 74, 145, 251, 399, 596, 849 et 1165.

Hyperpyramidal heptagonal : 1, 9, 35, 95, 210, 406, 714, 1170, 1815 et 2695.

Hypercubique ou centré hexagonal D4 : 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025 et 3025.

Pyramidal hexagonal D5 : 1, 9, 39, 119, 294, 630, 1218, 2178, 3663 et 5863.

Centré pentagonal D5 : 1, 9, 40, 125, 315, 686, 1344, 2430, 4125 et 6655.

Centré décagonal D1 : 1, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 et 90.

Décagonal ou étoilé pentagonal : 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297 et 370.

Centré ennéagonal D2 : 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325 et 406.

Pyramidal ennéagonal : 1, 10, 34, 80, 155, 266, 420, 624, 885 et 1210.

Centré octogonal D3 : 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969 et 1330.

Hyperpyramidal octogonal : 1, 10, 40, 110, 245, 476, 840, 1380, 2145 et 3190.

Centré heptagonal D4 : 1, 10, 41, 115, 260, 511, 910, 1506, 2355 et 3520.

Pyramidal heptagonal D5 : 1, 10, 45, 140, 350, 756, 1470, 2640, 4455 et 7150.

Cubique D5 ou centré hexagonal D5 : 1, 10, 46, 146, 371, 812, 1596, 2892, 4917 et 7942.

Centré décagonal D2 ou centré étoilé pentagonal: 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361 et 451.

Gnomonique icosaédrique : 1, 11, 36, 76, 131, 201, 286, 386, 501 et 631.

Pyramidal décagonal : 1, 11, 38, 90, 175, 301, 476, 708, 1005 et 1375.

Centré ennéagonal D3 : 1, 11, 39, 94, 185, 321, 511, 764, 1089 et 1495.

Hyperpyramidal ennéagonal : 1, 11, 45, 125, 280, 546, 966, 1590, 2475 et 3685.

Centré octogonal D4 : 1, 11, 46, 130, 295, 581, 1036, 1716, 2685 et 4015.

Pyramidal octogonal D5 : 1, 11, 51, 161, 406, 882, 1722, 3102, 5247 et 8437.

Centré heptagonal D5 : 1, 11, 52, 167, 427, 938, 1848, 3354, 5709 et 9229.

Étoilé hexagonal : 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369 et 460.

Centré décagonal D3 : 1, 12, 43, 104, 205, 356, 567, 848, 1209 et 1660.

Icosaédrique : 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629 et 2260.

Hyperpyramidal décagonal : 1, 12, 50, 140, 315, 616, 1092, 1800, 2805 et 4180.

Centré ennéagonal D4 : 1, 12, 51, 145, 330, 651, 1162, 1926, 3015 et 4510.

Pyramidal ennéagonal D5 : 1, 12, 57, 182, 462, 1008, 1974, 3564, 6039 et 9724.

Centré octogonal D5 : 1, 12, 58, 188, 483, 1064, 2100, 3816, 6501 et 10 516.

Centré étoilé hexagonal : 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433 et 54.

Centré décagonal D4 : 1, 13, 56, 160, 365, 721, 1288, 2136, 3345 et 5005.

Hypericosaédrique : 1, 13, 61, 185, 440, 896, 1638, 2766, 4395 et 6655.

Pyramidal décagonal D5 : 1, 13, 63, 203, 518, 1134, 2226, 4026, 6831 et 11 011.

Centré ennéagonal D5 : 1, 13, 64, 209, 539, 1190, 2352, 4278, 7293 et 11 803.

Étoilé heptagonal : 1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441 et 550.

Centré décagonal D5 : 1, 14, 70, 230, 595, 1316, 2604, 4740, 8085 et 13 090.

Icosaédrique D5 : 1, 14, 75, 260, 700, 1596, 3234, 6000, 10 395 et 17 050.

Centré étoilé heptagonal : 1, 15, 43, 85, 141, 211, 295, 393, 505 et 631.

Étoilé octogonal : 1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513 et 640.

Centré étoilé octogonal : 1, 17, 49, 97, 161, 241, 337, 449, 577 et 721.

Étoilé ennéagonal : 1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585 et 730.

Centré étoilé ennéagonal : 1, 19, 55, 109, 181, 271, 379, 505, 649 et 811.

Gnomonique dodécaédrique : 1, 19, 64, 136, 235, 361, 514, 694, 901 et 1135.

Étoilé décagonal : 1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657 et 820.

Dodécaédrique : 1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925 et 4060.

Centré étoilé décagonal : 1, 21, 61, 121, 201, 301, 421, 561, 721 et 901.

Hyperdodécaédrique : 1, 21, 105, 325, 780, 1596, 2926, 4950, 7875 et 11 935.

Dodécaédrique D5 : 1, 22, 127, 452, 1232, 2828, 5754, 10 704, 18 579 et 30 514.

Hétéromèque : 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90 et 110.

Promèque

d = 2 : 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99 et 120.

d = 3 : 4, 10, 18, 28, 40, 54, 70, 88, 108 et 130.

d = 4 : 5, 12, 21, 32, 45, 60, 77, 96, 117 et 140.

d = 5 : 6, 14, 24, 36, 50, 66, 84, 104, 126 et 150.

d = 6 : 7, 16, 27, 40, 55, 72, 91, 112, 135 et 160.

d = 7 : 8, 18, 30, 44, 60, 78, 98, 120, 144 et 170.