° Équation diophantienne. – Équation dans laquelle les solutions retenues sont uniquement constituées d'entiers. L'équation la plus simple est de la forme linéaire ax + by = c où x et y sont des variables et a, b, c des constantes entières. 

Une équation diophantienne peut avoir aucune solution, une seule solution, un nombre fini ou infini de solutions. Il n'existe pas de méthode générale pour résoudre les équations du deuxième degré ou d'un degré plus élevé. Le problème diophantien le plus célèbre est connu sous le nom de dernier théorème de Fermat. 

Un des problèmes de David Hilbert (1862-1943) était d’établir des méthodes effectives de résolution des équations diophantiennes, soit de trouver un algorithme permettant de donner les solutions entières pour toute équation. Il fut prouvé qu’un tel algorithme n’existe pas. Il existe toutefois des algorithmes pour des équations particulières comme, par exemple, x² - ay² = 1. 

L'équation platonicienne, celle  de Catalan et le multidegré sont des équations diophantiennes. Elles appartiennent à la classe des récréations numériques.

© Charles-É. Jean

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