Dictionnaire de mathématiques récréatives Générateur

Générateur

Entier naturel qui permet de trouver notamment la période d’une fraction de la forme 1/p où p est un nombre premier impair. L’unité de p est 1, 3, 7 ou 9. À chaque unité de p correspond une constante qui est l’unité de la période de la fraction. Voici la correspondance :

Unité de p	1	3	7	9
Unité de la période	9	3	7	1

Pour connaître le générateur d’un nombre, on fait le produit de p et de l’unité de la période auquel on additionne 1. On divise le résultat par 10. Par exemple, le générateur de 17 est [(17 × 7) + 1] ÷ 10 = 12. Le tableau suivant présente chacun des nombres premiers de 7 à 97, l’unité u de la période, le produit de p et de u, le générateur g, le nombre de cycles et le nombre de chiffres de chaque cycle soit sa longueur :

p	Unité u	p × u	Générateur g	Cycles	Longueur
7	7	49	5	1	6
11	9	99	10	5	2
13	3	39	4	2	6
17	7	119	12	1	16
19	1	19	2	1	18
23	3	69	7	1	22
29	1	29	3	1	28
31	9	279	28	2	15
37	7	259	26	12	3
41	9	369	37	8	5
43	3	129	13	2	21
47	7	329	33	1	46
53	3	159	16	4	13
59	1	59	6	1	58
61	9	549	55	1	60
67	7	469	47	2	33
71	9	639	64	2	35
73	3	219	22	9	8
79	1	79	8	6	13
83	3	249	25	2	41
89	1	89	9	2	44
97	7	679	68	1	96

À partir du générateur g et de l’unité de la période, on peut trouver les autres chiffres de la période par une multiplication à rebours. Le complément du générateur d’un nombre est la différence entre le nombre et son générateur. Par exemple, le générateur de 23 est 7 ; son complément est 16.

La théorie du générateur intervient aussi pour établir certains critères de divisibilité.

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