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Géométrique
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Progression géométrique. –
Suite de nombres, dans laquelle le rapport de deux termes successifs est
constant. Chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant
celui-ci par une constante. Les nombres 2, 6, 18, 54, 162, ... forment une
progression géométrique dont la constante est 3. Cette constante est appelée
raison. Selon Dudeney, il existe seulement deux cas où la somme des termes d’une
progression géométrique est un carré. Ce sont :
n
30 + 31 + 32 + 33 + 34 =
121 = 112
n
70 + 71 + 72 + 73 = 400 = 202
Voici cinq progressions géométriques qui sont les
puissances de 0 à 10 des nombres de 2 à 6 :
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a |
a0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
|
2 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
|
3 |
1 |
3 |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
2187 |
6561 |
19 683 |
59 049 |
|
4 |
1 |
4 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
4096 |
16 384 |
65 536 |
262 144 |
1 048 576 |
|
5 |
1 |
5 |
25 |
125 |
625 |
3125 |
15 625 |
78 125 |
390 625 |
1 953 125 |
9 765 625 |
|
6 |
1 |
6 |
36 |
216 |
1296 |
7776 |
46 656 |
279 936 |
1 679 616 |
10 077 696 |
60 466 176 |
Un problème ancien, celui du maquignon, peut s’exprimer
ainsi. Un maquignon propose de vendre son cheval aux conditions
suivantes : Un centime pour le premier clou de ses fers, 2 pour le
deuxième, 4 pour le troisième, 8 pour le jour suivant et ainsi de suite.
Chaque fer est retenu par 6 clous. Quelle est la somme demandée en
centimes ?
Le nombre de l’échiquier
provient d'une règle d'attribution des grains de blé pour chaque case,
laquelle règle est similaire à celle du problème du maquignon.
Les
problèmes de progression géométrique appartiennent à la classe des récréations numériques.
© Charles-É. Jean
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